2008年高考江苏数学卷试题及参考答案

2024年4月5日发(作者：鄱阳初二数学试卷分析题)

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・

４６・　中学数学月刊　２００８年第７期　

２００８年高考江苏数学卷试题及参考答案　

一

、

填空题：本大题共１４小题。每小题５分。共　

计７０分．　

排成一个三角形数阵：　

根据以上排列规律，数　２　３　

１・若函数ｙ＝ｃ。ｓ（　一｝）（　＞０）的最小正周期是　

堕皇篓　‘　主　行的从左至　７　４　８　５　９　６１０　

右的第３个数是——．　Ｉｌ　ｌ２　ｌ３　ｌ４　ｌ５　

手，则∞＝　

２．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别　

标有ｌ，２，３，４，５，６个点的正方体玩具）先后抛掷２　

次，则出现向上的点数之和为４的概率是——．　

３．若将复数　表示为叶６ｉ（口，ｂ∈Ｒ，ｉ是虚数　

ｌ一１　

单位）的形式，则叶６：——　

４．设集合Ａ＝｛ｘｌ（ｘ—１）　＜瓠＋７，　ＥＲ），则集合　

Ａ　ｎＺ中有　个元素．　

５．已知向量口与ｂ的夹角为１２０。，ｌ口Ｉ．１，Ｉ６　Ｉ－　

３，则ｌ　ｌ＝——．　

６．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，设Ｄ是横坐标与　

纵坐标的绝对值均不大于２的点构成的区域，Ｅ是到　

原点的距离不大于ｌ的点构成的区域．向Ｄ中随机　

投一点，则所投的点落在Ｅ中的概率是

——

Ｊ　．

７．某地区为了解７０—８０岁老人的日平均睡眠时　

间（单位：ｈ），随机选择了５０位老人进行调查．下表　

序号（ｆ：　分组（睡眠时同：　组中值（Ｇ　）　频数（人数）　频宰（　：　

ｌ　［４，５）　４．５　６　０．１２　

２　［５，６）　５．５　ｌＯ　０．２Ｕ　

３　［６．７）　６．５　２０　０．４０　

４　【７．８）　７．５　ｌＯ　０．２０　

５　［８，９］　８．５　４　０．０８　

在上述统计数据的分　

析中，一部分计算见算法　

流程图，则输出的ｓ的值　

是一　

８．设直线ｙ＝　１　ｘ＋ｂ是曲　

二　

线ｙ＝ｌｎ　（　＞ｏ）的一条切线，则　

实数ｂ的值为——＿．　

９．如图，在平面直角坐　

标系ｘＯｙ中，设三角形ＡＢＣ　

的顶点分别为Ａ（０，口），Ｂ　

（ｂ，０），Ｃ（ｃ，０）；点Ｐ（Ｏ，Ｐ）　

（异于端点），这里ｏ，ｂ，ｃ，Ｐ为非零常数．设直线　

ＢＰ，ＣＰ分别与边ＡＣ，ＡＢ交于点Ｅ，，．某同学已正　

确求得直线ＯＥ的方　

程：（　一上）　＋（上一　

４　

口　Ｐ　

上）ｙ＝０．请你完成直线　

ＯＦ的方程　

＋　

——　

（　一　）　．　

