2023年12月29日发(作者：吉林省初三二模数学试卷)

第３２卷第５期　Ｖｏ１．３２，Ｎｏ．５　西华大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ・Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　２０１３年９月　Ｓｅｐ．２０１３　・基础学科・　基于严格　一凸多目标规划最优性的充分条件的研究　刘雪杰，黄天民，陈尚云　（西南交通大学数学学院，四川成都６１００３１）　摘要：在　一凸函数与　一伪凸函数的基础上定义了严格Ｂ一凸函数与严格曰一伪凸函数，得出了有效解存　在的充分条件。并在已有的充分条件的基础上对目标函数与约束条件的凸性条件加以改进，使问题的研究更具有　一般性。　关键词：多目标规划；曰一凸函数；严格Ｂ一凸函数；最优性　中图分类号：Ｏ２２１．６　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７３—１５９Ｘ（２０１３）０５—００２２—０４　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—１５９Ｘ．２０１３．０５．００６　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　Ｓｕｆｉｃｉｅｎｔ　Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｓｔｒｉｃｔ　Ｂ－ｃｏｎｖｅｘ　ｆＭｕｌｔｉ——ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ＬＩＵ　Ｘｕｅ－ｊｉｅ，ＨＵＡＮＧ　Ｔｉａｎ—ｍｉｎ，ＣＨＥＮ　Ｓｈａｎｇ－ｙｕｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　ｉａｏｔｆｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３１　Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｂ—ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｂ－ｑｕａｓｉ　ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｔｗｏ　ｎｅｗ　ａｃａｄｅｍｉｃ　ｔｅｒｍｓ：ｓｔｒｉｃｔ　Ｂ—ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｔｒｉｃｔ　Ｂ—ｑｕａｓｉ　ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂｙ　ｄｏｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｗａｓ　ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｍｏｒｅｏ—　ｖｅｒ，ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ，ｍａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｍｏｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；Ｂ－ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｓｔｒｉｃｔ　Ｂ—ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ　最优性问题是数学规划研究中的一个基本问　题，而凸性的研究在多目标规划中起着十分重要的　作用。