2023年12月7日发(作者：温州中考数学试卷2013)
71、常用不等式:
(1)(当且仅当a＝b时取“=”号).
(2)(当且仅当a＝b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5)、
72、极值定理
已知都就是正数,则有
(1)若积就是定值,则当时与有最小值;
(2)若与就是定值,则当时积有最大值、
推广 已知,则有
(1)若积就是定值,则当最大时,最大;
当最小时,最小、
(2)若与就是定值,则当最大时, 最小;
当最小时, 最大、
73、一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间、简言之:同号两根之外,异号两根之间、
;
、
74、含有绝对值得不等式
当a> 0时,有
、
或、
75、无理不等式
(1) 、
(2)、
(3)、
76、指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
、
(2)当时,
;
77、斜率公式
(、)、
78、直线得五种方程
(1)点斜式 (直线过点,且斜率为).
(2)斜截式 (b为直线在y轴上得截距)、
(3)两点式 ()(、 ())、
(4)截距式 (分别为直线得横、纵截距,)
(5)一般式 (其中A、B不同时为0)、
79、两条直线得平行与垂直
(1)若,
①;
②、
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①;
②;
80、夹角公式 (1)、
(,,)
(2)、
(,,)、
直线时,直线l1与l2得夹角就是、
81、 到得角公式
(1)、
(,,)
(2)、
(,,)、
直线时,直线l1到l2得角就是、
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点得直线系方程为(除直线),其中就是待定得系数; 经过定点得直线系方程为,其中就是待定得系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线,得交点得直线系方程为(除),其中λ就是待定得系数.
(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线平行得直线系方程就是(),λ就是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线 (A≠0,B≠0)垂直得直线系方程就是,λ就是参变量.
83、点到直线得距离
(点,直线:)、
84、 或所表示得平面区域
设直线,则或所表示得平面区域就是:
若,当与同号时,表示直线得上方得区域;当与异号时,表示直线得下方得区域、简言之,同号在上,异号在下、
若,当与同号时,表示直线得右方得区域;当与异号时,表示直线得左方得区域、 简言之,同号在右,异号在左、
85、 或所表示得平面区域
设曲线(),则
或所表示得平面区域就是:
所表示得平面区域上下两部分;
所表示得平面区域上下两部分、
86、 圆得四种方程
(1)圆得标准方程 、
(2)圆得一般方程 (＞0)、
(3)圆得参数方程 、
(4)圆得直径式方程 (圆得直径得端点就是、)、
87、 圆系方程
(1)过点,得圆系方程就是
(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0
,其中就是直线得方程,λ就是待定得系数.
(2)过直线:与圆:得交点得圆系方程就是,λ就是待定得系数.
(3) 过圆:与圆:得交点得圆系方程就是,λ就是待定得系数.
88、点与圆得位置关系
点与圆得位置关系有三种
若,则
点在圆外;点在圆上;点在圆内、
89、直线与圆得位置关系
直线与圆得位置关系有三种:
;
;
、 其中、
90、两圆位置关系得判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,
;
;
;
;
、
91、圆得切线方程
(1)已知圆.
①若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程就是
、
当圆外时, 表示过两个切点得切点弦方程.
②过圆外一点得切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴得切线.
③斜率为k得切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆.
①过圆上得点得切线方程为;
②斜率为得圆得切线方程为、
109.证明直线与直线得平行得思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行、
110.证明直线与平面得平行得思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行、
111.证明平面与平面平行得思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直、
112.证明直线与直线得垂直得思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线得射影垂直;
(4)转化为线与形成射影得斜线垂直、
113.证明直线与平面垂直得思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面得一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面得交线垂直、
114.证明平面与平面得垂直得思考途径
(1)转化为判断二面角就是直二面角;
(2)转化为线面垂直、
115、空间向量得加法与数乘向量运算得运算律
(1)加法交换律:a＋b=b＋a.
(2)加法结合律:(a＋b)＋c=a＋(b＋c).
(3)数乘分配律:λ(a＋b)=λa＋λb. 116、平面向量加法得平行四边形法则向空间得推广
始点相同且不在同一个平面内得三个向量之与,等于以这三个向量为棱得平行六面体得以公共始点为始点得对角线所表示得向量、
117、共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b存在实数λ使a=λb.
三点共线、
、共线且不共线且不共线、
118、共面向量定理
向量p与两个不共线得向量a、b共面得存在实数对,使.