Ｂ　Ｄ　Ｃ—　

１０．将全体正整数　

图２　

ｌ１．设　，Ｙ，：为正实数，………………　

满足　２ｙ＋３ｚ＝０，则￡的最小值是

—

一　

ｌ２．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，设椭圆　＋｛；＝ｌ　

（口＞６＞ｏ）的焦距为２ｃ．以点０为圆心，口为半径作圆　

札若过点Ｐ（璺［－，０）所作圆肘的两条切线互相垂直，　

则该椭圆的离心率为——　

ｌ３．满足条件ＡＢ＝２，ＡＣ＝、／　ＢＣ的三角形ＡＢＣ　

的面积的最大值是——．　

１４．设函数　）＝　一３ｘ＋ｌ（　∈Ｒ），若对于任　

意　∈［一ｌ，１］，都有　ｚ）＞１０成立，则实数。的值　

为一　

二、解答题：本大题共６小题。共计９０分．　

１５．（１４分）如图，在平　

面直角坐标系ｘＯｙ中，以　

Ａ　

。　

轴为始边作两个锐角口，　，　

它们的终边分别与单位圆交　

于Ａ，Ｂ两点．已知Ａ，Ｂ的横　

坐标分别为　，丁２Ｖ＇３－

．　

＿＾　

（１）求ｔａｎ（口　）的值；　（２）求仅＋２ＪＢ的值．　

１６．（１４分）如图，在四面体ＡＢＣＤ中，ＣＢ＝ＣＤ，　

ＡＤ．Ｉ＿ＢＤ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＤ的中点．求证：　

，１、古她Ｆ　／／亚而　，’ｎ．　

三家工厂，分别位于矩　

ＣＤ的中点Ｐ处。ＡＢ＝　

家工厂的污水，现要在　

该矩形区域上（含边界），且与　，Ｂ等距离的一点０　

处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道Ａ０。　

ＢＯ，ＰＯ．记排污管道的总长度为Ｙ　ｋｍ．　

（１）按下列要求建立函数关系：　

（ｉ）设／＿ＢＡ０　（ｒ８ｄ－），将Ｙ表示为０的函数；　

（ｉｉ）设ＰＯ＝ｘ（ｋｍ），将Ｙ表示为　的函数．　

（２）请你选用（１）中的一个函数关系，确定污水　

处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．　

１８．（１６分）在平面直角坐标系ｘＯｒ中，设二次　

函数　）＝　＋　＋６（　Ｅ　Ｒ）的图象与两个坐标轴有　

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２００８年第７期　中学数学月刊　・４７・　

三个　（）１　求实数的取值范围；ｂ冀　畜　　　为　

（２）求圆Ｃ的方程；　

（３）问圆Ｃ是否经过定点（其坐标与ｂ无关）？请　

证明你的结论．　

１９．（１６分）（１）设口ｌ，ｎ２，…，口ｌ是各项均不为零的　

ｎ（ｎ≥４）项等差数列，且公差ｄ≠Ｏ．若将此数列删去　

某一项后得到的数列（按原来顺序）是等比数列，　