为了放宽最优性的条件，不少学者对凸性的　条件加以放宽，给出了一系列的广义凸函数的定　本文在文献［３］的基础上，定义了严格Ｂ一凸　函数与严格伪　一凸函数的定义，并得出了相应的　结论，而且本文还在［３］的基础上对目标函数与约　束条件的条件加以放宽，得到相应的结论。这就使　得该类多目标规划问题更具有一般性。　义，如Ｂｅｃｔｏｒ等１９９１在文献［１］中引入了曰一凸函　数和Ｂ一不变凸函数的概念，并讨论了它们的性质　以及与凸函数和不变凸函数的关系。在１９９３年　Ｂｅｃｔｏｒ等又在文献［２］中给出了Ｂ一拟凸函数与Ｂ　一１　基本概念及性质　定义１ｌ２　设厂为定义在非空凸集　上函数，　．伪凸函数的概念以及它们与日一凸函数之问的关　如果存在函数ｂ：　×Ｘ×［０，１］一［０，１］　系，并且给出了在相应有限维多目标规划的最优性　的充分条件。文献［３］在可微Ｂ一凸函数，可微拟Ｂ　一使得．厂满足：　１）　Ａｘ＋（１一Ａ）Ｍ）≤Ａｂ（　，Ｕ，Ａ）ｆ（　）＋（１一　Ａｂ（　，Ｕ，Ａ））　Ｕ），Ｖ　∈Ｘ，则称ｌ厂在Ｕ点是日一凸　凸函数与可微伪Ｂ一凸函数等广义凸性的情形下　得到了一系列的多目标规划最优性的充分条件。　收稿日期：２０１２—１２—１５　的。如果厂在　上的每一点都是Ｂ一凸的，则称厂为　基金项目：中央高校科研费专项基金（ＳＷＪＴＵ１１ＺＴ２９）　作者简介：刘雪杰（１９８８一），女，硕士研究生，主要研究方向为多目标规划与多属性决策。　通信作者：黄天民（１９５８一），男，教授，博士生导师，主要研究方向为运筹与优化、智能信息与控制。Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｍｈｕａｎｇ＠ｓｗｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　

第５期　刘雪杰，等：基于严格口一凸多目标规划最优性的充分条件的研究　上的日一凸函数。　２）若ｆ（　）≤＿厂（Ｍ）＝　ｂ（　，“，Ａ）ｆ［Ａ　＋（１一　Ａ）　］≤６（　，ｕ，Ａ）　），Ｖ　∈Ｘ，则称＿厂在ｕ点是拟　Ｘ×Ｘ×（０，１）一［０，１］使得　满足：　Ａ　＋（１一　Ａ）／／，）＜Ａ６（　，１１，，Ａ）．厂（　）＋（１一Ａｂ（　，　，Ａ））／＿（Ｍ）　Ｖ　∈Ｘ。　Ｂ一凸的。如果厂在　上的每一点都是拟Ｂ一凸的，　则称厂为　上的拟　一凸函数。　显然曰一凸函数是拟Ｂ一凸函数，但反过来不　一且Ⅱ　Ａ　＋Ａ（　—　））一－厂（１１，）＜　Ａ６（　，　，Ａ）［　）一　）］，又’．‘　在　上可微　・．．由微分中值定理知Ａ（　—ｌ，Ｌ）　ｖｆ（１１，＋ＡＯ（　—　定成立，文献［２］中给出了反例，当．厂可微时在文　））＜Ａ６（　，“，Ａ）［厂（　）－ｆ（１１，）］，　献［３］中给出定义１中的等价定义。　定义２　设．厂为定义在非空凸集　上的可微　函数，如果对于Ｖ　∈　，　∈　都存在ｂ（　，“）＝　ｌｉａｒ　ｂ（　，　，Ａ），使得：　＾—　１）（　一“）　ｌ厂（ｕ）≤６（　，　）［ｆ（　）一ｆ（　）］成　立，则称．厂在“点是　一凸的。　２）若对于满足条件ｆ（　）≤／（　）的一切　∈Ｘ，　都有ｂ（　，／Ｚ）（　一／ｄ，）　’ｖｆ（“）≤０，则称－厂在“点是拟　Ｂ一凸的。　