山东初三初中数学竞赛测试带答案解析

2023年12月23日发(作者：深圳教师招聘数学试卷)

山东初三初中数学竞赛测试

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（ ）

A．10

B．4

C．5

D．6

2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）

A．众数

B．中位数

C．平均数

D．方差

3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）

A．b=﹣1

B．b=\"2\"

C．b=﹣2

D．b=0

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（ ）

A．AD=\"DB\"

B．

C．OD=\"1\"

D．AB=

5.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）

A．20

B．12

C．14

D．13

6.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）

A．44° B．54° C．72° D．53°

7.已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（ ）

A．（4，7）

B．（﹣4，﹣7）

C．（4，﹣7）

D．（﹣4，7）

8.若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3

B．y2＜y1＜y3

C．y3＜y1＜y2

D．y1＜y3＜y2

9.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

10.如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

11.如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2

二、填空题

1.如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是 ．

2.如图，⊙O的半径为4，OA=8，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．

3.对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．

4.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使

DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是 ．

三、解答题

1.如图，直线y=x+m与反比例函数相交于点A（6，2），与x轴交于B点，点C在直线AB上且．过B、C分别作y轴的平行线交双曲线于D、E两点．

（1）求m、k的值；

（2）求点D、E坐标．

2.阅读下面的材料：

解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，则x4=y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，当y=3时，x2=3，x=±，当y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．

（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；

（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，试求a2+b2的值．

3.如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC•CD=PC•BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

4.如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．

探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需 元；

探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG的边长为x米，一块木板需用墙纸的费用为y元，

（1）用含x的代数式表示y（写过程）．

（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG的边长为多少米？

5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点

E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；

小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；

请你从中任选一种方法进行证明．

（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．

6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

山东初三初中数学竞赛测试答案及解析

一、选择题

1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（ ）

A．10

B．4

C．5

D．6

【答案】D

【解析】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，

∵函数的最小值是﹣3，

∴﹣9+m=﹣3，

m=6．

故选：D．

【点评】考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．

2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）

A．众数

B．中位数

C．平均数

D．方差

【答案】B

【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．

故选：B．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）

A．b=﹣1

B．b=\"2\"

C．b=﹣2

D．b=0

【答案】A

【解析】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．

故选：A．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（ ）

A．AD=\"DB\"

B．

C．OD=\"1\"