又　＜　，２　ｏ　＜　。＇一Ｉ２Ｔ，　Ｏ＜ａ＋２３＜，　２，从而由　

ｔａｎ（ａ＋２３）＝一ｌ得ａ　等．　

１６．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的　

位置关系。考查空间想象能力、推理论证能力．　

证明（１）在ＡＡＢＤ中，因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，　

ＢＤ的中点，所以ＥＦｆｆＡＤ．又ＡＤＣ平面ＡＣＤ，ＥＦＣＬ　

平面ＡＣＤ，所以直线Ｅｒ／／平面ＡＣＤ．　

（ｉ）当ｎ－－４时，求牛的数值；　

（ｉｉ）求ｎ的所有可能值．　

（２）求证：对于给定的正整数ｎ（ｎ≥４），存在一个　

各项及公差均不为零的等差数列６。，ｂ：，…，ｂ　，其中　

任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．　

２Ｏ．（１６分）已知函数　（　）＝３　…。，　（　）＝２・　

３　。（　∈Ｒ，Ｐ。，Ｐ：为常数）．函数　）定义为：对每个　

给定的实数　＝　

（１）求ｆ（ｘ）－－Ａ（　）对所有实数　成立的充分必　

要条件（用Ｐ。，Ｐ：表示）；　

（２）设口，ｂ是两个实数，满足ａ＜ｂ，且Ｐｌ，Ｐ２∈（口，　

ｂ）．若　ｏ）　６），求证：函数　）在区间［ｏ，ｂ］上的　

单调增区间的长度之和为　．（闭区间ｍ，ｎ］的长　

度定义为ｎ—ｍ．）　

数学试题参考答案　

一

、

填空题：本题考查基础知识、基本运算和基　

本思想方法．　

１．１Ｏ　

古　

３．１　４．６　

５．７　

６・卫

１６　

７．６．４２　８．１ｎ２一ｌ　

９｛一｝１０．　＋３　ｌ１．３　１２．２．　

１３．２、／　１４．４　

二、解答题．　

１５．本小题主要考查三角函数的基本概念、三角　

函数的基本关系式以及两角和【差）的三角函数公　

式。考查运算求解能力．　

解（１）由已知条件及三角函数的定义可知，　

ｃｏｓａ＝　，ｃｏｓ　

竽．　

因ａ为锐角，故ｓｉｎａ＞Ｏ，从而ｓｉｎａ＝、／Ｔ＝　

一

７Ｘ／２－　

—　

同理可得ｓｉｎＪ日ｌ＿　．Ｉ￣ｔａｎ　ａ＝７，ｔａｎ￣＝１

．　

７．１－１　

ｔａｎ　ａ＋

咖

ｔａｎｌｆ　靠　・　

－

３＋　

（２）ｔａｎ（ａ＋２￣）＝　［（ａ　）　］＝———兰　一一１．　

１－（一３）ｘ　１　

（２）在ＡＡＢＤ中，因为ＡＤ上肋，ＥＦｆｆＡＤ，所以　

ＥＦ３＿ＢＤ．在ＡＢＣＤ中，因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｆ为ＢＤ的中　

点，所以ＣＦ．Ｉ．ＢＤ．因为ＥＦＣ平面ＥＦＣ，ＣＦＣ平面　

ＦＣ，ＥＦ与ＣＦ交于点Ｆ，所以肋上平面ＥＦＣ．又因为　

