2023年12月25日发(作者：专升本护理数学试卷)
第五讲数学方法和思想(二)
内容概述
学习数学的一个重要方面就是要掌握一定的解题方法，数学的题型千变万化，如果仅靠题海战术，而 不去总结规律，寻找解题方法，将永远是大海捞针，失去方向！遇到题型发生变化，就会一筹莫展，这节 课我们将介绍几种重要的解题方法，希望同学能体会贯穿，举一反三。
从简单情况考虑
有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看 看有什么规律。很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题。
【例1】
3X3的末位数字是9,
3X
3X3的末位数是7,
3X
3X
3X3的末位数字是1.求35个3相乘的 结果的末位数字是几？
分析：从简单情况做起，列表找规律:
相乘的.T的牛数
桑积的未位數字
2
9
3 4
1
5
3
6
9
7
8
9
3
10 11 12
9
■ * t
1
；
7
1
7
1
«-■ -1
仔细观察可发现，乘积的末位数字出现有周期性的规律，
4个一组，35个3相乘是其第34项，所以
末位数字是7。
【例
2
】
444444444888888888
-
666666666
的商是 ________________
分析：这个题目我们当然可以列一个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，
4,
8,
6都有
9个，那我们就先来看一下如果
4,
8,
6分别各有1个，2个，3个商分别是多少，这个计算起来是非常
简单的：
48
-
6=8
,
4488
-
66=68
,
444888
-
666=668
… 同学们找到规律了吗？
对了，444444444888888888
-
666666666=666666668
〔8
个
6，一 个
8〕。
【例3】 ①是 _________________________________ 的平方
②
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1
是 _______ 的平方？
③
X(
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)是 _______________________________ 的平方,
分析：(1)从简单得情况入手，找规律：
1的平方是1;
11的平方是121
;
111的平方是12321
;
1111的平方是1234321
;
因此
111111111
的平方是 ;
(2)再来看小括号里的数，从
1加到9再加到1,我们从简单情况入手，
1+2+1=4=2的平方
1+2+3+2+1=9=3
的平方
1+2+3+4+3+2+仁12=4
的平万
发现规律后就知道：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9
的平方。
(3
)因此原来的算式
X(
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1), 就是
111111111
X
9
即
999999999
的平方 。
【例4】 〔第三届“华杯赛〞决赛〕将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的假设干小纸片，如果要分
成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线
?请说明.
2块•画第二条直线，如果与第一条直 分析：我们来一条一条地画直线•画第一条直线将圆形纸片划分成
线在圆内相交， 那么将圆形纸片划分成
4块〔增加了
2块〕，否那么只能划分成
3块•类似地，画第三条直线， 如果与前两条直线都在圆内相交， 且交点互不相同〔即没有3条直线交于一点〕，那么将圆形纸片划分成
7块
〔增加了
3块〕，否那么划分的块数少于
7块•下列图是画3条直线的各种情形由此可见，假设希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交, 且交点互不相同•这时增加的块数等于直线的条数•这样划分出的块数，列表如下：
直线条数 纸片最多划分成的块数
2
3
4
5
1+1+2
1+1+2+3
1+1+2+3+4
1+1+2+3+4+5
1加上从I到行数的所有整数的和.因为
1+1+2+3+…+10=56, 不难看出，表中每行右边的数等于
1 + 1+2+3+…+9=46,可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过
50
了.所以至少要画
10条直线.
【例5】 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第
之和是多少？
20行的各数
分析：要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
行行行行仃行Z—至此，我们可以推断，第 合论中将得到广泛的应用］
] ............
1 + 1
二0 ----------
]+ 2 + 1
二护 ---
U3+3
十
1=2S -----
行数 T
1 + 4 + $ + 4 + 1=24
1 + 5 + 10-^10 + 5+ 1=25
20行各数之和为219。［此题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组
从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的 是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易 得多。
【例6】 新上任的宿舍管理员拿着
20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能翻开其中的一个
门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要翻开所有关闭的
分析：从最不利的极端情况考虑：翻开第一个房间要
20个门，他最多要开多少次？
20次，翻开第二个房间需要
19次……共计最多要开
20+
19+
18
+ •••+ 仁210
〔次〕。
【例7】 某轮船往返于两港之间，设该轮船在静水中的速度不变，那么当水的流速增大时，轮船往返一
次所用时间〔 〕。
A、不变
B
、减少
C
、增加 分析：由于题目并未交代水流速度增加多少，因此我们可以考虑从极端情况考虑，假设水速非常大，大到
非常接近轮船的静水速度，那么当轮船逆水行进的时候，
定增加了，应选
逆水速度将“非常〞小，因此所用时间将“非常〞
C。例6的考虑方法多用于不需要步骤的填空题或选择
对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决 的途径，使问题得以“突破〞，这种方法称为特殊化。其实从问题的极端情况考虑，也是从特殊情况考虑。 对问题的特殊情况进行研究， 一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易； 另一方面是因为特殊
它是探索问题的 的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，
一种重要方法。运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过 第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。但我们能熟练使用这种方法后，就只需在特殊状态下 得到答案即可。
【例8】 如右图，四边形
ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为 形2cm。又
