2023年12月25日发(作者：菏泽市小升初数学试卷)
・50・中学数学月刊2021年第5期周期函数概念的历史韩
粟(华东师范大学教师教育学院200062)1
关于
这些
复的
的认识，潮涨潮落，春去秋来……引起的各种周而复始的现象又致使周期一词在农
牧、地理、宗教、哲学
面具有了丰富的内涵.但就
昼夜
，阴晴
现象伴
社会的
与这些而言，倘若用数学的眼光看周期，它在抽象之后
无非就
些简单的算术而已•直到三角学的解放发展.”
西
英
通过观测、记录天象的
明中，位，制，选址建筑，经营农耕.和微积分的创立，周期才被赋予数学上更广泛的
意义.特郡的史2
三角函数的周期性在欧洲，
数学家雷格蒙塔努斯(J.
遗迹----巨石阵(Stonehenge)被认为
Regiomontanus,1436—1476)最早将三角学从天文
学中独立出来，成为数学的一个
数
世
最早的天文•进入17世纪，如图1所示，它可
来观察月相由新
再是几何的附庸，经过沃利斯(J.
Wallis，1616—1703)、牛顿(I.
Newton,
1643—1727)和莱布
图1
英国邮票上的巨石阵月到满月的周期变
化,一些学
尼茨(G.
W.
Leibniz,
1646—1716\"等大数学家的努
，代数及分析的理论不断拓展•此后，函数日趋成
为主流,角的概念得到推广，在此
为它可以用来确定太阳升起和落下的最北处和最南
在古巴比伦，人们发明日畧来确定一天中的时
下三角函数应运而生•法国数学家拉尼(T.-F.
de
Lagny,
1660—1734)、英国数学家柯特斯(R.
Cotes,
1682—1716)都曾致力于三角函数的研究，他们不
而同
发现三角函数可
来
刻;编
月相盈缺和太
的
合历，又将七个星宿和七个神灵一一对应，创立七天一循
环的星期制度，用以安排农事活动•古埃及的祭司还
会通过
天空中天狼星的显现来预言尼罗河的泛中在的周期现象，这一性质即三角函数的周期
性(periodicity)-94^.，以便防范洪灾，树立其威信中国的
四
同样擅
大自然的周期变乃得七十化规律，他们既能仰观天宇，通过圭表测日等制定二；又能俯察大地，研究动植
二候.”汉书•礼乐志》中载有的“精健日月，星辰度理，阴阳五行，周而复始”一说，反映出古代人民对
的
在《敬斋
黄主》中
了其朴素的辩证 哲学观.后，金元之际的数学家李治(1192-1279)
“周期\'\'一词，书中记载(阴图2
法国数学家拉尼
图3
英国数学家柯特斯相配
，而老少又必相当•乾之策，二百
• &2.这
故有六，老阳也;坤之策，百四十有四，老阴也•老阴老阳
相得为三百六十，则周期
《周易》中的“六爻\'\'占卜法，其中一爻对应的策数只
有36*2*8*4四种，36策为老阳，记为乾卦,24策
1748
年，欧拉(L.