ＢＤＣ平面ＢＣＤ，所以平面Ｅ　上平面ＢＣＤ．　

１７．本小题主要考查函数的概念、解三角形、导　

数等基础知识。考查数学建模能力、抽象概括能力和　

解决实际问题的能力．　

解（１）（ｉ）如图，延　

长尸Ｄ交ＡＢ于点Ｑ．　

由题设可知ＢＱ＝ＡＱ：　

ｌＡＢ

＝１０．ＡＯ＝ＢＯ。　＝　

１０一ｕＱ・　图６　

在ＲＩＡＡＱＯ，ＡＯ＝　，ＯＱ＝ｌＯｔａｎ０，所以　

ｙ＝ＡＯ＋ＢＯ＋ＰＯ：　＋１０一ｌｏｔａｎ　０．　

又易知Ｏ≤口≤　，ＩＴ，故ｙ用０表示的函数为　

ｙ＝　－ｌ０　ｌｏ（ｏ≤口≤寻）．　

（ｉｉ）由题设可知，在Ｒｔ　ＡＡＱＯ中，ＡＯ＝　

＝

、厂　而　ｒ，则　

ｙ＝ＡＯ＋ＢＯ＋ＰＯ＝ｘ＋２、，／而　ｒ．　

显然Ｏ≤　≤１０，所以，ｙ用　表示的函数为　

），　＋２　丽（Ｏ≤　≤ｌＯ）．　

（２）选用（１）中的函数关系ｙ＝　一ｌＯｔａｎ　０＋１０　

（Ｏ≤口≤　，ＩＴ），来确定符合要求的污水处理厂的位置．　

因　一ｌＯｔａｎ　０＋１０＝　一１０

‘　

＋　

ＣＯＳ　仃　Ｃ　ＯＳ　

Ｃ０８

１０，　

所以ｙ，－　１０‘　１０・　

Ｅｌｉｙ＇＝Ｏ　ｓｉｎ　・因为ｏ≤口≤寻，故　

当　Ｅ［ｏ，詈）时，ｙ＇＜Ｏｉ　∈‘　，ｆ，寻）时，ｙ，如，　

所以函数ｙ在　时取得极小值，这个极小值就是　

函数ｙ在［Ｏ，　，ＩＴ］上的最小值．　

－ｒ　

．　

当　要时，ＡＯ：ＢＯ：—　一　—３＿（ｋｍ　

。　

ｃ０ｓ詈　

因此，当污水处理厂建在矩形区域内目到Ａ．　

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４８・　中学数学月刊　２００８年第７期　

两点的距离均为　＿，土ｋｍ时，铺设的排污管道的　

ｄ，２ｄ，３ｄ，４ｄ，满足题设．　

ｊ　

综上可知，　的值为－４或１．　

总长度最短．　

ｄ　

１８．本小题主要考查含有参变量的二次函数、圆　

（ｎ）若ｎ≥６，则从满足题设的数列０．，ａｅ＿，…，ａ，｜　

的方程以及曲线过定点等有关知识．考查运算求解　

中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三　

能力和探究问题的能力．　

项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由　

解（１）显然ｂ≠０．否则，二次函数．厂（　）＝　＋２　＋　

“基本事实”知，数列０　啦，…，ａ，｜的公差必为０，这与　

ｂ的图象与两个坐标轴只有两个交点（０，０），（一２，０），　

题设矛盾．所以满足题设的数列项数ｎ≤５．又因题设　

这与题设不符．　

Ｈ≥４，故１１．－４或５．　

由ｂ≠０知，二次函数ｆ（ｘ）　！＋　＋６的图象与Ｙ　

