2023年12月25日发(作者：2026安徽数学试卷中考)
2021年第5期中学数学月刊•
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•隐圆问题处理方法研究\"的教学实录与反；吴万征(江苏省句容高级中学212400)在2020届高三进入二轮复习阶段后，为有效
提升复习的针对性,句容市教师发展中心召开了
以“聚焦微专题，强化关键能力”为主题的高三二
力和提升学生通过现象能够发现问题本质的能
力；(3)通过隐圆这个小的切口
,帮助学生形成解
决一类问题的研究方法，积累研究方法的经验.教学
轮复习研讨会•笔者应邀开设了一节公开课“隐圆
问题处理方法研究”.现将这节课的教学过程、设
结出
的5
见的形式化定义及其几何特征与代数表达相互转化.教学难点
圆的5种常见的形式化定义的
计意图、课后反思择片段整理成文，不妥之处请各
位批评指正.几何特
与
数表达相互转1
学情分析本次教学对象是四星级高中的高三物化班学
3
教学实录3.1
教学片段1——剖析前置作业，追根溯源生•学生具备较强的自主学习能力、运算能力和综
题1
(苏教版选修2-1第63页例1改编)已合运用知识解决问题的能力，但学生平时疏于对
知识的归类整理，不屑于对问题追根溯源,更喜欢
挑战难度大的压轴题•一轮复习教学时，学生仅在
知A
)^1］是#轴、！轴上的动点，且AB
=4,求
线段AB的中点M的轨迹方程.生1：设点M(#,y),由题意知OM
=
2,得到
点M的轨迹方程是#2
+y2
=4•综合练习时零星地遇到过隐圆，没有形成系统的
知识体系，故而二轮复习时,笔者通过微专题的形
师:点M的轨迹是圆,请给出这个圆的定义
生1:到定点的距离等于定长的点的集合.师:大家认可她的看法吗？有什么前提条
式，从学生知识发展的认知起点和思维发展的生
长点出发,将该知识点形成体系，以帮助学生形成
解决
的2
考点解读纵观近几年高考数学江苏卷，隐圆既是考查
件吗？生众:在平面内.师：(追问)你能用数学符号语言描述你下的
定
吗？的热点又是考查的难点，常以压轴填空题或解答
题的形式出现，与直线相结合考查直线与圆的位
置关系，与三角形相结合考查解析法思想等，尤其
是阿波罗尼斯圆，常考常新•隐圆的相关问题实质
生1：在平面内，{M
MA=r},其中M为动
点,A为定点G
>
0为定值•师:接下来答题的同学,请同时给出相应轨迹
是解析法在处理平面图形问题中的应用，曲线与
的定
数学
语言
你下的定方程相互转化，几何直观与代数推理相结合•这些
不仅需要学生具有较强的逻辑推理能力和数形结
题2
已知点O(0,0),A(1,1),直线MO,
MA的斜率之积为一1,求点M的轨迹方程.生2
：设点M(.#,y),根据题意得到点M的轨
迹方程是(#
—
2)2
+
(
—
2)2
=2.点M的轨
合能力，还需要学生具有良好的数学直觉思维能
力，以及较强的代数运算能力.教学目标(1)通过对前置作业一般化和学
生一起归纳总结出圆的5种常见的形式化定义，
完善知识方法体系，体会转化与化归、数形结合的
迹是圆，它的定义是:在平面内，与两定点斜率之
积为一1的点的集合•用数学符号语言描述为:在
数学思想，提升数学直觉思维能力；(2)通过例1
的形异质同题的一题多解、多题一解，例2及变式
的题同质异,进一步培养学生的数学直觉思维能
平面内,{M
0MA
$
0MB
=
—
1},其中M为动点,
A)为定点.:
有什么要
的吗？&本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度普教重点自筹课题％核心问题，驱动下高中数学探究性学习范式研究”(编号:W
2020/02/246)、江苏省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“回归教学原点的高中数学课堂重构研究”(编号:D/2020/02/183)、
2020年江苏省高中数学名师工作室(主持人:钱宁)第一次研修的阶段性研究成果.