E点是正方
S。
ABCD的中心，求两个正方形公共局部〔图中阴影局部〕的面积
分析：我们先考虑正方形
EFGH勺特殊位置，即它的各边与正方形 的各边ABCD
对应平行的情况。此时，显然有
E
S=2X
2X
1/4=1。
G
D
【例9】 长方形ABCD的面积为36cm2,
E、F、G为各边中点，H为AD边上
任意一点，问阴影局部面积是多少
分析：法1找H点的特殊点，不妨研究
H点在D时的状态。那么图形可变为右下列图:
那么阴影局部的面积就是三角形
长为36/x，那么有
DEF的面积。设长方形的宽为
x，那么
S阴
SABCD
SADE
SEBF
SDCF
1 1 36 1 1 1 36 1 1 36
36 O _x ?— ?X? —?—
? — X ?—？2 2 X 2 2 2 X 2 2 X
36 9 4.5 9
13.5
〔 cm〕
法2:我们可以找到长方形
2
ABCD的特殊状态正方形
ABCD再找H点在D时
的状态，那么原图可看成右图：
正方形边长为6，那么极易得：阴影面积
=36-9-4.5-9=13.5 cm
2。
这种方法找了两次特殊情况，大大简化了计算。
我们上节课学习的例
2，也是从特殊情况考虑，教师在此要提到此点，附加题目中也有相似类型。
:从反面考虑问题
■
解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结
论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，那么可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的 反面进行思考，从而使问题得到解决。
【例10】 某次数学测验一共出了
10道题，评分方法如下：每答对一题得
4分，不答题得0分，答错一题
倒扣1分，每个考生预先给
10分作为根底分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？
分析：最高的得分为
50分，最低的得分为
0分。但并不是从0分到50分都能得到。从正面考虑计算量较 大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。最高的得分为
50分，最低的得分为
0分。
列表分析:
答对 不答 答错 得分
10
9
9
8
8
8
7
7
7
7
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
50
46
45
42
41
40
38
37
36
35
不答相对与答对少的
4分，答错相对与答对少得
5分，这样的话不答和答错之间少
1分，所以比38分少 的分数的情况都存在。所以，在从
0分到50分这51个分数中，有49,
48,
47,
44
,
43,
39这6种分数 是不能到达的，故此次测验不同的分数至多有
51-6=45
(种)。
【例11】一次考试有4道题，100人参加了考试，考试结果，第一题有
第三题有89人答对，第四题有
95人答对，请问四道题全答对的至少有多少人？
91人答对，第二题有
83人答对,
分析：从反面考虑问题，题目要我们求全答对的人数至少是多少，我们考虑每个题目分别有几人答错，第 一题有9人答错，第二题17人答错，第三题11人答错，第四题
5人答错。所以所有人错的题目之和为
9+17+11+5=42
题
要使得全答对的人最少，那么应该尽量让每人错
题全答对的至少有
100-42=58人
当我们计算阴影局部面积时， 常常不能直接计算出结果， 可从反面思考，从整体中去除空白局部面积, 就是阴影局部面积。
1题，42个错题最多可以使
42个人无法全对，因此四道
从整体考虑问题
有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远一 点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果。
【例12】 现有一个3
X
4的长方形，现在任意横着切
2刀，竖着切4刀，把长方形分成了
15个小长方形, 求这15个小长方形的周长之和是多少？
分析：很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部
出发，是不可能求出来的。因此我们要从整体出发去考虑 观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为 加8,而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为
-----------------------
4的边，即周长和增
3的边，即周长和增加
2刀，竖着切4刀后周长
6。因为长方形的周长为
和为：
2X(
3+4)
=14,所以横着切
14+2X
8+4X
6=54
。
注：这个题目也可以用从特殊情况考虑，
长和为(1+0.8)
X
2
X
15=54
这与我们的第一种方法的答案是一致的。
考虑每个长方形都一样的特殊情况那么长和宽分别为
1和0.8周
【例13】 某杂志每期定价2元，全年共出12期。某班局部同学订半年，其余同学订全年，共需订费
元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需
480
120元。问：这个班共有多少名学生？
分析：从总体考虑(480+
120)元是全班同学订1年半的钱，所以有
25名同学。
【附1】 平面上有101条直线，它们最多有多少个不同的交点？
分析：题目条件里的直线太多，因此我们从简单情况出发，先考虑
直线条数 交点最多的个数
2条，3条……直线的情况,
2
3
4
5
1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
:附加题目
从上面的简单情况可以看出，平面上
n条直线最多有：［1+2+3+4+……+
(
n-1
)］个不同的交点，此题中是
101条直线，因此最多有
1+2+3+……+100=5050条直线。
【附2】 如果一对成熟的兔子第一个月后能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个 月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按 一定的规律迅速增长，那么
1年后一共有多少对小兔？
分析：规律为:
13 21 34 55 89 144 233
，一年后共有233对小兔。
【附3】 把假设干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小朋友将分到
果，如果只分给大班，那么每个小朋友将分到
果？
6个苹
10个苹果，那么如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹
分析：看了这个题目，我们会想，如果知道有几个苹果就好了。可惜条件没告诉我们，可是，仔细想一想 会发现，无论有多少个苹果，题目的答案应该是一定的。因此我们从特殊情况考虑，假设有
那么大班和小班一共有
30个苹果，
30/6=5人，大班有30/10=3人，因此小班有
5-3=2人，每人可以分到
30/2=15个
苹果。问题得到了顺利的解决，如果题目是解答题不允许我们这么做怎么办呢？既然知道苹果数就好求了， 我们不妨设有x个苹果，下面的做法是完全类似的，请同学们自己试一下。
【附4】 满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把
它全部喝完•请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水
？
分析：小明共喝了一杯牛奶和一杯水•因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半 杯，合起来是一杯水，最后也喝光了.