当ｎ＝４时，由（ｉ）中的讨论知存在满足题设的　

轴有一个非原点的交点（０，ｂ），故它与　轴必有两个　

数列．当ｎ＝５时，若存在满足题设的数列０　啦，０　，ａ４，　

交点，从而方程ｘ２＋２ｘ＋ｂ＝０有两个不相等的实数根，　

吗，则由“基本事实”知，删去的项只能是ａｚ，从而ｏ。，　

因此方程的判别式４－４６＞０，即ｂ＜１．　

ａｚ

．

，

ａ４，ｏ６，成等比数列，故（０ｌ＋ｄ）ｗ＇－ａＩ（０Ｉ＋３ｄ），　

所以，ｂ的取值范围是（一　，０）Ｕ（０，１）．　

及（０Ｊ＋３ｄ　（０Ｉ＋ｄ）（０Ｊ＋４ｄ）．　

（２）由方程　：＋　＋６＝０，得　＝一１±、／１－ｂ．于　

分别化简上述两个等式，得０。ｄ＝　及０。ｄ：一５　，　

是，二次函数．厂（　）＝　！＋　＋６的图象与坐标轴的交　

故ｄ＝０，矛盾．因此，不存在满足题设的项数为５的等　

点是（一ｌ一、／Ｔ＝　，０），（一ｌ＋、／Ｔ＝　，０），（０，ｂ）．　

差数列．　

设圆Ｃ的方程为　：＋　＋　＋　，＋Ｆ＝０．因圆Ｃ过　

综上可知，ｎ只能为４．　

（２）假设ｘ寸于某个正整数ｎ，存在一个公差为ｄ　

上述三点，将它们的坐标分别代人圆Ｃ的方程，得　

的Ｈ项等差数列ｂ。，ｂ　＋ｄ　，…，ｂ。＋（Ｈ一１）ｄ　（６。ｄ　≠０），　

Ｉ（一１一、／１一ｂ）：＋Ｄ（一１一、／１一ｂ）＋Ｆ＝０，　

其中三项ｂ　＋ｍ。ｄ　，ｂ　＋ｍ　，ｂ　＋ｍ３ｄ　成等比数列，这里　

｛Ｉ（一１＋、／ｌ—ｂ）！＋Ｄ（一１＋、／１一ｂ）＋Ｆ＝０，　

０≤ｍＩ＜ｍ２＜ｍ３≤Ｈ一１．则有　

６：＋Ｅｂ＋Ｆ：０．　

（６Ｉ＋ｍ　）　（６ｌ＋ｍＩｄ　）（６Ｉ＋ｍ３ｄ　），　

ｆＤ＝２，　

化简得ｍＩ＋ｍ３—２ｍ：）６ｌｄ　＝（ｍ　—ｍＩｍ３）ｄ”．　（　）　

解上述方程组，因ｂ≠０，得｛Ｅ：一（６＋１），　

由ｂｌｄ　≠０知，ｍｌ＋ｍ３—２ｍ：与ｍ　—ｍＩｍ３或同时为　

【Ｆ：ｂ．　

零，或均不为零．　

所以，圆Ｃ的方程为冉　＋　一（６＋１）ｙ＋ｂ＝０．　

（３）圆Ｃ过定点．证明如下：　

若ｍｌ＋ｍ广２ｍ￣－Ｏ，且ｍ｝ｍＩｍ３－０，则有（卫　）！一　

假设圆Ｃ过定点（　ｙｏ）（　Ｙｏ不依赖于ｂ），将　

ｍ　Ｊｍ３＝０，　

该点的坐标代人圆ｃ的方程，并变形为Ｘｏ＋￣＋２ｘ。一　

即（ｍ广ｍ３）－ｏ，得ｍＩ：ｍ３，从而ｍＩ＝ｍｅ＝－ｍ３，矛盾．　

ｙｏ＋ｂ（１一　）＝０．　（　）　

因此，ｍＩ＋ｍ厂２ｍ：与ｍ｝ｍＩｍ３都不为零，故由（　）　

为使（　）式Ｘ寸所有满足ｂ＜ｌ（ｂ≠０）的ｂ都成立，　

必须有１－３＂ｏ＝０，结合（　）式得培｝）　２　一ｙｏ－Ｏ．　

得　＝　．　

解得｛　【ｙ０　ｌＩ＝Ｊ’或｛

因为ｍ．，ｍ！，ｍ　均为非负整数，所以上式右边为　

，　

【

　＝

），　ｌ・

－　

　

