2024年1月24日发(作者：金太阳 福州 数学试卷)
第1章 函数
§1 函数的概念
一、区间、邻域
自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
建立数轴后：
建立某一实数集A与数轴上某一区间对应
区间：设有数
a,b,a
{x|a (a,b) 即 (a,b)={x|a a称为 (a,b) 的左端点，b称为 (a,b) 的右端点。 a∉(a,b),b∉(a,b) 闭区间： [a,b]={x|a≤x≤b} a∈[a,b],b∈[a,b] 文章来源：/ 半开区间： [a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b∉[a,b) (a,b]={x|a a，b都是确定的实数，称 (a,b),[a,b),(a,b],[a,b] 为有限区间，“ b−a ”称为区间长度。 记号： +∞ ——正无穷大 −∞ ——负无穷大 区间： [a,+∞)={x|a≤x} (a,+∞)={x|a (−∞,b]={x|x≤b} (−∞,b)={x|x 称为无穷区间（或无限区间） 文章来源：/ 邻域：设有两个实数 a,δ(δ>0) ，则称实数集 {x|a−δ a 的 δ 邻域，记为N(a,δ) a 称为 N(a,δ) 的中心， δ>0 称为邻域 N(a,δ) 的半径。 去心邻域：把 N(a,δ) 的中心点 a 去掉，称为点 a 的去心邻域，记为 N(a^,δ)={x|0<|x−a|<δ}=N(a,δ)∖{a} 注：其中， ∖{a} 表示去掉由 a 这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为 x(x>0) ，它的面积 A=πx2 ，当 x 在 (0,+∞) 内任取一个数值（记为 ∀x∈(0,+∞) ）时，由关系式 A=πx2 就可以确定A的对应数值。 文章来源：/ 例2. 设有半径为 r 的圆，作圆的内接正 n 边形，每一边对应的圆心角 α=2πn ，周长 Sn=n⋅2rsinπn ，当边数 n 在自然数集 N(n≥3) 任取一个数，通过关系式 Sn=2nrsinπn 就有一个 Sn 对应确定数值。 函数定义：设有数集 X,Y ， f 是一个确定的对应法则，对 ∀x∈X ，通过对应法则 f 都有唯一的 y∈Y 与 x 对应，记为 x→fy ，或 f(x)=y ，则称 f 为定义在 X 上的函数。 其中 X 称为 f 的定义域，常记为 Df 。 X ——自变量， Y ——因变量。 当 X 遍取 X 中的一切数时，那么与之对应的 y 值构成一个数集 Vf={y|y=f(x),x∈X} ，称 Vf 为函数 f 的值域。 文章来源：/ 注意： （1）一个函数是由 x,y 的对应法则 f 与 x 的取值范围 X 所确定的。把“对应法则 f ”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如， y=arcsin(x2+2) 这个式子，由于 x2+2>2 ，而只有当 |x2+2|≤1 时， arcsin 才有意义，因此这个式子不构成函数关系。 又例如， y=lnx2 与 y=2lnx 不是同一个函数，因为定义域不同。而 y=lnx2 与 y=2ln|x| 是同一个函数，因为定义域相同。 （2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数 y=f(x) 成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数 y=f(x) 定义域为 Df ， ∀x∈Df ，对应函数值 y=f(x) 在 XOY 平面上得到点 (x,y) ，当 x 遍取 Df 中一切实数时，就得到点集 P={(x,y)|y=f(x),x∈Df} 。点集 P 称为函数 y=f(x) 的图形。 文章来源：/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若 ∃M>f(x)|≤M,x∈I ，则称 y=f(x) 在区间 I 上有界。