新课标高中数学公式大全

2023年12月7日发(作者：120分数学试卷模版)

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高中数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设 x1、 x2

[ a,b], x1 x2

那么

f ( x1 )

f (x2 ) 0

f ( x)在[ a,b]

上是增函数；

f ( x1 )

f (x2 ) 0

f ( x)在[a, b]

上是减函数

.

(2) 设函数

y

f ( x)

在某个区间内可导，若

f ( x) 0

，则 f ( x)

为增函数；若

函数 .

、函数的奇偶性

f ( x) 0

，则 f ( x)

为减

对于定义域内任意的

对于定义域内任意的

3、函数

y

x

，都有 f (

x)

x

，都有 f (

x)

f (x)

，则 f (x)

是偶函数；

f ( x)

，则 f (x)

是奇函数。

y 轴对称。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于

f ( x)

在点 x0

处的导数的几何意义

f (x)

在 P( x0 , f ( x0 ))

处的切线的斜率

函数 y

程是 y

f ( x)

在点 x0

处的导数是曲线

y

y0 f ( x0 )( x

x0 )

.

f ( x0 )

，相应的切线方

4、几种常见函数的导数

① C

\'

0

；②

( xn

)

\'

nx

n 1

；

a

x

ln a

；⑥ (ex )

\'

③ (sin x)\'

cos x

；④ (cos x)

\'

sin x

；

⑤ ( a

x )

\'

ex

；

⑦ (log

a

x)

\'

5、导数的运算法则

（ 1）

(u

v)

\'

1

；⑧ (ln x)\'

xln a

1

x

u

\'v

.

（ 2）

(uv)

\'\'\'（ 3）

(

)

u\'v

uv uv

.

\'\'

u

uv\'

(v

v2

0)

.

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数

y

v

f

x

的极值的方法是：解方程

f

x

f

x

f

x

0

．当 f

x0

0

时：

(1)

如果在

x0

附近的左侧

(2)

如果在

x0

附近的左侧

0

，右侧

f

x

0

，右侧

f

x

0

，那么

f

x0

是极大值；

0

，那么

f

x0

是极小值．

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

sin

2

cos2

1

，

tan

= sin

cos

.

9、正弦、余弦的诱导公式

k

k

的正弦、余弦，等于

的正弦、余弦，等于

的同名函数，前面加上把

的余名函数，前面加上把

看成锐角时该函数的符号；

看成锐角时该函数的符号。

2

sin(

cos(

tan(

)

)

)

10、和角与差角公式

sin

cos

tan

cos

cos

tan

cos

sin

sin

sin

.

;

;

1 tan tan 学习必备 欢迎下载

11、二倍角公式

sin 2

sin cos

.

cos2

cos2

sin

2

2cos

2

1

1

2sin

2

.

tan 2

2 tan

.

1

tan2

2 cos2

1

cos 2

,cos2

1

cos2

;

公式变形：

2

2 sin

2

1

cos2

,sin

2

1

cos2

;

2

12、三角函数的周期

函数 y

sin( x

)

，

x∈

R

及函数 y cos(

x

)

，

x∈

R(A,

ω

,

为常数，且T2

；函数 y

tan(

x

)

， x

k

2,k

,

为常数，且

A≠

0，ω ＞

Z

(A,

ω

13、 函数

y

sin(

x

)

的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式

y

a sin x

b cosx

a2

b

2 sin(x

)

其中 tan

b

15、正弦定理

a

a

b

c

sin Asin C2R

.

sin B

16、余弦定理

a2

b2

c2

2bc cos A

;

b2

c2

a2

2ca cos B

;

c2

a2

b2

2ab cosC

.

17、三角形面积公式S1

ab sin C

1

bc sin A

1

ca sin B

.

2

2

2

18、三角形内角和定理

在△ ABC中，有

A

B

C

C

(A B)

19、

a 与

b 的数量积 ( 或内积 )

a b

| a | | b | cos

20、平面向量的坐标运算

(1) 设 A( x1

, y1) ， B( x2

, y2

) , 则

AB OB OA

(x2 x1 , y2

y1 )

.

(2) 设 a

= ( x1 , y1 )

, b

= ( x2 , y2 )

，则 a b

= x1 x2

y1 y2

.

(3) 设

a =

( x, y) ，则

a

x

2

y2

21、两向量的夹角 公式

设 a

=( x1, y1 )

, b

= ( x2 , y2 )

，且 b

0

，则

cosx1 x2

y1 y2

a b

2 2 2 2

a b

x1

y1

x2

y2

22、向量的平行与垂直

a // bb

a

x1 y2

x2 y1

0

.

A≠ 0，ω ＞ 0) 的周期

0)

的周期 T.

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a b(a 0)

三、数列

a b 0

x

1 x2 y1 y2

0

.

23、数列的通项公式与前

n 项的和的关系

( 数列

{ an} 的前 n 项的和为

sn

a1

a2

a

n

s1,

n

1

2

an

).

sn

sn 1, n

24、等差数列的通项公式

an

a1

(n 1)d dn a1 d (n N

* )

；

n 项和公式为

25、等差数列其前

sn

n(a1

an )

na1

n(n 1)

d

2

2

a1qn 1

d

n2

( a1

d) n

.