•
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•中学数学月刊2021年第5期生2：点M的轨迹方程里要除去#
=0和#
=1师：(追问)为什么呢？生2
：因为点M的横坐标为0时,MO的斜率
不存在;为1时,MA的斜率不存在.师:这是由斜率的定义决定的•那么你给的定
要？生2：在平面内,与两定点斜率之积为一1的
点的集合(除去定点所在垂直于#轴的直线与曲
线的交点).用数学符号语言描述为：在平面内，
{M
kMA$kMB=—16,其中M为动点,AB为定
点，且点M的横坐标不等于A,B的横坐标.题3
已知点O(0,0),A(1,1),点M满足
MO2
+MA2
=4,求点M的轨迹方程.生3
：设点M##,y),根据题意得到点M的轨
迹方程是(#一
1)+
(
一
1)=1.点M的轨
迹是圆，我下的定义是:在平面内，到两定点距离
的平方和为定值的点的集合•用数学符号语言描
述为:在平面内，{M
MA2
%
MB2
=A},其中M
为动点,A,B为定点,％为定值.师:表述得非常准确！(追问)的取值范围
什么？生
3：
>0.师：(再追问)显然%
>
0是必要条件，充
分吗？3：师:大家同意他的意见吗？(学生们众说纷纭)师:如果把问题改为“求实数％的取值范
围\'\'呢？生3：设点M(#,y),由条件MA2
%
MB2
=%
得
#2%y2%(#—1)2%(y
—1)2=%.化简整理得
(#—1)
%
(一4)
=%—⑴所以
%
>L师:由此可见充分必要条件是——3
：%
>1师:你是怎么想到这样处理的呢？3
：
把
条件
,
得
的
程
简后是圆的标准方程，观察得到%
>
1.师:也就是回到定义上去一坐标化一解析
几何的基本思想.若A
(a,2),B(c；)呢？生3：(演算后回答)点M的轨迹方程为
(#-叮)%(-罗)=2-1-a—3)%（2
一此时
%
>
1^
（a
一c）%（
2
一题4
已知点O(0,0),A(1,1),点M满
&MO •MA=4,求点m的轨迹方程.生4
：设点M (#,y),根据题意得到点M的轨
迹方程是(#
一⑴)%
(—1)=9点M的轨
迹是圆，我给这个圆下定义:在平面内，与两定点
形成向量的数量积为定值的％合•
％数学符号语
言描述为:在平面内，{#
IMA•：%=%},其中
M为动点,A,B为定点,％为定值，它的取值范围是%
>—⑴师:若
A(a
?2)
)B(c
；)呢？4:
同
,
可
点
M
的
程
为#—a%L\'）
%（一岁）=%%4-a—c）2%（2
一
d）2..此时
%
>—⑴］（a
一c）
+
（
2
一题5
(苏教版必修二第11页第1题)已知点M
(#,y)与两个定点O
(0,0),
A
(3,0)的距离
之比为1，求点M的轨迹方程.生5 ：设点M(#,y),根据题意得到点M的轨程
!#
%1
)
%y)
=4
点
M
的
这个圆的定义是:在平面内，到两定点距离之比为定
值的点的集合.用数学符号语言描述为:为定值,%
>0
%
(1:!追
)%
=1
,点
M
的
什么？生5：线段AB的垂直平分线.问题1如果把圆的第1种形式定义起名为
定义圆，那么其余4种定义形式的圆，你可以分别
给它们起一个名字吗？生众:斜率圆、平方圆、向量圆与比值圆(其实
比值圆是阿波罗尼斯圆)•问题2
这些圆彼此之间有什么联系？生6：斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向
量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于
—1生7：需要注意斜率不存在的情形.师:很好！也就是说数量积为零比斜率之积
为一
1更一般.生8：比值圆与平方圆是一样的，都是用两点
2021年第5期中学数学月刊•
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$间距离公式求解.师:生8发现比值圆与平方圆解题所用知识
点是一致的.问题3目前,我们发现圆的五种常见形式
化定义，课本为什么用“平面内，到定点距离等于
定长的点的集合”作为定义呢？生8:定义简洁，体现数学的简洁美！生9：圆的其他的四种形式化简整理后就是
“平面内，到定点距离等于定长的点的集合”的数
学符号语言表述.师:说得非常好！大道至简莫过如斯！设计意图
前置作业为容易题，作为课堂教
学的起点，以之唤醒学生对即将复习知识的记忆.