否则称 f(x) 在 I 上无界。 注： s.t. 是“使得，满足于”的意思， I 表示某个区间。 例如， y=sinx 在 I=(−∞,+∞) )上是有界的（ ∵|sinx|≤1,x∈(−∞,+∞) ）。 又如， y=1x2+1 在 (−∞,+∞) 上有界。 对任何正数 M>0 （无论多么大），总 ∃x1∈f(x1)|>M ，则称 f(x) 在 I 上无界。 例如， y=1x 在 (0,1) 内无界。 证明： 对给定的 M>0 （不妨设 M>1 ），无论M多么大，必存在 x1=12M∈(0,1) ，使 f(x1)=112M=2M>M 函数的上界、下界：若 ∃M（ 不局限于正数）， s.t.f(x)≤M,∀x∈I ，则称 f(x) 在区间 I 上有界。任何一个数 N>M ， N 也是 f(x) 的一个上界。 若 ∃f(x)≥P,∀x∈I ，则称 f(x) 在区间 I 上有下界。若 Q Q 也是一个下界。 f(x) 在区间 I 上有界 ⇔f(x) 在 I 上既有下界又有上界（“ ⇔ ”表示充分必要条件）。 证明： 设 f(x) 在 I 上有界，根据定义， ∃M>f(x)|≤M,∀x∈I 。 |f(x)|≤M⇔−M≤f(x)≤M 因此 f(x) 有下界 −M ，也有上界 M （对 ∀x∈I ） 反之，设 f(x) 在 I 上既有下界 m ，又有上界 N ，即 m≤f(x)≤N 如果 m=N=0 ，则 f(x)≡0,∀x∈I ∴f(x) 在 I 上有界。 如果 m,N 不同时为零，取 M=max{|m|,|N|}>0 ， 则 −M≤−|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M 即 −M≤f(x)≤M⇒|f(x)|≤M,∀x∈I ∴f(x) 在 I 上有界。 2. 函数的单调性 若函数 f(x) 在区间 I 上，对任何 x1,x2∈I ，且 x1 f(x1) f(x) 在 I 上是严格单调增的。 若 x1 f(x1)≤f(x2) ，则称 f(x) 在区间 I 上广义单调增（或直接称为单调增，或称非减的）。 若 x1 f(x1)>f(x2) ，则称 f(x) 在 I 上严格单调减。 类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。 例如， y=x2,Df=(−∞,+∞) 在 (0,+∞) 上， y=x2 严格单增。 在 (−∞,0) 上， y=x2 严格单减。 又如，取整函数（取一个数的整数部分）： y=[x]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−1,−1≤x<00,0≤x<11,1≤x<22,2≤ 其函数图形如下： 取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。 文章来源：/ 3. 函数的奇偶性 若 f(x) 在关于原点对称的区间 I 上满足 f(−x)=f(x) ，则称 f(x) 为偶函数。 若满足 f(−x)=−f(x) ，则称 f(x) 为奇函数。 偶函数图形关于 y 轴对称（例如： cosx,x2 ） 奇函数图形关于原点对称（例如： sinx,x3 ） 4. 函数的周期性 设 f(x) 的定义域为 Df ，如果存在非零的常数 对任意的 x∈Df ，有 (x±T)∈Df，且 f(x+T)=f(x) ，则称 f(x) 为周期函数， T 称为 f(x) 的周期（通常周期是指最小正周期）。 四、 复合函数，反函数 1. 复合函数 设 y=u√,u=1−x2 ，把 u=1−x2 代入 y=u√ 中，得到 y=1−x2−−−−−√ ，称为由 y=u√ 与 u=1−x2 复合而成的复合函数。 