D．AB=

【答案】D

【解析】解：连接OA，OB．

∵OD⊥AB，

∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．

∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．

∴AB=2．

∴A，B，C均正确，D错误．

故选D．

【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．

5.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）

A．20

B．12

C．14

D．13

【答案】C

【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE=AC=5，

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

6.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）

A．44° B．54° C．72° D．53°

【答案】B

【解析】解：∵BE是直径，

∴∠BAE=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，

∴∠BEA=∠DAE=36°，

∴∠BAD=126°，

∴∠ADC=54°，

故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．

7.已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（ ）

A．（4，7）

B．（﹣4，﹣7）

C．（4，﹣7）

D．（﹣4，7）

【答案】B

【解析】解：把点P（a，a+3）代入函数y=x2﹣7x+19得：a+3=a2﹣7a+19，

解得：a=4，

∴点P的坐标是（4，7），

∴点A关于原点的对称点A′的坐标为（﹣4，﹣7）．

故选B．

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于原点对称的点坐标之间的关系．

8.若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大B．y2＜y1＜y3

C．y3＜y1＜y2

D．y1＜y3＜y2

小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3

【答案】B

【解析】解：∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，

∴对称轴是x=﹣2，开口向上，

距离对称轴越近，函数值越小，

比较可知，B（，y2）离对称轴最近，C（，y3）离对称轴最远，

即y2＜y1＜y3．

故选：B．

【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．

9.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

【答案】D

【解析】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．

∴三角形的底边长和高都为2

则三角形的面积为×2×2=2；

②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3

∴三角形的高为3

则面积为×1×3=；

③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x轴两交点之间的距离

∴底边长=|x1﹣x2|=则面积为×2×1=1；

④设A的坐标是（x，y），

代入解析式得：xy=2，

则面积为×2=1

∴阴影部分面积相等的是③④．

故选D．

【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目．

10.如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）=2

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，

∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，

∴AF=EF=1，∠AFE=120°，

∴∠FAE=30°，

∴AN=，

的线段有6种情况，

∴AE=，同理可得：AC=，

故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．

故选：B．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．

11.如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2

【答案】A

【解析】解：令y=﹣2x2﹣8x﹣6=0，

即x2+4x+3=0，

解得x=﹣1或﹣3，

则点A（﹣1，0），B（﹣3，0），

由于将C1向左平移2个长度单位得C2，

则C2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3），

当y=﹣x+m1与C2相切时，

令y=﹣x+m1=y=﹣2（x+4）2+2，

即2x2+15x+30+m1=0，

△=﹣8m1﹣15=0，

解得m1=﹣，

当y=﹣x+m2过点B时，

即0=3+m2，

m2=﹣3，

当﹣3＜m＜﹣时直线y=﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，

故选：A．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．

二、填空题

1.如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是 ．

【答案】﹣6

【解析】解：连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，

∴OC∥AB，

∴S△OAB=S△CAB=3，

而S△OAB=|k|，

∴|k|=3，

∵k＜0，

∴k=﹣6．

故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

2.如图，⊙O的半径为4，OA=8，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】π

【解析】解：连接OB、OC

OB是半径，AB是切线，

∵OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，

∴sinA==，

∴∠A=30°，

∵OC=OB，BC∥OA，

∴∠OBC=∠BOA=60°，

∴△OBC是等边三角形，

因此S阴影=S扇形CBO==π．

故答案为π．

【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．

3.对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．

【答案】±4

【解析】解：x2﹣6x+8=0，

解得：x=4或2，

当x1=2，x2=4时，x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4；

当x1=4，x2=2时，x1⊗x2=4×2﹣22=4；

故答案为：±4．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

4.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确

的结论选项是 ．

【答案】①②④

【解析】解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

而AB=CB，

∴AD=DC，所以①正确；

∵AB=CB，

∴∠1=∠2，

而CD=ED，

∴∠3=∠4，

∵CF∥AB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴△CBA∽△CDE，所以②正确；

∵△ABC不能确定为直角三角形，

∴∠1不能确定等于45°，

∴和不能确定相等，所以③错误；

∵DA=DC=DE，

∴点E在以AC为直径的圆上，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AE，

而CF∥AB，

∴AB⊥AE，

∴AE为⊙O的切线，所以④正确．

故答案为①②④．

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．

三、解答题

1.如图，直线y=x+m与反比例函数相交于点A（6，2），与x轴交于B点，点C在直线AB上且．过B、C分别作y轴的平行线交双曲线于D、E两点．

（1）求m、k的值；

（2）求点D、E坐标．

【答案】（1）m=﹣4，k=12（2）D（4，3） E（1，12）

【解析】解：（1）把A（6，2）代入y=x+m与y=，得

m=﹣4，k=12；

（2）过A作AM⊥x轴于M，由（1）可得，直线解析式为y=x﹣4，y=当y=0时，x﹣4=0，x=4，

∴B（4，0），

∴BM=2，

当x=4时，y=∴D（4，3）．

又=，

∴BN=3，

∴点C的横坐标是1，

又直线AB的解析式是y=x﹣4，

∴点C的纵坐标是﹣3，

又CE∥y轴，

∴点E的横坐标是1，

再根据反比例函数的解析式求得点E的纵坐标是12，

=3，

，

则E（1，12）．

【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式的方法，能够借助平行求点的坐标．

2.阅读下面的材料：

解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，则x4=y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，当y=3时，x2=3，x=±，当y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．

（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；

（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，试求a2+b2的值．

【答案】见解析

【解析】解：（1）设y=x2+x，则y2﹣5y+4=0，

整理，得

（y﹣1）（y﹣4）=0，

解得y1=1，y2=4，

当x2+x=1即x2+x﹣1=0时，解得：x=当当x2+x=4即x2+x﹣4=0时，解得：x=综上所述，原方程的解为x1，2=，x3，4=；

；

；

（2）设x=a2+b2，则x2﹣3x﹣10=0，

整理，得

（x﹣5）（x+2）=0，

解得y1=5，y2=﹣2（舍去），

故a2+b2=5．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

3.如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧

AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC•CD=PC•BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