定义３ｌ２　设－厂为定义在非空凸集　上的一个　实值可微函数，如果对于Ｖ　∈　，／／，∈　都存在６：　Ｘ×　×［０，１］—　［０，１］，且６（　，／／，）＝ｌｉａｒ　６（　，“，Ａ），　＾—砌　使得当（　—　）　－厂（“）≥０时，有６（　，／Ｚ）ｆ（　）≥　６（　，　）　／／，），则称／在／ｄ，点是伪　一凸的，如果厂在　上的每一点都是伪　一凸的，则称＿厂为　上的伪　一凸函数。　类似的可以给出严格日一凸函数的定义与严格　格伪　一凸函数的定义并得出相应的结论。　定义４设厂为定义在非空凸集　上的函数，　如果存在函数６：Ｘ×　×（０，１）一［０，１］使得－厂满足：　－厂（Ａ　＋（１一Ａ）Ｍ）＜Ａｂ（　，“，Ａ）＿厂（　）＋（１一　Ａ６（　，“，Ａ））ｆ（　），Ｖ　∈Ｘ，则称厂在　点是严格　Ｂ一凸的，如果．厂在　上的每一点都是严格日一凸　的，则称．厂为　上的严格　一凸函数。　定理１　若．厂为定义在非空凸集　上的一个实　值可微函数　在　上是严格　一凸函数的充要条件　是：对于Ｖ　∈Ｘ，“∈　都存在ｂ（　，Ｍ）＝ｌｉａｒ　６（　，Ｍ，　Ａ—哪　Ａ）且ｂ（ｘ，“）∈［０，１］使得（　—ｕ）　Ｖｆ（　）＜ｂ（　，　）　［厂（　）一厂（　）］。　证明：＝＝＞）设／／，为　内的任意一点，下证－厂在／Ｚ　点时成立。　・．．厂在　上是严格Ｂ一凸函数，故存在函数ｂ：　０＜０＜１，两边消去Ａ得（　—　）　ｌ厂（“＋Ａ　（　一１１，））＜６（　，ｕ，Ａ）［　）一　１１，）］，　同时对两边取极限：当Ａ　时，（　一“）　ｖｆ（１１，）　＜６（　，１１，）　）　“）］。　＝）令１１，＝ｋｘ１＋（１一　）　２　Ｖ　１，　２∈Ｘ　∈［０，１］　由题意知，Ｖ　∈　存在６（　，１１，）＝ｌｉａｒ　ｂ（ｘ，Ｍ，Ａ）使得　Ａ—’Ｕ　（　一“）　ｖｆ（“）＜６（　，“）［－厂（　）一＿厂（ｕ）］，所以当　＝　１时，有（　ｌ一　１一（１一　）　２）　ｖｆ（ｋｘｌ＋（１一　）　２）＜６（　１，ｋｘ１＋（１一　）　２）［厂（　１）一　１＋（１一　）　）］　化简知（１一　）（　一　：）　（　＋（１一　）　）　＜６（　１，ｋｘ１＋（１一　）　２）［ｆ（　１）一＿厂（　１＋（１一　）　）］　（１）　同理当　＝　：时，有（　一　。一（１一　）　２）　ｌ＋（１一ｋ）ｘ２）＜６（　２，ｋｘ１＋（１一　ｋ）ｘ　）［　：）一　＋（１一ｋ）ｘ：）］，　化简得一　（　一　２）　（　＋（１一　）　：）＜ｂ　（　，ｋｘ　＋（１一　）　）［　）一　＋（１一ｋ）ｘ：）］　（２）　将（１）×　＋（２）×（１一　）得　［　６（　１，ｋｘ１＋（１一　）　２）＋（１一　）６（　２，ｋｘ１＋　（１一　）　ｄ２）］　１＋（１一ｋ）ｘ２）＜　ｂ（　。，ｋｘ　＋（１一　）　２）　１）＋（１一　）６（　２，ｋｘｌ＋（１一　）　２）－厂（　２），　又ｂ（　１，　ｌ＋（１一　）　２）与ｂ（　２，ｋｘ１＋（１一　后）　）非负且不可能同时为零，　・．．将不等式两端同时除以　ｂ（　。，ｋｘ　＋（１一　）　２）＋（１一　）６（　２，ｋｘ　＋（１一　）　２）得　＿厂（　１＋（１一　）　２）＜　６（　ｌ，　１＋（１－ｋ）ｘ２　１）　ｂ（ｘｌ，ｋｘｌ＋（１－ｋ）ｘ２）＋（１－ｋ）ｂ（ｘ２，　１＋（１－ｌ￣）ｘ２）　（１一　）ｂ（　２，ｋｘｌ＋（１一ｋ）ｘ２）Ｌ厂（　２）　ｂ（ｘ１，ｋｘ１＋（１一　）　２）＋（１－ｋ）ｂ（ｘ２，　１＋（　—ｋ）Ｘ２）　