数学语言的转化是解题的重要前提，文字语言向
符号语言转化是学生必备的能力之一，也是学生
的薄弱之处.通过追问，一方面培养学生的语言转
化能力，另一方面培养学生口头表达的能力.通过
追问、反问、再追问，把学生的解题思维“挤”出
来：回到圆的标准方程或一般方程确定2的取值
范围，即回到定义上去.问题1引导学生对圆命
名，实质上就是贴标签，有助于基础薄弱学生的思
维定势，即看到条件有思考的方向，把数学能力转
化为数学技能，让“不同的人在数学上得到不同的
发展”口*的基本理念落地生根.通过问题2和问题
3的设置，将隐圆的相关知识点整合到同一个概
念里，找到隐圆的题根，进而帮助学生获得高阶认
知所需的“事实性知识的网络结构”.很显然，这是
一种深度学习，体现出核心素养“科学思维”的本
质特征.如此被赋予方法论意义，获取余文森教授
所指出的“最基础、最具有生长性的关键素养
促使学生实现由思维层面向素养层面的转化.3.2
教学片段2——分析例题，剥茧抽丝例1
(2018届南通市、泰州市一模第13题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(—
4,0),
B(0,4),从直线AB上一点P向x*2
+y2
=4引两
条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD中
点为：，则线段A：长的最大值为_____•则y。&
x。生10：(投影其解答)设P(x0,y。)，+4.同时可知切点弦CD的方程为x°x
+
y°y
=4,与直线OP的方程x°y
—y°x
=0联立得
:点坐标为(-4•，仝=)•所以A：=4x02「-
4(x0
+4)
I2-x0
+
(x0
+
4)
-+x0
+
(x0
+4)我觉得这个式子太复杂了，肯定算不出来，就放
弃了.师:这种放弃很明智•用葛军教授的话说，这
时应该转场，要么写下一题,要么你换一个角度重
新思考.生11：(投影其解答)把y0=x°+4代入直线
CD
的方程x0x
+y0y
=4
整理得
x0(x
+y)
+
4(y
—1)=0,所以直线CD过定点N
(—1,1),且
OM丄MN.所以点:在以ON为直径的圆
(x
+1)
+
(—)=》上.线段AM长的最
大值为槡(一4十1)十(*)十槡=3槡.师:你是怎么想到的？生11目标线段AM中A为定点，所以我期
望点M的轨迹是圆.而点P在变化的过程中,OP
与CD垂直于点M不变，又O为定点,根据“斜率
圆”或者“向量圆”的定义，直线CD若过定点，问
题就迎刃而解.我就尝试着寻找直线系x°x
+
yy
=
4所过的定点.师:生10的方法是建立线段AM关于x。的
函数关系，转化为函数求最大值问题;生11的方
法是利用直线CD过定点，进而得到点M的轨迹
是圆,把求线段AM的最大值转化为圆上一动点
与圆外一定点距离的最大值问题•前者从代数的
角度入手，易想，但难解;后者从几何的角度入手,
易解,但难想•不论是代数角度还是几何角度，都
是同一个问题的两个方面.问题4请同学们思考，方法1与方法2有什
么联系吗？生12：设点M(x,y),则由方法1知x
&4x0
4y0
则
)
)
4x0
)x0
+y，
0
x0
+y，
0
x0
+y0(/
4y0
)
2
&
16
曰
一 =4x0
一x0
+y0x0
+y0\'
x
y
x0
+y024
y70
2—16x0
+y
&
0
x2丄2\'两式相加得点M的轨迹方程
0
+y0x)
+y)
+x
—y
=0师:真精彩！请问你是怎么想到的呢？生12：根据方法1和方法2的结果凑出来的.()13:
1)的
就
的
数
程求普通方程的方法.
•
40
•中学数学月刊2021年第5期师:生12通过凑来寻找两种不同方法之间联
系,靠的是他的数学直觉，这一点非常难能可贵.
实际上这是附加题中已知曲线的参数方程求普通
方程的常见题型，要用联系的观点,而不是孤立地
看问题•大家在一题多解中应多角度比较不同解
法之间的联系和区别•这样有助于增强大家对不
同解法适用题型的数学直觉，同时也有助于大家
对问题有更为立体的认识.设计意图
一题多解培养学生发散性思维.