Euler,
1707—1783)的划时代
巨作《无穷分析引论》出版，函数被确立为分析学中
的
对象•欧 函数的视角审视了
的，与
教科书中的顺序不同，在第8章《来自圆的超越量》中，他
给出两角和的
余弦为老阴，记为坤卦,则六爻至多可得乾卦216策，至
多可得坤卦144策，二者合并,得周期之数为360.无论哪一种文明的迹象都表明：周期起源于天
公式
sin(#
+y)
=sin
#
cos
y
+
cos
#sin
y
,cos(#
+
y)
=
cos
#
cos
y
—
sin
#
sin
y，将上述两式中的一个
角依次替换成2
\"和2\",并用”表示全体整数,文学•天象的周期
为
社
定了
序,
2021年第5期中学数学月刊表1《无穷分析引论》中的诱导公式・51・正弦函数sin[x
+
2\"
& cos
xsin(x
+
兀)=一
sin
x4”
+1sin
(x
+-------兀丿
&
cos
x4”+2sin
(x
+
—-—\"丿=一
sin
x余弦函数@os(x
+=
—sin
x4”
+1
.cos
(
x
+---------
\"
)
=
—
sin
x4”+2cos
(x
—2—\"丿
&一
cos
xcos(x
+
兀)&
—cos
xsin(x
+2)—cos
x
4”+3sin
I
x
+-------\"丿&
一
cos
x4”+4sm(x +---2—\"
)
&
sin
xcosx(+2)sin
x4”+3cos
(x +---2—\"丿&
sin
x4”+4cost
x +-------\"
)
&
cos
xsin(x
+
2\")
&
cos
xcos(x
+
2\")
&
cos
x进一步将它们替换成加上2”\"后的值，得到一系列
导公式（表1）欧
角函数的周期性，还有数学家结合三角函数的图象
给出了直观的解释，如格兰维尔（Granville,
1909）以
函数y
=sinx的图象为例，指出：角在0到2\"内
发现自有明确提出三角函数周期性的概念，但他默许”在整数集内任意取值，说明他
复出现•还有一条有力的证据来
，正弦值先从0:
后从一
1
1,再从1
一1最每
（或
）2\",正弦函数值或余弦函数值
0
；在2\"到4\"内，正弦值经过相同系推,
第21章《超和平行
变列的值，依
函数的周期为2\"；同和余切在每\"
越
》,此章的内容表明（
理，余弦函数、正割函数y
=
sec
x及余割函数y
=csc
在
数
则
的直线（不超出振幅丿有无数多个交x的周期都为2\".由
过相同系列的值）
内经点，且每两个相邻交点间距离相等,余弦曲线同理,
有这一性质页・们的周期为\"•综上，他提出：当角匀速
过同
或
，每一个三角函数反复经欧拉的工
得列的值，故称其为周期函数页•斯顿（Dresden,1921）研究了广对三角函数周期性的研始全面化*
化.
此后，一些数学家
欧
美国数学家
义的正弦及余弦函数，即y
=
sin（a0
+
b）和y
=
拉,通过列
导公式来
表
函
数 和
余
函
cos（a\'十b）
,a是任意有理数,然后结合图象指出它
2\"
1们的周期为
•他认为，许多自然现象都有着
a
周期
数的周期性变化特征，并补充了正切函数等其他三
角函数的周期性19世纪中后期，周期函数（periodic
function）
—
的特征,三角函数具有的周期性是其在自，当欧
然现象研究中具有重要意义的原因之一.至此，我们
三角学从静态的解三三角学内的
工具，如词面世•英国数学家惠勒（Wheeler,
1877）指出：记任意角XOP的角度为\"•对任意（非零）整数0\"
士
角形中解放出来后，动态的三角函数的研究如雨后
现，数学家们
20\"和\"对应角的所有三角函数值相等•这一性质
使得三角函数又被称为周期函数，周期为2\".他还
导公式、角的终边、单位圆、函数图象等，分别定义
了三角函数的周期性，还展开了
的
，因此得注意