西华大学学报・自然科学版　２０１３年　］ｂｌ（　１，　２，　）＝　６（　１，　１＋（１一　）　２）　（互一　０）　ｇ，（　０）＜６２（　，　０）［ｇｌ（互）一　ｇ，（　。）］≤Ｏ，　ｂ（ｘ１，　１＋（１一ｋ）ｘ２）＋（１一　）ｂ（ｘ２，ｋｘ１＋（１一ｋ）ｘ２）　（　一　ｏ）　Ｖｈ（ｘｏ）＜６，（　，　。）［　（互）一’　∈［０，１］，且　（１－ｌ￣）ｂ（ｘ２，　１＋（１一　）　２）　后ｂ（ｘ２，　１＋（１－ｋ）ｘ２）＋（１－ｋ）ｂ（ｘ２，－　１＋（１－ｋ）ｘ２）　１一ｋｂ１（　１，　２，　）∈［０，１］。　从而＿厂（　。＋（１一　）　２）＜　６Ｌ厂（　１）＋（１一　肋。）　：）即厂在　上是严格日一凸的。证毕。　定义５设．厂为定义在非空凸集　上的一个实　值可微函数，如果对于Ｖ　∈　，１１，∈　都存在ｂ（　，　）　＝ｌｉａｒ　ｂ（ｘ，“，Ａ），使得当（　一　）　（ｕ）ｉ＞０时，都　有ｂ（ｘ，　）厂（　）＞６（　，　）厂（“），则称＿厂在　点是严格　伪日一凸的。如果．厂在　上的每一点都是严格伪　Ｂ一凸的，则称厂为　上的严格伪曰一凸函数。　２　主要结论　考虑多目标规划　（ＶＰ）ｍｉｎｆ（ｘ）＝（　（　），ｆ２（　），…　（　））　ｓ．ｔ．』ｇ（　）≤ｏ　∈　【ｈ（　）＝０　其中　ｃＲ　为一个开集　：　，ｇ：　Ｒ　，ｈ：　—Ｒ　，Ｎ＝｛１，２…，１７，｝，　Ｘ　＝｛　∈　ｌｇ（　）≤０，ｈ（　）＝０｝，记，＝｛ｉ∈Ｎ　Ｉｇ　（　）＝０，对于某些固定的　｝。　仿照文献［３］中的定理３．１，可以得到：　定理２设　。∈Ｘ　，ｇ，，ｈ是可微函数，如果　１）存在“∈Ｒ　／｛０｝，　∈Ｉ，Ｗ∈Ｒ　使得［　＿厂　（　０）］“　＋［　ｇ，（　０）］　＋［Ｖ　ｈ（　ｏ）］钆）　＝０且ｇ　（　ｏ）≤０，ｈ（　ｏ）＝０；　２）存在ｂ　（　，“）＝ｌｉａｒ（　，Ｍ，Ａ）≥０，ｉ＝１，２，３　使得　在　。处是严格Ｂ一凸的，ｇ，，ｈ为Ｂ一凸的，则　。是（　）的有效解。　证明：假设　不是（　）的有效解，则存在互∈　使得　）≤　。），ｇ（互）≤０，　（互）＝０，即　互）一　ｏ）≤Ｏ，这里，＝｛ｉ∈ＮＩｇ　（　０）＝０｝，贝０　ｇ，（　）≤　ｇ，（　ｏ）＝０，ｈ（　）一ｈ（　ｏ）≤０，　由２）知，（　一　。）　ｖｆ（ｘ。）＜６　（　，　。）Ｉｆ（　）一　。）］≤０，　ｈ（　。）］≤０，　将上述３式分别作乘　，　，＇ｔＯ　再相加得（互一　。）　｛［Ｖｆ（　。）］　＋［　ｇ，（　。）］　＋［Ｖ　ｈ（　。）］　｝＜０，与１）矛盾．・．　。是（　）的有效解。　如果将上述结论中把Ｉ厂换成是在　。处Ｂ一凸　的，ｇ，在　。处是严格　一凸的，且　＞０上述结论仍　成立（这里相对于文献［３］，得出了有效解存在的充　分条件）。　在文献［２］中给出了，如果－厂在　上是　一凸　的，则显然是拟Ｂ一凸的，反之则不成立。　考虑若将－厂的Ｂ一凸性减弱，于是得到：　－　定理３设　。∈ｘｆ，ｇ，，ｈ是可微函数，如果　１）存在“∈Ｒ　，　∈Ｒ　／｛０｝，　∈Ｒ　使得　［ｖｆ（ｘ。）］“　＋［Ｖｇ，（　）　＋［Ｖｈ（　。）］　＝０且　ｇ（　０）≤０，ｈ（　ｏ）＝０；　２）存在ｂ（　，１１，）＝］ｉａｒ　６（　，“，Ａ）Ｉ＞０使得ｆ，ｈ在　Ａ—山　。处是拟　一凸的，ｇ，为严格伪　一凸的，则　。是　（ＶＰ）的有效解。　证明：假设　不是（　）的有效解，则存在　∈　使得ｌ厂（　）　。），ｇ（　）≤０，ｈ（互）＝０，这里，＝　｛　∈Ｎｌ　ｇ　（　。）＝０｝，贝０　ｇ，（　）≤ｇ，（　ｏ）＝０，ｈ（　）一　ｈ（　。）≤０，　．　ｆ，ｈ在　。处是拟曰一凸的，即存在６　（　，ｕ）＝ｌｉａｒ　ｂ　（　，ｕ，人）＞１０，ｉ＝１，３使得６ｌ（互，　０）　＾—．ｕ　（　一　。）　ｖｆ（ｘ０）≤０，６３（互，　。）（　一　。）　Ｖｈ（　０）≤　０但每个６　（　，“）Ｉ＞０，ｉ＝１，３，从而（　—　。）　（　。）　≤０，（五一　ｏ）　Ｖｈ（　０）≤０。由１）知（　一　。）　ｇ，　（　。）Ｉ＞０，又’．‘ｇ，在　。点为严格伪日一凸的，　・．．存在６２（　，Ｍ）＝ｌｉａｒ　６２（　，　，入）≥０。使得　＾—　Ｕ　６２（　，　０）ｇ，（　）＞６２（　，　０）ｇ，（　０）。　・．．ｇ，（　）＞ｇ，（　。），矛盾，．．．　。是（ＶＰ）的有　效解。　事实上由定义可直接得出如果　在　上是严格　Ｂ一凸的，则显然是严格伪　一凸的，反之不然。此　时将．厂换为严格伪Ｂ一凸的，则得到；　定理４设　。∈　ｆ，ｇ，，ｈ是可微函数，如果　