【答案】见解析

【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥CP，

∴∠PCD=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

∵∠A与∠P是对的圆周角，

∴∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC，

∴，

∴AC•CD=PC•BC；

（2）解：当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于E，

∵BC：CA=4：3，AB=10，

∴BC=8，AC=6，

∵点P是的中点，

∴∠PCB=∠ACB=45°，

∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，

==， 在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A=∴PE=BE=3∴PC=PE+CE=7，

，

∴CD=PC•tan∠P=×7=．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与转化思想的应用．

4.如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．

探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需 元；

探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG的边长为x米，一块木板需用墙纸的费用为y元，

（1）用含x的代数式表示y（写过程）．

（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG的边长为多少米？

【答案】（1）55 y=20x2﹣40x+240（2）正方形EFCG的边长为或米

【解析】解：探究1：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA=1，

∴S正方形ABCD=1，

∵四边形EFCG是正方形，

∴EF=CF=，

∴S正方形EFCG=，BF=，

∴S△ABE==

∴空白部分的面积为：1﹣﹣=，

∴这块木板用墙纸的费用为：+80+40×=55元．

故答案为：55．

探究2：（1）∵木板边长为2米，

∴木板的面积为：4平方米．

∵正方形EFCG的边长为x米，

∴S正方形EFCG=x2，S△ABE=2﹣x，

∴空白的面积为：4﹣x2﹣（2﹣x）=2﹣x2+x，

y=60x2+80（2﹣x）+40（2﹣x2+x），

y=20x2﹣40x+240．

（2）当y=225时，

225=20x2﹣40x+240，解得：

x1=，x2=

∴正方形EFCG的边长为或米．

【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，抛物线的解析式的求法．

5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；

小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；

请你从中任选一种方法进行证明．

（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．

【答案】见解析

【解析】 （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∵∠BAD=∠DAM，

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，

∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）选择小颖的方法．

证明：如图2，连接EF．

由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，

∵∠BAD=∠FAD，

∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．

22在Rt△DFE中，DF+FE=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

选择小亮的方法，

证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，

∴△ADB≌△AGC，

∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，

∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，

∴∠EAG=45°，

在△DAE和△GAE中，

，

∴△DAE≌△GAE（SAS），

∴DE=EG，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°μ，

∴△ECG是直角三角形，

∴CG2+CE2=EG2，

即BD2+CE2=DE2；

（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：

如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，

∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．

又∵AC=AB，∴AF=AC．

又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．

∴∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．

∴∠DFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2

【点评】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．

6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3（2）抛物线的对称轴与⊙C相离（3）p（，﹣），

则S△PAC的最大值=

【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1

把A（0，3）代入得：3=4a﹣1

解得：a=1，

故 y=（x﹣2）2﹣1

=x2﹣4x+3；

（2）抛物线的对称轴与⊙C相离

理由如下：

如图1，过点C作CE⊥BD于E

令y=0，则x2﹣4x+3=0

解得：x1=1，x2=3

则B（1，0），C（3，0），A（0，3），

故AB=，

∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△AOB～△BEC

∴∴∴CE===，

，

，

， ∴BF=CE=1＞∴抛物线的对称轴与⊙C相离；

（3）设P（m，m2﹣4m+3），如图2，过点P作作PQ∥y轴交AC于点Q，

设AC的解析式为：y=kx+b，

故解得：，

，

故AC的解析式为：y=﹣x+3，

则Q（m，﹣m+3），

则PQ=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m，

S△PAC=S△AQP+S△CQP

=×3（﹣m2+3m），

=﹣m2+m，

则m=﹣=÷3=，

， 把m=代入得：﹣×+×=故p（，﹣），

则S△PAC的最大值=．

【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S△PAC=S△AQP+S△CQP是解题关键．