函数和余切函数有着更小的周期\"ra.（Oliver）在文献［7.出的结论也是比较准确的.1883年，美国数学家
3
周期函数的定义中“函数的周期性”一节给出了更详细的解释:若0
19世纪末至20世纪初，无论是由物理学中对各
种信号波形的
发的对数学工具的强烈需求，取正整数，则十2\",十4\",…，十20\"表|角XOP的
终边OP逆时针转过1,2,・・・,0圈;若0取负整数，则—2\",
—
4\",…，—20\"表|终边OP顺时针转过1,
数学内部函数作为一门数学语言的飞速发展
（如来自函数图象的直观证据等丿，都促使数学家们
索
期性
2,・・・，0圈.因此，角度\"和\"士20\"对应的终边均为
OP
）则
们对
的三角函数
值相
同
）
称
三角函
数为“角的周期函数&7.・维钦斯基（Wiczynski,1914）
周期函数的定义•尽管三角函数的周若揭，但同奇、偶函数
，要发展出数的符号语言完整表述的周期函数定义，其中
借助单位圆中角终边OP的旋转给出了相同的
解释瓦・上述数学家基于诱导公式和角的终边说明了三了曲折的数学抽象过程.3.1
义最初，一些数学家倾向于用自然语言描述周期
・52・中学数学月刊2021年第5期函数这一概念，与此同时，周期的概念也开始登上历
丈萍口・rh
.Zx
首次用函数的符号语言给出了周期函数的定义：若
函数f
(#)具有性质f#)=f#
+0),其中#可取
任意值,0为常数，则称f#)为周期函数，而满足该
1900年，杜尔斐(Durfee)给出如下定义：当自变
量或幅角
期
复自身的函数称为周期函数•周式的最小(正)数0称为该函数的周期「⑸.该定义
可以视
中
定义的
数版本，也是函数值发
复的
的 -1.而帕的最出前(Palmer,
1914)给出的定义为:周期函数是指当
个
值
的函数，该
现行教科书中定义的 •但结合函数概念及其构在一些可待商榷
周期函数的定
成要素仔细推敲，该定
,值称为周期-2.比较这两个定义，可
未摆脱三角函数的
比如：(1)没有明确周期函数的定义域(根据下方的
，抽象程度较低，而后者注释，可以推测穆
为
：未
函数 ，
的说法，周期应该有无数个，巾
•按照杜最
值数)；(2)
为周期函
数的周
期
定
在
有
个，其在正数范围内取值.此后，对于周期的讨论延续不断.罗森巴赫
的那一个作为周期.可以推测,在周期函数概念的诞
，数学家们对周期该如何定
在
定的(Rosenbach,1937)指出：一个周期函数的周期的任
意(整数)倍也是周期-6.斯梅尔(Smail,
1952)定
义:使f#)
=f(#
+P)的绝对值最小的常数5为
.还有一种定义是基于函数的图象来描述周期
性，如莫里兹(Moritz, 19⑸先定义:每隔一个确定区
原始周期(primitive
period)(又称基本周期,
fundamental
period)-17.
1955
年，怀利(Wylie)在《平
间重复
的曲线称为周期
(periodic
curve),发复的区间称为周期；然后他称这种曲线所表示
的函数即为周期函数-3・盖伊(Gay,
1935)的定义则
面三角学》中首次明确了周期的
性工作解决了从三角函数的周期性抽象到一
为:若一个函数的图象由
有可能值的区间
列形状完全相同的弧周期函数过程中
周
期
的
列
在无意义的，然，则称该函数为周期函数#称为 的周期三角学中，将角的终边旋转0
周期的概念，正对
而一般化后，却极易忽略周期取值非零这一点•基本
，一个数学概念
始
建立在直观和经验终边旋转1圈的情形.，但过分依赖几何直观容易导致致命的错误，且看
图5所示的两个简单的函数图象.对
1940年，德累斯顿在《微积分导论》中定义周期
定义，两函数如下:设函数f(#)的定义域为I?
(Range,表示
取值范围)，若对任意的#
#和#
+5都属于？,且满
个
在重复
，每一段弧的形状更是完相同，按
但按
多满
，借助
茨的定义，它们都有确定的周期，花，不知丿，我们可以画出很f#)=f(
+5)，则称f(#)是周期为5的周期
函数-9.