推论 空间一点P位于平面MAB内得存在有序实数对,使,
或对空间任一定点O,有序实数对,使、
119、对空间任一点与不共线得三点A、B、C,满足(),则当时,对于空间任一点,总有P、A、B、C四点共面;当时,若平面ABC,则P、A、B、C四点共面;若平面ABC,则P、A、B、C四点不共面.
四点共面与、共面
(平面ABC)、
120、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一得有序实数组x,y,z,使p＝xa＋yb＋zc.
推论 设O、A、B、C就是不共面得四点,则对空间任一点P,都存在唯一得三个有序实数x,y,z,使、
121、射影公式
已知向量=a与轴,e就是上与同方向得单位向量、作A点在上得射影,作B点在上得射影,则
〈a,e〉=a·e
122、向量得直角坐标运算
设a＝,b＝则
(1)a＋b＝;
(2)a－b＝;
(3)λa＝ (λ∈R);
(4)a·b＝;
123、设A,B,则
= 、
124.空间得线线平行或垂直
设,,则
;
、
125、夹角公式
设a＝,b＝,则
cos〈a,b〉=、
推论 ,此即三维柯西不等式、
126、 四面体得对棱所成得角
四面体中, 与所成得角为,则
、
127.异面直线所成角
=
(其中()为异面直线所成角,分别表示异面直线得方向向量)
128、直线与平面所成角
(为平面得法向量)、
129、若所在平面若与过若得平面成得角,另两边,与平面成得角分别就是、,为得两个内角,则
、
特别地,当时,有
、
130、若所在平面若与过若得平面成得角,另两边,与平面成得角分别就是、,为得两个内角,则
、
特别地,当时,有
、
131、二面角得平面角
或(,为平面,得法向量)、
132、三余弦定理
设AC就是α内得任一条直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成得角为,AB与AC所成得角为,AO与AC所成得角为.则、
133、 三射线定理
若夹在平面角为得二面角间得线段与二面角得两个半平面所成得角就是,,与二面角得棱所成得角就是θ,则有 ;
(当且仅当时等号成立)、
134、空间两点间得距离公式
若A,B,则
=、
135、点到直线距离
(点在直线上,直线得方向向量a=,向量b=)、
136、异面直线间得距离
(就是两异面直线,其公垂向量为,分别就是上任一点,为间得距离)、
137、点到平面得距离
(为平面得法向量,就是经过面得一条斜线,)、
138、异面直线上两点距离公式
、
、
()、
(两条异面直线a、b所成得角为θ,其公垂线段得长度为h、在直线a、b上分别取两点E、F,,,)、
139、三个向量与得平方公式
r2r2r2rrrrrrrrrrrrabc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a
140、 长度为得线段在三条两两互相垂直得直线上得射影长分别为,夹角分别为,则有
、
(立体几何中长方体对角线长得公式就是其特例)、
141、 面积射影定理
、
(平面多边形及其射影得面积分别就是、,它们所在平面所成锐二面角得为)、
142、 斜棱柱得直截面
已知斜棱柱得侧棱长就是,侧面积与体积分别就是与,它得直截面得周长与面积分别就是与,则
①、
②、
143.作截面得依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行、
144.棱锥得平行截面得性质 如果棱锥被平行于底面得平面所截,那么所得得截面与底面相似,截面面积与底面面积得比等于顶点到截面距离与棱锥高得平方比(对应角相等,对应边对应成比例得多边形就是相似多边形,相似多边形面积得比等于对应边得比得平方);相应小棱锥与小棱锥得侧面积得比等于顶点到截面距离与棱锥高得平方比.
145、欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体得顶点数V、棱数E与面数F)、
(1)=各面多边形边数与得一半、特别地,若每个面得边数为得多边形,则面数F与棱数E得关系:;
(2)若每个顶点引出得棱数为,则顶点数V与棱数E得关系:、
146、球得半径就是R,则
其体积,
其表面积.
147、球得组合体
(1)球与长方体得组合体:
长方体得外接球得直径就是长方体得体对角线长、
(2)球与正方体得组合体:
正方体得内切球得直径就是正方体得棱长, 正方体得棱切球得直径就是正方体得面对角线长, 正方体得外接球得直径就是正方体得体对角线长、
(3) 球与正四面体得组合体:
棱长为得正四面体得内切球得半径为,外接球得半径为、
148.柱体、锥体得体积
(就是柱体得底面积、就是柱体得高)、
(就是锥体得底面积、就是锥体得高)、
三角函数公式 两角与公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
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