第５期　刘雪杰，等：基于严格曰一凸多目标规划最优性的充分条件的研究　１）存在“∈Ｒ　／｛０｝，　∈ＩＶ，ｗ∈Ｒｑ使得　［Ｖｆ（ｘ。）］ｕ　＋［　ｇ，（　。）］　＋［Ｖｈ（ｘ。）］ｗ　＝０且　ｇ（　）≤０，ｈ（　）＝０；　３　结语　本文在文献［３］的基础上，对于日一凸规划的　目标函数和约束条件加以改善，使该类问题的实际　研究更具有一般性。但是对于该类问题的研究还　有更多的办法，本文只从一个简单的方面进行了　论述。　参考文献　［１］Ｂｅｃｔｏｒ　Ｃ　Ｒ，Ｓｉｎｇｈ　Ｃ．Ｂ—ｖｅｘ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＯｐｔｉｍｉｚａ—　ｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９１（２）：２３７—２５３．　２）存在ｂ　（　，ｕ）＝ｌｉｍ　ｂ　（　，ｕ，Ａ）Ｉ＞０，ｉ＝１，２，３　使得，在　。处是严格伪Ｂ一凸的，ｇ，，ｈ为拟　一凸　的，则‰是（　）的有效解。　证明：假设　。不是（　）的有效解，则存在　∈Ｘ　使得，（ｘ）　。），ｇ（　）≤０，　（互）＝０，这里，＝｛ｉ∈Ｎ　Ｉｇ　（　。）＝０｝，贝０ｇ，（　）≤ｇ，（　ｏ）＝０，ｈ（　）一ｈ（ｘｏ）≤　０。由２）知，存在ｂ　（　，ｕ）＝ｌｉａ　ｒｂ　（　，　，Ａ）Ｉ＞０，ｉ＝２，　３使得　ｂ２（　，　ｏ）（　—　０）　ｇ，（　ｏ）≤０，ｂ３（　，　０）（　—　０［２］Ｂｅｃｔｏｒ　Ｃ　Ｒ，Ｓｕｎｅｊａ　Ｓ　Ｋ，Ｌａｌｉｔｈａ　Ｃ　Ｓ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｂ—ｖｅｘ　Ｆｕｎｃ—　ｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｇｅｎｅｒｌｉａｚｅｄ　Ｂ—ｖｅｘ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９３（２）：５６１—５７６．　［３］张庆祥．Ｂ一凸和Ｂ一不变凸多目标规划的最优性条件［Ｊ］．　延安大学学报：自然科学版，１９９７（２）：２７—３１．　）　Ｖｈ（　０）≤０　・．．（互一　。）Ｔ［Ｖｇ，（　。）］　≤０，　［４］胡毓达，孟志青．凸分析与非光滑分析［Ｍ］．上海：上海科技　出版社，２０００（９）：８８—１ｌ１．　（Ｘ—　ｏ）　［Ｖｈ（ｘ０）］ｗ　≤０　即（互一　。）　｛［　ｇ，（　ｏ）］　＋　［Ｖｈ（ｘ。）］ｗ　｝≤０　・．．［５］徐玖平，李军．多目标决策的理论与方法［Ｍ］．北京：清华大　学出版社，２００６（４）：４８—５８．　［６］杨雷，胡毓达．拓扑向量空间多目标规划锥有效解的广义最　优性的充分条件［Ｊ］．上海交通大学学报，２００２（２）：２８１—２８５．　［７］胡毓达，孙江尔．多目标规划的几个最优性的充分性条件　［Ｊ］．上海交通大学学报，１９９４（３）：８９—９３．　（互一　。）＿ｒ［Ｖｆ（ｘ。）］“　Ｉ＞０　又’．。／在　。处是严格伪Ｂ一凸的，．．．存在ｂ　（　，　０）＝ｌｉｍ　ｂｌ（　，　ｏ，Ａ）使得ｂ１（　，　０）　ｘ）＞　［８］姜艳，张庆祥．一类不可微凸多目标规划解的最优性条件　［Ｊ］．延安大学学报：自然科学版，２０１０（１）：１７—２１．　