一般定义： 设 y=f(u) 是数集 Y 上的函数（ Y 是 f(u) 的定义域）， u=φ(x) 的定义域为 X ，值域为 Yφ ，且 Yφ≠Φ（ Φ 表示空集）， Yφ⊆Y（ 表示 Yφ 是 Y 的子集），这时，对 ∀x∈X ，通过 u 都有唯一的 y 值与之对应，从而在 X 上产生一个新函数，用 f⋅φ （中间是一个实心的点）表示，称 f∘φ （中间是一个空心的圈）为 X 上的复合函数： f→f⋅φy ，或 y=f[φ(x)] y=f[φ(x)] 的定义域：由 u=φ(x) 的定义域中使函数 u=φ(x) 的值域 Yφ 满足 Yφ⊆Y 的那一部分实数组成。 1. 复合函数 y=f(u),u=φ(x)⇒y=f[φ(x)] 注意： f[φ(x)] 与 φ(x) 定义域不一定相同。 例1. 设 f(x)=x2+1x2−1,φ(x)=11+x ，求 f[φ(x)] 并确定定义域。 解： f[φ(x)]=[φ(x)]2+1[φ(x)]2−1=[11+x]2+1[11+x]2−1=−x2+2x+2x(x+2) 当 x≠−1 （由 11+x 可知）且 x≠0,x≠−2 时 f[φ(x)] 有定义。即 f[φ(x)] 定义域为： (−∞,−2)∪(−2,−1)∪(−1,0)∪(0,+∞) 2. 反函数 设有函数 y=f(x) ，定义域 Df ，值域 Vf 。 ∀y∈Vf ，至少可以确定一个 x∈f(x)=y ，如果把 y 看作自变量，把 x 看作因变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为 x=f−1(y) ，称为 y=f(x) 的反函数。 反函数的定义域为 Vf ，值域为 Df ，把 y=f(x) 称为直接函数， x=f−1(y) 称为反函数。 注意： 1. 虽然直接函数 y=f(x) 是单值的，但反函数 x=f−1(y) 不一定是单值的。 例如，函数 y=x2,Df:(−∞,+∞),Vf:[0,+∞] 反函数 x=f−1(y) 不是单值的（因为对 ∀y∈[0,+∞] ，得到 x=±y√ ，有两个值 −y√,+y√ ，为双值函数）。 x=y√ 是一个单值支。 2. 如果直接函数 y=f(x) 严格单调，则其反函数 x=f−1(y) 也是单值单调的。 3. 直接函数 y=f(x) 与反函数 x=f−1(y) 图形相同，习惯上以 x 表示自变量， y 表示因变量，反函数记为 y=f−1(x) 。这时， y=f(x) 与 y=f−1(x) 的图形关于直线 y=x 对称，如下图所示： 例1. 设 y=f(x)={x2,−2 y=f−1(x) 解：当 −2 y=x2,−1 −1 当 1≤x≤2 时， y=x2,−1≤y≤4⇒x=+y√ （因为 x 是正数），定义域 −1≤y≤4 综上所述，反函数为： x=f−1(y)={2y,−1 或： y=f−1(x)={2x,−1 ξ2 初等函数 一、基本初等函数 6类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数（例如 y=C ）称为基本初等函数。 二、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数。 例如： y=arcsin1−x2−−−−−√,y=ln(x+ex) 初等函数结构分析 例如：分析 y=ln(1+x√) 的结构 解： y=lnu,u=1+x√=1+x12 令 u=1+x12,v=1,w=x12 ∴y=lnu,u=v+w,v=1,w=x12 三、双曲函数 双曲正弦函数 shx=ex−e−x2 双曲余弦函数 chx=ex+e−x2 双曲正切函数 thx=shxchx=ex−e−xex+e−x 以上函数与三角函数有类似性质： ch2x−sh2x=1 sh2x=2shxchx 类似于 sin2x=2sinxcosx ch2x=ch2x+sh2x 三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。 