2024年4月5日发(作者：5单元数学试卷答案人教版)
2008年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω= _________ ．
2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），
先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 _________ ．
3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b= _________ ．
4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）
2
＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有 _________ 个元素．
5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则= _________ ．
6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，
E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是 _________ ．
7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行
调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
序号分组 组中值频数 频率
i （睡眠时间）
（G
i
）
（人数）
（F
i
）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 _________ ．
1
8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为
_________ ．
9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C
（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与
边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为
的方程： _________ ．
，请你完成直线OF
10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第
3个数为 _________ ．
11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则
12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a
的最小值是 _________ ．
为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 _________ ．
13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是 _________ ．
14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax
3
﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= _________ ．
二、解答题（共12小题，满分90分）
2
15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交
单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
，．
16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．
17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，
BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污
水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x
2
+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经
过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
19．（15分）（2008•江苏）（1）设a
1
，a
2
，…，a
n
是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数
列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n=4时，求的数值；
（ii）求n的所有可能值．
3
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b
1
，b
2
，…，b
n
，其中任意三项
（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p
1
，p
2
为常数）．函数
f（x）定义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f
1
（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p
1
，p
2
表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p
1
，p
2
∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的
单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）
21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求
证：ED
2
=EB•EC．
22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x
2
+y
2
=1在矩阵
方程．
23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆
24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证：
25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
上一点，记．当∠APC
．
上的一个动点，求S=x+y的最大值．
对应的变换作用下得到曲线F，求F的
为钝角时，求λ的取值范围．
26．（2008•江苏）请先阅读：
在等式cos2x=2cos
2
x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos
2
x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•
（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）
n
=C
n
0
+C
n
1
x+C
n
2
x
2
+…+C
n
n
x
n
（x∈R，正整数n≥2），证明：
．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）；
4
（ii）；
（iii）
．
5
2008年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）
考三角函数的周期性及其求法．
点：
专计算题．
题：
分
根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．
析：
解
解：.
答：
故答案为：10
点
本小题考查三角函数的周期公式，即T=．
评：
2．（5分）
考古典概型及其概率计算公式．
点：
专计算题．
题：
分分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．
析：
解解析：基本事件共6×6个，
答： 点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，
故
故填：．
．
点本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能
评：
性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．（5分）
考复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
点：
专计算题．
题：
分利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．
析：
解
答：
解：．∵，
点
评：
∴a=0，b=1，
因此a+b=1
故答案为1
本小题考查复数的除法运算．
6
4．（5分）
考交集及其运算．
点：
分
先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）
2
＜3x+7，再与Z求交集．
析：
解
解：由（x﹣1）
2
＜3x+7得x
2
﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个
答： 元素．
故答案是 6
点本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．
评：
5．（5分）
考向量的模．
点：
专计算题．
题：
分
根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．
析：
解
解：由题意得，
答：
=
∴=7．
，
故答案为：7．
点
本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“
评：
”进行求解．
6．（5分）
考古典概型及其概率计算公式．
点：
专计算题．
题：
分本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件
析： 的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．
解解析：本小题是一个几何概型，
答：
∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是4
2
=16，
满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×1
2
根据几何概型概率公式得到
∴
故答案为：．
点
本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形
7
评： 的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．
7．（5分）
考频率分布表；工序流程图（即统筹图）．
点：
专图表型．
题：
分
观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G
1
F
1
+G
2
F
2
+G
3
F
3
+G
4
F
4
+G
5
F
5
的值，再结合直方图中
析： 数据即可求解．
解解：由流程图知：
答：
S=G
1
F
1
+G
2
F
2
+G
3
F
3
+G
4
F
4
+G
5
F
5
=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08
=6.42，
故填：6.42．
点本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，
评： 必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．
8．（5分）
考利用导数研究曲线上某点切线方程．
点：
专计算题．
题：
分欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义
析： 即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
解
解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，
答：
∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，
∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．
故答案为：ln2﹣1
点本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求
评： 解能力．属于基础题．
9．（5分）
考直线的一般式方程；归纳推理．
点：
专转化思想．
题：
分
本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），
析：
B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：
解
解：由截距式可得直线AB：
答：
直线CP：
两式相减得
，
，
，
．
显然直线AB与CP的交点F满足此方程，
又原点O也满足此方程，
8
故为所求直线OF的方程．
故答案为：．
点类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类
评： 事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
10．（5分）
考归纳推理；等比数列的前n项和．
点：
专压轴题；规律型．
题：
分观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为
析： 前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，
然后递推出最后一个数据．
解解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
答： 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，
即为．
点归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明
评： 确表达的一般性命题（猜想）．
11．（5分）
考基本不等式．
点：
分
析：
由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．
解解：∵x﹣2y+3z=0，
答：
∴，
∴=，当且仅当x=3z时取“=”．
点
评：
12．（5分）
考椭圆的简单性质．
点：
专计算题；压轴题．
题：
分抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．
故答案为3．
本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．
9
析：
解解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，
答：
故，
解得
故答案为
，
．
点本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．
评：
13．（5分）
考三角形中的几何计算．
点：
专计算题；压轴题．
题：
分设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角
析： 形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．
解
解：设BC=x，则AC=x，
答：
根据面积公式得S
△ABC
=AB•BCsinB
=×2x，
根据余弦定理得cosB=
=
代入上式得
S
△ABC
=x
=，
=，
由三角形三边关系有，
解得2﹣2＜x＜2+2．
故当x=2时，S
△ABC
取得最大值2．
点本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性
评： 和定义域等问题．
14．（5分）
10
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