【附5】 甲、乙两人同时从相距
30千米的两地出发，相向而行•甲每小时走
千米•与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑
3.5千米，乙每小时走
2.5
5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲
后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，那么相遇时这只狗共跑了多少 千米？
分析：从整体思考：当甲、乙相会时，甲、乙和狗走路的时间都是一样的.
30-(
3.5+2.5)
=5
(小时)，
5X
5=25
(千米)。
【附6】 在前1000个自然数中不是
8的倍数的有多少个？
分析：反面考虑，是
8的倍数的有1000-
8=125，不是8的倍数的有1000-125=875个。
-
3333333=?
:习题五 ：
* _
解答：12
-
3=4,
1122
-
33=34
,
111222
-
333=334
……-
3333333=3333334。
2.求222……2〔共2005个2〕被7除所得的余数
解答：〔利 用规律〕2
-
7=0……2
,
22
-
7=3……1
,
222
-
7=31……5
,
2222
-
7=317……3
22222
-
7=3174
……4
,
222222
-
7=31746
……0
;
2005
-
6=334
……1,所以余数是
2。
3.下面这枚色子，1和5相对,2和6相对,3和4相对，先向前转16次，再向右转4次，向上的 一面应该是几个黑点？
解答：无论怎样翻转，四次一循环，上面的黑点还是1。
4•有一个四边形
ABCD任意四边形〕面积为1,连接各边的中点得到四边形
求四边形DEFG勺面积？
解答：从特殊情况考虑
1/2。
DEFG
5.如右图，正方形
ABCD勺边长为12,P是边AB上的任意一点，M N J,
H分别 是边BQAD上的三等分点，E,
F.
G是边CD上的四等分点，图中阴影局部的面积 是
解答：特殊值方法 因为P是边AB上的任意一点，那么我们可以找
的状态如右下列图：
P与B重合时
% =S
DHB
+ S+SDGBEFB
3
=24+18+18
=60
1〔咚〕12+1
岸〕12
岸〕12+
2
4 2 4
6.把假设干个苹果分给幼儿园的小朋友，如果同时分给大班和小班，那么每个小朋友将分到
果只分给大班，那么每个小朋友将分到
4个苹果，如
6个苹果，那么如果只分给小班，每个小朋友分到几个苹果？
解答：设有12个苹果，同时分给大班和小班,12十4=3人，只分给大班,12十6=2人，3-2=1人，12十仁12个。
7•现有1个立方体，其棱长为
2厘米，从横、竖、纵
3个方向各切1刀，将其分成了
8个小长方体，此 时这8个小长方体
的外表积的和是多少？
解答：从整体考虑，原立方体外表积是:
6X
2
X
2=24平方厘米，总的外表积为：
2
X
24=48平方厘米。
八戒卖醋
八戒开了一家副食小店。一天，猴侄小猕猴来为家里打一斤醋。小猕猴来到师叔的小店，喊道：
叔，打醋！ 〞八戒问小猕猴打多少醋。小猕猴说： 不多，就打一两。〞八戒吃惊地问道：
师
打一两醋干啥？ 〞
小猕猴说： 当然是吃呗！ 〞八戒又问： 一两够吗？ 〞小猕猴说： 不够，再打一两吧！ 〞八戒又问： 二两
也不多呀？ 〞小猕猴说： 那再打一两吧。〞八戒又打了一两。小猕猴说：
小猕猴共计打了十两醋，也就是一斤醋。八戒打完醋，说：
地掏出8角钱给了师叔八戒。八戒接过钱，说：
还打一两，再打一两 ……〞这样，
共计一斤醋，8角4分钱。〞小猕猴不慌不忙
不要耍赖，还差
4分钱呢！ 〞小猕猴问： 师叔，打一两
醋多少钱？ 〞八戒说： 一两醋当然是8分4厘，4厘钱就舍去。收8分钱。〞小猕猴说： 这么说来，一两 醋就是8分钱了。〞八戒说： 那当然。〞小猕猴又说： 十两醋就是8角钱了！ 〞八戒说： 算得正确。〞小 猕猴说： 我给了你8角钱，你怎么说还差
4分钱呢？ 〞八戒无言以对，只好又亏了
4分钱，望着小猕猴提 着醋走了。
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