2

2

1

26、等比数列的通项公式

an

a1

qn (n N

* )

；

q

27、等比数列前

n 项的和公式为

a1 (1 qn )

sn

1

q

,q

1

或 sn

a1

an q

1

q

, q 1

.

na1, q

1

na1 , q

1

四、不等式

28、已知

x, y 都是正数，则有

x

2

y

xy

，当

x

y

时等号成立。

（ 1）若积

xy 是定值

p ，则当

x

（ 2）若和

x

y

时和 x

y

有最小值 2

y

是定值

s

，则当 x

y

时积 xy

有最大值

s2

.

1p

；

4

五、解析几何

29、直线的五种方程

（ 1）点斜式

y

（ 2）斜截式

y

（ 3）两点式

(4)

截距式

y1

k (x

x1 )

( 直线

l 过点

P1( x1

, y1) ，且斜率为

k )．

kx

b

(b

为直线 l

在 y 轴上的截距 ).

（ 5）一般式

若 l1 : y k1x

①

y

y2

x

a

Ax

1

(

y1

y2

)(

P1( x1 , y1)

、 P2 ( x2 , y2 )

(

x1 x2

)).

y1

x

y1

x2

x1

y

1(

a、b

分别为直线的横、纵截距，

a、b 0

)

b

By

C

0

(其中

A

、B

不同时为

0).

x

30、两条直线的平行和垂直

b1

， l2 : y k2 x b2

k1

k2 , b1

b2

;

k1k2

1

.

l1

l

2

31、平面两点间的距离公式

② l1 || l2

d A, B

(x

2

x )

2

( y

1

y )

2

( A

( x1

, y1) ， B

( x2

, y2

) ).

1

2

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32、点到直线的距离

d

| Ax0

By0

C |

A2

B2

(点

P( x0

, y0

) ,直线

l ：

Ax By C 0 ).

33、 圆的三种方程

（ 1）圆的标准方程

（ 2）圆的一般方程

（ 3）圆的参数方程

( x

a)

2

x2

y2

( y

b)

2

r

2

.

Dx

Ey

F

.

0

(

D2

E

2

4F

＞

0).

x

a

r cos

y

b

r sin

34、直线与圆的位置关系

直线 Ax

By

C

相离

相切

相交

0

与圆 (x

a)

2

( y

b)

2

0

;

0

;

r

2

的位置关系有三种

:

d

d

d r

r

r

0

.

弦长

=

2 r

2

d

2

Aa

Bb C

Ay2

2

其中 d

B

2.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：

x2

1(a

b

0)

， a

2

c

2

b

2

，离心率 e

c

1，参数方程是

x

y

a cos

b sin

.

双曲线：

a

2

b2

x

2

y

2

a

2

2

2

a

c

b

2

1(a>0,b>0)

，

c

a

2

b

2

，离心率 e

1

，渐近线方程是

y

b x

.

抛物线： y

2 px

，焦点 ( ,0)

,

准线 x

2

p

p

a

a

。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

2

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1 ）若双曲线方程为

x

2

a

2

y

2

1

b

2

b

x

a

2x渐近线方程：

a2

y2

b2

0

ba

x

.

y

(2)

若渐近线方程为

y

x

a

(3)

若双曲线与

焦点在 y 轴上） .

37、抛物线

y

2

抛物线 y

x2y

0

b

2x

双曲线可设为

a

2

y

2

b

2

（

.

a2

y

2

b2

1有公共渐近线，可设为

x2

a2

y

2

b

2

0

，焦点在

x

轴上，

0

，

2 px

的焦半径公式

2

2 px( p

0)

焦半径 | PF | x0

p . （抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离

。）

2

38、过抛物线焦点的弦长

AB

x1

p

2

x2

p

2

x1

x2

p

.

六、立体几何

39、证明直线与直线平行的方法

（ 1）三角形中位线（ 2）平行四边形（一组对边平行且相等）

40、证明直线与平面平行的方法

（ 1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）

（ 2）先证面面平行

41、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的

两条相交 直线分别与另一平面平行）

．．．． 学习必备

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42、证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直

43、证明直线与平面垂直的方法

（ 1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内

两条相交 直线垂直）

．．．．

（ 2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

44、证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积 =

2

rl

，表面积

=

2

rl

2 r

2

圆椎侧面积V =

rl

，表面积

=

rl

r

2

柱体

1 Sh

（

S

是柱体的底面积、

h

是柱体的高）

.

13

V锥体

Sh

（

S

是锥体的底面积、

h

是锥体的高）

.

3

球的半径是 R

，则其体积

V

4

R3,

其表面积 S 4 R2

．

3

46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

平均数 :

n

方差 :

2

1

[(

xx1 x2

x

s

x)

2

(

)

2

x1

x2

x(

xn

x)

2

]

n

标准差 :

s1

n

[( x1

x)2

( x2

x)2

( xn

x)

2 ]

n

50、回归直线方程

n

n

xi

x yi

y

xi yi

nx y

i 1

i 1

y a bx

b

n

n

2

，其中

xi

x

xi

2

nx

2

.

i 1

i 1

a

y

bx

51、独立性检验

K

2

n(ac

bd )

2

52、古典概型的计算（必须要用列举法

(a b)(c

d )(a

c)(b

d )

漏）

．．．

、列表 法、树状 图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗

．．．

．． ．

八、复数

53、复数的除法运算

a

bi

(a

bi )(c

di )

(ac bd )

(bc

ad )i

c

di

(c

di )(c

di )

c

2

d

2.

54、复数

z

a

bi

的模

| z |=| a

bi |

=

a2

b2

.