有理数，从而　是一个有理数．　

经检验知，点（０，１），（一２，１）均在圆Ｃ上．　

因此，圆Ｃ过定点．　

于是，ｘ寸于任意的正整数ｎ＞／４，只要取Ｄ』为无　

１９．本小题主要考查等差数列、等比数列的有关　

知识．考查运用分类讨论的思想方法进行探索、分析　

理数，则相应的数列ｂ　，ｂ：，…，ｂ　就是满足要求的数　

及论证的能力．　

列．例如，取６Ｉ＝ｌ，ｄ　＝、／　，那么，ｎ项数列１，１＋　

解首先证明一个“基本事实”：　

、／２，１＋２、／２，…，ｌ＋（ｎ一１）、／２满足要求．　

一

个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则　２Ｏ．本小题主要考查函数的概念、性质、图象以　

这个数列的公差４＝０．事实上，设这个数列中的连续　及命题之间的关系等基础知识．考查灵活运用数形　

三项　ｄｏ，０，０＋　成等比数列，则　结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问　

（０一ｄｏ）（０＋如），由此得ｄｏ－－Ｏ．　

题的综合能力．　

（１）（ｉ）当ｎ－－４时，由于数列的公差ｄ≠０，故由　

解（１）由　）的定义可知　）　（　）（对所有　

“基本事实”推知，删去的项只可能为啦或ｎ３．　

实数　）等价于　（　）≤　（　）（对所有实数　），这又　

①若删去啦，则由０。，ｎ３，国成等比数列，得（０。＋　

等价于３Ｉ　≤２．３Ｉｘ－ｐ：］

即３　ｌｌ－Ｉ　ｚｌ≤２　Ｘ寸所有实　

２ｄ）　（０Ｉ＋３ｄ）．　

，

数　均成立．　（　）　

因ｄ＃０，故由上式得。Ｉ＝一４ｄ，即　一４，此时数　

易知函数Ｉ　ｌ－Ｉ砷！Ｉ　￣Ｒ）ｌｆＯ最大值为　叩。Ｉ，　

列为－４ｄ，一３ｄ，一２ｄ，一ｄ，满足题设．　

故（　）等价于３　≤２，即Ｉｐ＿．－ｐ。Ｉ≤ｌ　２，这就是所求　

（　删去ａｚ，则由ａｈ啦，ｍ成等比数列，得（０。＋ｄ）！＝　的充分必要条件．　

０Ｉ（０Ｉ＋３ｄ）．　

（２）分两种情形讨论．　

因ｄ＃０，故由上式得　＝ｄ，即》＝１・此时数列为　

（ｉ）当Ｉｐｌ－ｐ　Ｉ　ｌｏｇｏ　２时，由（１）知　）　（　）　

（对所有实数　∈［０，ｂ］），则由　口）－－Ａｂ）及ａ＜ｐ。＜６易　

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２００８年第７期　中学数学月刊　・４９・　

知　旦　‘再由　‘　

　ｌ

（　

代　

｛　ｌ

３　

．　

，　≥ｐｌ

（ｐｎ的单调性可知，

　

　

　．

ｆ（ｘ）在区间［ｎ，ｂ］上的单调　

，

１）　

增区间的长度为ｂ一竺　＝　

图７　

．

（参见示意图７．）　

（ｉｉ）当Ｉｐｌ－ｐ：Ｉ＞ｌｏｇ　２时，不妨设ｐ－印：，则Ｐ２一　

ｐ１＞ｌＯｇ３２于是，　

当　≤．Ｄ。时，有　（　）：３　一＜３　一　（　），　

从而　）　（　）．　

当　≥ｐ２时，　（　）：３ｘ－Ｐ，＝３　・３ｘ－Ｐ：＞３　・３　

（　），从而　）　（　）．　

当ｐ。＜　＜ｐ：时　（　）：３　及　（　）＝２・３　～．由方　

程３　＝２・３ｐ　。

，

解得　（　）与　（　）图象交点的横坐标　

为Ｘｏ＝　＋　ｌｏｇ　２．　①　

显然Ｐｌ＜　ｏ＝ｐ２一　１［（ｐ卿１）一ｌｏｇｓ２］＜ｐ２，这表明‰　

在Ｐ。与Ｐ：之间．由①易　

刘　（口

，

，（口　

’　

＝　

综上可知，在区间　

［Ⅱ，ｂ　Ｊ上，　

＝　

见示意图８）

：篙

　