引导学生比较不同解法在处理同一道题目时的优
点与不足，帮助学生在理解不同解法的基础上优
化解题思路；比较不同解答之间的联系和区别，多
解归一.如此加强学生认识问题的深刻性.3.3
教学片段3——小结课堂，纲举目张(1)
你能归纳一下本节课我们是如何研究隐
圆的吗？(2)
你认为我们在应用隐圆时，应注意哪些
(3)
你认为一题多解后，做哪些工作可以深我们对
解
的
？设计意图
用核心问题组成问题串，促进学
生思考，并提纲挈领地归纳总结出本节课研究的
问题、所用的研究方法，以及关键细节，以期学生
在学习层次和认知水平上得到提升.4
教学反思4.1
—点想法本节课是高三数学二轮微专题复习研讨课.
本节课把散落在平时有关圆的定义的问题集中在
一起,帮助学生建构相关知识体系•通过对前置作
业的5个小题的分析，引导学生猜想、总结出相应
的圆的定义形式，并用符号语言表示出来,同时注
意相应参数的取值范围，并追问为什么是这个范
围，进而引导学生经历知识与方法的过程•在其过
程中,建立学生当问题不会处理的时候回到定义
上去的意识•在5道小题一般化之后，对其中的圆
分别命名•其实比值圆是阿波罗尼斯圆•命名本质
是贴标签,有助于学生看到条件有思考的方向，即
数学直觉，有利于思维的定势•通过例2与变式的
分析(没有来得及)，引导学生发现看似相同的题,
实则处理的方法迥然不同•通过对问题的辨析，认
识其本质,以防止学生思维过分定势.4.
2
一点争论有听课教师认为，作为物化班的二轮复习，本
节课的教学起点显得过低，应该从综合题入手，提
升学生分析问题的能力•但过多地追求题目的难
度，就容易忽视大部分学生的现有思维水平和认
知结构,教学与学生的试卷相脱节,从而打击学生
学习的积极性和自信心•二轮微专题复习教学的
教学依然要回归教学的原点，同时把准学生知识
发展的认知起点，适当放低起点，以简单的题目为
载体，以发展学生思维为主线，厘清分析问题的思
路和方法，及时总结并适当延拓至一般情形，找到
题根，凸显知识本质,在知识深度理解和能力培养
的过程中看准核心素养发展的关键点，提升学生
数学核心素养，到达教学高落点.4.
3
一点遗憾因为学生在课前充分预习并认真解答了学
案,所以教师基本上把课堂交给了学生，以学生为
主体,把所有的学生卷入课堂,有师生互动、生生
互动•结果课堂时间节奏没有把控好，导致教学任
务没有完成•对生10例1第(3)题的代数解法，教
师直接生硬地借助于生11转到自己预设的轨道
上.上课时间虽然紧,但此处不应该追求课堂的容
量;应该少一些功利，多一些平和，让学生的解题
思维自然地流淌；应该停下来，预设应让位给生
成,带领学生一起处理繁重的代数运算•这样，一
方面能培养学生坚韧的意志品质,另一方面更加
直观地比较两种不同解法的优劣，加深学生用发
掘问题中所蕴含的几何条件来降低代数运算的体
验，同时让方法的选择更加自然.4.4
一点困惑陶维林老师说,学生能处理的就放手,学的
个
则
此)
复习
学这是教
学案,教师批阅并摘录学生不同解法和统计正确
率,在此基础上评讲学案,学生订正整理学案的流
程•这里存在一种普遍的现象:部分学生会根据自
己学案
与
有选
性
听教
评讲)有错过教师的评讲•这种现象显性的是错过教师评
讲的过程,隐性的是错过教师对知识点的归纳、对
解题思想方法的总结和对一类问题本质的揭示.
这就是二轮专题和微专题复习教学中的“滑过”
现象•这类问题的解决除了动之以情、晓之以理的
苦口婆心的说教外，还有更适切的方法吗？参考文献中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准
(2017版)[M..北京:人民教育出版社,2018：2.余文森.论学科核心素养的课程论意义教育研
究，2018(3):129135.
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