ｂ　（ｘ，ｘ０）　。）且０≤ｂ。（ｘ，　）≤１，．・．ｆ（　）＞／（　。），　矛盾，．・．　是（ＶＰ）的有效解。　●●一●◆●◆一◆◆◆◆　◆●◆◆◆◆◆◆◆◆●（编校：叶超）　◆●　◆◆一－◆－◆◆◆◆◆◆●●◆●●◆●◆◆◆　（上接第２１页）　ｄｒｉｄｅ　Ｓｏｕｒｃｅ［Ｊ］．Ａｓｉａｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｅｍｉｓｔｙ，２０１０，２２（６）：４１４１ｒ　４１４９．　３　小结　本文首次以二氢吡啶为氢源，在无催化条件下　［５］ｈｏｈ　Ｔ，Ｎａｇａｔａ　Ｋ，Ｍｉｙａｚａｋｉ　Ｍ，ｅｔ　ａ１．Ａ　Ｓｅｌｅｃｔｉｖｅ　Ｒｅｄｕｃｔｉｖｅ　Ａｍｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｌｄｅｈｙｄｅｓ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｕｓｅ　ｏｆ　Ｈａｎｔｚｓｅｈ　Ｄｉｈｙｄｒｏｐｙｒｉｄｉｎｅｓ　ａｓ　Ｒｅ—　ｄｕｅｔａｎｔ［Ｊ］．Ｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ，２００４，６０：６６４９—６６５５．　［６］Ｚｈａｎｇ　Ｍ，Ｙａｎｇ　Ｈ，Ｚｈａｎｇ　Ｙ，ｅｔ　ａ１．Ｄｉｒｅｃｔ　Ｒｅｄｕｃｔｉｖｅ　Ａｍｉｎａ－　ｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｒｏｍａｔｉｃ　Ａｌｄｅｈｙｄｅｓ　Ｃａｔａｌｙｚｅｄ　ｂｙ　Ｇｏｌｄ（Ｉ）Ｃｏｍｐｌｅｘ　ｕｎｄｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　实现了醛亚胺的还原。虽然该反应体系对脂肪族　胺类的亚胺以及酮亚胺没有作用，但是对芳香族胺　的醛亚胺有很好的效果，最高收率达到了９９％，为　这类亚胺的还原以及相应仲胺的合成提供了一简　洁、高效的方法。　参考文献　［１］Ｏｕｅｌｌｅｔ　Ｓ　Ｇ，Ｗａｌｊｉ　Ａ　Ｍ，ＭａｃＭｉｌｌａｎ　Ｗ　Ｃ．Ｅｎａｎｔｉｏｓｅｌｅｃｔｉｖｅ　Ｏｒ—　ｇａｎｏｃａｔａｌｙｔｉｅ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｈｙｄｒｏｇｅｎａｔｉｏｎ　Ｒｅａｃｔｉｏｎｓ　Ｕｓｉｎｇ　Ｈａｎｔｚｓｃｈ　Ｅｓｔｅｒｓ　Ｈｙｄｒｏｇｅｎａｔｉｏｎ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１　１，４７：　６６０５—６６０７．　［７］ｈｏｈ　Ｔ，Ｎａｇａｔａ　Ｋ，Ｋｕｒｉｈａｒａ　Ｋ，ｅｔ　ａ１．Ｒｅｄｕｃｔｉｖｅ　Ａｍｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｌｄｅｈｙｄｅｓ　ａｎｄ　Ｋｅｔｏｎｅｓ　ｂｙ　ａ　Ｈａｎｔｚｓｃｈ　Ｄｉｈｙｄｒｏｐｙｒｉｄｉｎｅ　Ｕｓｉｎｇ　Ｓｃａｎｄｉｕｍ　Ｔｒｉ？ａｔｅ　ａｓ　ａ　Ｃａｔｌａｙｓｔ［Ｊ］．Ｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００２，４３：３１０５—３１０８．　［８］ｈｏｈ　Ｔ，Ｎａｇａｔａ　Ｋ，Ｍｉｙａｚａｋｉ　Ｍ，ｅｔ　ａ１．Ａ　Ｓｅｌｅｃｔｉｖｅ　Ｒｅｄｕｃｔｉｖｅ　Ａｍｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｌｄｅｈｙｄｅｓ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｕｓｅ　ｏｆ　Ｈａｎｔｚｓｃｈ　Ｄｉｈｙｄｒｏｐｙｒｉｄｉｎｅｓ　ａｓ　Ｒｅ－　［Ｊ］．