『）’（参　

图８　

故由函数　（　）与Ａ（ｘ）的单调性可知　）在区　

间［ｎ，ｂ］上的单调增区间的长度之和为（ｘｏ－ｐ　）＋（６一　

ｐ！）．由于　ｎ）　６），即　一＝２・３　，得　

ｐｌ＋ｐ，＝ａ＋ｂ＋ｌｏｇ３　２　

故由①、②得　

（ｘｏ＇－ｐ　）＋（６＿ｐ：）＝：６一　［ｐ　＋ｐｆｌｏｇ　２］＝　．　

综合（ｉ）、（ｉｉ）可知　）在区间［ｏ，ｂ］上的单调增　

区间的长度之和为　－旦．　

数学附加题　

２１．［选做题］在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四小题中只能选做２　

题，每小题１０分，共计２０分．　

Ａ．选修４—１：几何证明　

选讲　

如图，设＆ＡＢＣ的外接Ｂ　

圆的切线ＡＥ与ＢＣ的延长　

线交于点Ｅ，　Ｃ的平分　

线与ＢＣ交于点ｎ　

求证：ＥＤ￣＝ＥＣ・ＥＢ．　图９　

Ｂ．选修４－２：矩阵与变换　

在平面直角坐标系ｘＯｙ中，设椭圆４ｘ　＋３２＝１在　

矩阵Ａ＝【　］对应的变换下得到曲线Ｆ，求Ｆ的方　

程．　

Ｃ．选修４－４：坐标系与参数方程　

在平面直角坐标系　Ｏｙ　ｅｅ，设Ｐ（　，ｙ）是椭圆争　

斗，　１上的一个动点，求Ｓ＝ｘ＋ｙ的最大值．　

Ｄ．选修４－５：不等式选讲　

设Ⅱ，６，ｃ为正实数，求证：　１　１　１＋（１６ｃ≥　

２、／丁．　

［必做题］第２２题、第２３题，每题ｌ０分，共计２０　

分．　

２２．如图，设动点Ｐ　

在棱长为１的正方体　

ＡＢＣＤ－Ａ　ｌＢｌＣｌＤｌ的对角　

线ＢＤ－上　器＝Ａ．　

当／＿ＡＰＣ为钝角时，求　

Ａ的取值范围．　图１０　

２３．请先阅读：在等式ＣＯＳ　２ｘ＝２ｃｏｓ：　一１（　∈Ｒ）　

的两边对　求导ＣＯＳ　２ｘ）　＝（２ｃｏｓ　一１）　．　

由求导法则得（一ｓｉｎ　２ｘ）・２－－４ｃｏｓ　・（一ｓｉｎ　），　

化简后得等式ｓｉｎ　２ｘ＝２ｓｉｎ　ＣＯＳ　．　

（１）利用上述想法（或者其他方法），试由等式　

（１＋　）“＝　＋Ｃ　＋Ｃ：　！＋－・・＋Ｃ　一　＋Ｃ　（　∈Ｒ，整　

数　≥２）证明：“（１　）一一１］：∑　ｃ　¨　

＾：！　

（２）对于整数　≥３，求证：（ｉ）　（一１）　ｃ　＝０；　

（ｉｉ）　（一１　＝０；（　）　：　．　

数学附加题参考答案　

２１．［选做题］Ａ．本题主要考查三角形、圆的有关　

知识。考查推理论证能力．　

证明如图９，　ＡＢＣ：　ＣＡＥ．　

又因为ＡＤ是　Ｃ的平分线，　

所以　ＢＡＤ＝　ＣＡＤ，　

从而　ＡＢＣ＋　ＢＡＤ＝　ＣＡＥ＋／＿ＣＡＤ．　

因为　ＡＤＥ＝／＿ＡＢＣ＋　ＢＡＤ，　

／ＤＡＥ＝　ＣＡＥ＋　ＣＡＤ．　

所以　ＡＤＥ＝／＿ＤＡＥ，故ＥＡ＝ＥＤ．　

因为ＥＡ是圆的切线，所以由切割线定理知，　

Ｃ・ＥＢ．而　＝ＥＤ，所以ＥＤＺ＝ＥＣ・ＥＢ．　

Ｂ．本题主要考查曲线在矩阵变换下的变化特　

点，考查运算求解能力．　

解设Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）是椭圆上任意一点，点Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）　

在矩阵Ａ对应的变换下变为点Ｐ，（　，ｙ　），则有　

㈥　例｛竺’　

又因为点Ｐ在椭圆上，故４ｘｏ＋ｆｏ＝ｌ，从而（　）：＋　

（ｙ　）　１．所以，曲线Ｆ的方程为　＋ｙ　１．　

Ｃ．本题主要考查曲线的参数方程的基本知识，　

考查运用参数方程解决数学问题的能力．　

解因椭圆譬＋俨：１的参数方程为｛　、／３　ＣＯＳ　，　

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（　为参数），故可设动点Ｐ的坐标为（、／　ｃｏｓ￣ｏ，ｓｉｎ￣ｐ），　