”
的定义，周期则
斯顿的定义表明：周期函数的定义域要是连续的区间，只为函数的段函数的
要为整个实数集，甚至
定义的函数图象,但它们表示的未必是要定
至少有
语言的
无界即可.得周期性
数学家的定
要性质
，
现了
周
期函数
性定
形
式善尽美,化定义的
•
•
比如:斯梅尔所说的
周期一定存在吗？周期的取值范
综上，尽管上述定义适用于三角函数，但符号语
底是什么？此
期内，没有一个数学家的形
义给出
整无误的周期函数定3.3
言的缺位、定量刻画的缺失，导致此类定义未能清晰定
1958年，夏普(Sharp)集前人之大成，给出了较
周期函数概念的内涵，自然语言的滥用错误
大，导致周期的定义完善的周期函数定义:设函数f(#)的定
为D
,
为非零实数，当#在D中时#80也在D中.若对于
又使得概念的外
甚明朗•所以此匕
象性和严谨性，尔后不再性定
义合数学的抽D中#的每一个值,均有f
(#)
=
f(十0),则称
f#)为周期函数，数0称为f#)的一个周期-0.与
斯梅尔对基本周期的定
有差异,夏普只取最小
的正数为基本周期，又称最小正周期(smallest3.2
的形
1899年，穆雷(Murray)在《平面三角学》一书中
2021年第5期中学数学月刊・53・positive
period))与今日教科书中的说法相同.那么，
最小正周期一定存在吗？夏
通过常值函数这数学中许多教科书便采取了与之相似的定义•若取
正弦函数的正半部分y=sin#,#
\'
-,+o),在此
简短有
说明了周期函数
周期定存在最小正定义下它便
周期函数.定 对孰错？孰优孰劣？许多一线教师夏普还指明了周期的取值范围是(—o,0)
U
(0,o),据此我们可
数学史上一个著名的就此
屡屡
争鸣.综合、辨析他们的观
+点-2-23.，笔
为:在高中阶段，学
无界的，无
解周期考究其范函数
——
狄利克雷函数(Dirichlet
function)/(#)
&函数的定
情
定
至
无
取任意有理数q
(
0
,则当#为有理数时,#
+
q
双侧无界，能针对，几乎所有具有析即可.回到周期的
周期性的
后者，刁
现象
刻开始的，如
价值，也背离了
:为有理数，有/(#
+
q)
=1
=
>#);当#为无理数
时,#+q为无理数，有>(#+
q)
=0=f(#)
/所以任
意有
数
函数的周
期
任意无
数无界的函数的周期性，则大大三角函数了周期函数的
建
周期
的数学
的出发点•考8
,其相反数一8为无理数，则f(—8)=0,而f
(一
8
+
8)
=f(0)
=1,即
f(—8)
(
f(—8
+
8)，所以任意无
数学与高等数学的衔接，或许数学工
们应当将周
期函数的定义进行适当的推广，如定义“弱周期函
数&旳，以消释现行
周期函数定义的矛盾.理数
定在函数的周期•对 函数周期性的讨论同样表明了周期函数的最
周期不4
结论与启示综 ，我们可以大致勾勒出周期函数概念此外，夏普在书中还提出并证明了周期函数的
若干定理：定理1
若周期函数f#)的周期为k,则k的
的历史演进过程(图6).描述性定义&周期现象三角函数的周期性不完善的形式化定义较完善的形式化定义现行教科书定义—O---------@---------------®----------------®------------S―a17世纪初
任意非零整数倍也是f(#)的周期.19世纪末
20世纪中2
若函数f(#)是周期为k的周期函数，则对任意的非零数c,函数f(x)是周期为一的周
kc图6周期函数概念的历史演变有诗云:“东升西落照苍穹，影短影长角不同•昼
夜
期函数(#均为自变量).潮起伏，冬春更
枯荣•”为
刻画这些.3
若函数f(x)和g(x)均为周期为k的
与现
活
相关的周期现象，数学家们首先建周期函数，则函数
@1
(
#)
=
f
(#)
+
?(#),@2(#)=
三角函数这
数学
，
而数学内
外
的，其间
f
(#)
—
g
(#),@3(
#)
=
f
(#)
?