Ａｃｃｏｕｎｔｓ　ｏｆ　Ｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００７，４０：１３２７—１３３９．　［２］Ａｋｉｙａｍａ　Ｔ，ｈｏｈ　Ｊ，Ｆｕｃｈｉｂｅ　Ｋ．Ｒｅｃｅｎｔ　Ｐｒｏｇｒｅｓｓ　ｉｎ　Ｃｈｉｒａｌ　Ｂｒ—　ｎｓｔｅｄ　Ａｃｉｄ　Ｃａｔｌｙｓｉａｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ＆Ｃａｔａｌｙｓｉｓ，２００６，３４８：　９９９—１０ｌ０．　ｄｕｃｔａｎｔ［Ｊ］．Ｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ，２００４，６０：６６４９—６６５５．　［９］Ｚｈａｎｇ　Ｚ，Ｇａｏ　Ｊ，Ｘｉａ　Ｊ，ｅｔ　ａ１．Ｓｏｌｖｅｎｔ—ｆｒｅｅ　Ｍｅｃｈａｎｏｃｈｅｍｉｃａｌ　ａｎｄ　ｏｎｅ—．ｐｏｔ　Ｒｅｄｕｃｔｉｖｅ　Ｂｅｎｚｙｌｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｍａｌｏｎｏｎｉｔｉｌｒｅ　ａｎｄ　４——ｍｅｔｈｙｌａｎ－－　ｉｌｉｎｅ　Ｕｓｉｎｇ　Ｈａｎｔｚｓｃｈ　１，４一ｄｉｈｙｄｒｏｐｙｒｉｄｉｎｅ　ａｓ　ｔｈｅ　Ｒｅｄｕｃｔａｎｔ［Ｊ］．Ｏｒｇａｎ・　ｉｃ＆Ｂｉｏｍｏｌｅｃｕｌａｒ　Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ，２００５，３：１６１７—１６１９．　［３］Ｙｏｕ　Ｓ　Ｌ．Ｒｅｃｅｎｔ　Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ　ｉｎ　Ａｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｈｙｄｒｏ－　ｇｅｎａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｈａｎｔｚｓｅｈ　Ｅｓｔｅｒｓ：Ａ　Ｂｉｏｍｉｍｅｔｉｃ　Ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ　Ａ－　ｓｉａｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ，２００７（２）：８２０—８２７．　［１Ｏ］Ｚｈａｎｇ　Ｚ，Ｓｃｈｒｅｉｎｅｒ　Ｐ　Ｒ．Ｔｈｉｏｕｒｅａ－Ｃａｔａｌｙｚｅｄ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｈｙｄｒｏ－　ｇｅｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｌｄｉｎｆｉｎｅｓ［Ｊ］．Ｓｙｎｌｅｔｔｅｒｓ，２００７，９：１４５５—１４５７．　［４］Ｗａｎｇ　Ｚ　Ｙ，Ｊｉａｎｇ　Ｚ　Ｊ．Ｒｅｃｅｎｔ　Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　Ｅｎａｎｔｉｏｓｅｌｅｃｔｉｖｅ　Ｏｒ－　ｇａｎｏｃａｔａｌｙｔｉｅ　Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃ＝Ｎ　Ｂｏｎｄｓ　ｗｉｔｈ　Ｈａｎｔｚｓｃｈ　Ｅｓｔｅｒｓ　ａｓ　ｔｈｅ　Ｈｙ—　（编校：叶超）　


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