其中０≤　＜２＂ｒｒ．　

１）＜０，得　＜Ａ＜１　

ｊ　

因此，５　＋ｙ＝、／　ｃ。ｓ　＋ｓｉｎ　＝２・（　ｃ。ｓ　＋　

因此，Ａ的取值范围为（　，１）．　

ｊ　

｝ｓ　）＝２ｓｉｎ（　号）・　

所以，当　＝詈时，Ｓ取得最大值２・　

Ｄ．本题主要考查平均不等式的相关知识，考查　

运用不等式进行推理论证的能力．　

证明因为ａ，ｂ，Ｃ为正实数，由平均不等式可　

２３．［必做题］本题主要考查组合数、二项式定　

理、导数、积分等基础知识，考查推理论证能力与分　

析问题、解决问题的能力．　

证明（１）在等式（１慨）　Ｃ０＋ｃ　＋ｃ　…＋ｃ　ｋ“＋　

Ｃ％ｘ“两边对　求导得ｎ（１＋ｘ）　Ｉ＿Ｃ　２Ｃ　＋…＋（ｎ一１）　

Ｃ　ｎＣ　～．　

移项得ｎ［（１帆）～一１］＝∑　一．　

＝

（　）　

得　＋　＋　≥ｓ、／　。　。　，　

即　＋　１＋　≥　３　

．　

２　

（２）（ｉ）在（　）式中，令　一１，整理得∑（一１　：ｏ　

＝ｌ　

所以　＋　１＋　１＋Ⅱ６ｃ≥去＋　ｃ．　

而　Ⅱ６ｃ）＂Ｖ／　

ａｂ—ｃ。Ⅱ６ｃ：２Ｘ／３－，　

所以　（一１）　：０．　

（ｉｉ）由（１）知ｎ（１＋　）“　－－Ｃ．％２Ｃ￣ｘ＋・・・＋（ｎ一１）・　

Ｃ　：＋ｎＣ％ｘ　，ｎ≥３．　

所以　１　１＋Ⅱ６ｃ≥２、／了

两边对　求导，得ｎ（ｎ一１）（１＋ｘ）　＝２ＣＺ．＋３・２Ｃ．３ｘ＋　

．　

…＋ｎ（ｎ一１）Ｃ　．　

２２．［必做题］本题主要考查空间向量的基本知　

识和基本运算．考杳运用空间向量解决ｆ＝－Ｉ题的能力．　

解由题设可知，　

以　，　，　为单位　

正交基底，建立如图所　

示的空间直角坐标系　

Ｄ—ｘｙｚ，贝０有Ａ（１，０，０），　

（１，１，０），Ｃ（０，１，０），ＤＩ　

在上式中令　一１，得０＝２ｃ　３・２Ｃ３．（一１）＋…＋　

ｎ（ｎ－１）ｃ：（一１）　，即∑ｋ（ｋ一１）　（一１）　

＝２　

亦即∑（－１）　（　！－ｋ）ｃｔ＝０．　

：Ｉ　

①　

②　又由（ｉ）知，∑（－１）￣ｋＣ２：０．　

＝ｌ　

（０，０，１）．　

由Ｄ。　＝（１，１，一１）得　

＝Ａ　

一

由①囝得∑（～１　

＝

：０．　

＋…＋Ｃ７　＋Ｃ２ｘ“　

Ｉ　

＝（Ａ，Ａ，一Ａ），所以两　＋　＝（一Ａ，－Ａ，　

Ａ）＋（１，０，－１）＝（１一Ａ，一Ａ，Ａ一１），　＝　＋　＝（一Ａ，　

Ａ，Ａ）＋（０，１，一１）＝（一Ａ，１－Ａ，Ａ～１）．　

显然／＿ＡＰＣ不是平角，所以／＿ＡＰＣ为钝角等价　

（伍）将等式（１＋　）　＝ｃ　０　１　

两边在［０，１］上对　积分．　

（１＋　）ｎｄ　＝　（ｃ　ｏ１．　１　＋ｃ　２＋．．．＋ｃ：一ｌ　Ｉ＋ｃ：　ｎ）　．　

：￣ｃｏｓ／＿ＡＰｃ－ｃｏｓ　

于　．　＜０，　

）－　＜０’这等价　

即（１－Ａ）（一Ａ）＋（一Ａ）（１－Ａ）＋（Ａ一１）！＝（Ａ一１）（３Ａ一　

Ｉ　Ｓ　Ｓ　Ｎ　１　００４—１　１　７６　

０　７＞　发行范围公开　中国标准　ＩＳＳＮ　ｌＯｏ４—１　１７６　

９　

７　７　１　０　７　００　１　

ＩＩ删代～　４／０１