(#)及
@4(#)=又推动
周期函数概念的
了由性定义、不完善的形式化定义至」较完善的形式
定义的演变，为
百余年•直至
(
#)(
0)仍为周期为k的周期函数.夏普特别强调，定理3中的周期不可与最小正
周期一概而论，艮
由函数f
(#)和g
(#)的最小
，数学界对周期函数概念的定义仍未达对周期函数定义的追
、刨根问底，为当前的正周期均为k而推出上述任何一个函数仏(#)(
i
=
1,2,3,4)的最
周期仍为k.接着夏
高中数学教学
了诸多启示：，教育取向的数学史证明其一，提供丰富的课堂教学素材•在最新
国际数学史与数学教
地给出了下述定理：4
若周期函数f
(
#)
Pg
(
#)的最小正周
研究超过了三
「皈・研读与梳
始史料，特期的比为(非零)有理数，则它们存在一个共同的周
西方早期数学教科书的
和解释学生的学习
,
，为
教［供期，且上述函数仏(#)(
i
=1,2,3,4)仍为周期函数.现行咼中教科书定义周期函数如下:一般地，对
了最贴近中学教学实际的历史素材,
教学过程.已有的于函数f(#),如
在一个
数「使得当#证
-6.
表明：融入数学史的周期函数教学,学生对概念本质的理解，更能帮助学
取定
内的每一个值时，都有f
(#
+
/)
=f
(#),
那么函数f
(#)就叫做周期函数.-1.与该定义相比，
夏普的定义要求#8k必须都在定
+中,势必导
动态的数学观.其二,培养严密的数学抽象
学的
•数学抽象是数致周期函数的定义域在数轴的
要无界，高等
思想,而数学史让我们看见，人们正是从自
・54・中学数学月刊2021年第5期translated
by
Blanton
J
D. New York：
Springer,
1988.然界中的周期现象中逐步抽象出周期函数的数学概
念,最初过分依赖直观和
路，但经过数
数学家们走了一些[6]
Wheeler
H
N.
The
Elements
of
Plane
Trigonometry
[M].
Boston:Ginn
&
Heath,
1877.的
象的
，最终形成了较完善，以新代旧，跨越历史，深的定义•以史为鉴，可以让学生在辨析历史的过程中
积
[7]
Oliver
J
E.
A
Treatise
on
Trigonometry
[M].
Ithaca,
N.
Y.
:
Finch
&
Apgar,
1881.刻 数学的严谨性与抽象性.[8]
Wilczynski
E
J.
Plane
Trigonometry
and Applica-
io”s[M].
Boston:
Allyn
&
Bacon,
1914.其三,开展跨学科的数学建模活动•人教版教科
书以我国古代发明的
灌溉工具一筒车为例，
[9] Granville
W
A
Plane
and
Spherical
Trigonometry
[M].
筒
盛水筒的运动具有周期性，因此可
三角
函数建立盛水筒运动的数学
天文学中的天动*
学中的
、医学中的心电图、艺中的
色，这些都呈现出周期
的特点，能展数学建模活动，且学
有数学中三角函数和周期函数的
远远
的，还需要他们广
动其他学科的
来建
•在课许的情况下，数学教师可以与其他学科的教师
合作，走
内
或
外更广阔的实践天地，数学建
的
根.图7几种交变电流的波形（人教版物理选择性必修二）其四,尝试高观点下的数学教学.上文讨论了数
学史上的著名函数一一
函数的周期性，这则是大学微积分教科书中的习题•曾有教
其
呈现为课
，少数学生可以当堂给出完整的证明，在教
导下多数学生可
解证明的过程和结论,无形间
了逻辑推
•若有学生在
\'了周期函数定义的
后
“现在书中的定义一定
吗”等疑问，教师不妨呈现高等数学中的另一定义,引导他们辨析
的异同，或许对学生批判性思维的
有
益.参考文献维克多・J・卡茨.数学史通论[M.北京:高等教育
出版社,2004.李冶.敬斋古今k[M.北京：中华书局,1995.斯$
因.古今数学思想（第2册）[M.上:上海科学技术出版社,2014.[4.
Cajori
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MurayD
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B,
Whitman E
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L
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New
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McGraw-HilBookCompany,1955[19
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汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学——理论、践与案例[M].上海:华
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