反双曲正弦函数： arshx 注意：不是 arc 反双曲余弦函数： archx 反双曲正切函数： arthx 求双曲函数的反函数的表达式： 令 y=arshx⇒x=shy=ey−e−y2 令 u=ey⇒2x=u−1u⇒u2−2xu−1=0 由二次方程的求根公式，得： u=2x±4x2+4√2=x±x2+1−−−−−√ 即 ey=x±x2+1−−−−−√ ∵ey>0 ∴ey=x+x2+1−−−−−√ ∴y=ln(x+x2+1−−−−−√) 即 arshx=ln(x+x2+1−−−−−√) 用类似方法可推出： arshx=ln(x+x2+1−−−−−√) archx=ln(x+x2−1−−−−−√) arthx=12ln(1+x1−x) 第2章 极限 主要内容： 一、极限概念：数列概念、函数概念 二、极限性质和运算，无穷小概念和比较 三、函数的连续性 ξ1 数列的极限 一、数列极限定义 数列：设有定义在自然数集 N 上的函数 un=f(n) ，称为整标函数（标是指下标 n ）。 把函数值 un 按照自然数 n 的顺序排列出来的无穷数串： u1,u2,u3,⋯,un,⋯ 叫作数列（序列），第 n 项 un 称为一般项。 数列简记为 {un} ，即 {un} 表示 u1,u2,⋯,un,⋯ 例如： {nn+1}:12,23,34,⋯,nn+1,⋯ {12n}:12,122,123,⋯,12n,⋯ {1+(−1)n2}:0,1,0,1,⋯,1+(−1)n2,⋯ {2n+(−1)n−1n}:3,32,73,74,115,116,⋯,2n+(−1)n−1n,⋯ 要研究的问题：当 n 无限增大时（记为 n→∞ ），数列 {un} 能否与某一常数 A 无限接近？如果 {un} 能与 A 无限接近，在数学上如何描述？ 例如，设 un=2n+(−1)n−1n ，当 n→∞ 时 {un} 的变化趋势如何？（一般地说，两个常数 a,b，用 |a−b| 来描述两数接近的程度） un=2n+(−1)n−1n=2+(−1)n−1n ⇒un−2=(−1)n−1n ⇒|un−2|=|(−1)n−1n|=1n ∴ 当 n 越大， 1n 越小， un 与2越接近。 给定一个很小的正数 1100 ，则由 |un−2|=1n<1100⇒n>100 ，只要 n>100 ，就有 |un−2|<1100 |un−2|<1100⇔2−1100 开区间 (2−1100,2+1100)=N(2,1100) （此邻域以2为中心 ，以 1100 为半径） 当 n>100 时， |un−2|<1100 ，说明 u101,u102,⋯ 都落在 N(2,1100) 邻域内。 同理给定正数 11000 ，同理可推出： 当 n>1000 时， |un−2|<11000 ， u1001,u1002,⋯ 都落在 N(2,1100) 邻域内。 无论给定多么小的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n>N 时的一切 un 满足 |un−2|<ε 从几何上看，给定邻域 N(2,ε) ，无论（半径）多么，总存在 N ，使得当 n>N 时， un+1,un+2,⋯ 都落在 N(2,ε) 内。 数列极限定义：已知数列 {un} 和常数 A ，如果对于任意给定的正数 ε ，都存在正整数 N ，使得对于 n>N 的一切 un ，不等式 |un−A|<ε 恒成立，则称当 n→∞ 时， {un} 以 A 为极限，或 {un} 收敛于 A 。 记为： limn→∞un=A ，或 un→A(n→∞) 如果 un 无极限，就说 {un} 发散（ n→∞ ） 说明： 1. 定义中的 ε 是任意给定的，只有任意给定 ε>0 ，不等式 |un−A|<ε 才能表达 un 与 A 无限接近。 2. 定义中的 N 与 ε 有关，记为 N(ε) 。随着 ε 的给定选定 N ，且 N 不唯一。 3. 定义只描述了 n→∞ 时 un→A ，但未提供求 A 的方法。 4. 定义的几何意义：任意给定邻域 N(A,ε) ，则必存在 N ，使 uN+1,uN+2,⋯ 落在 N(A,ε)内。 例1. 证明 limn→∞2n+(−1)n−1n=2 证： 一般项 un=2n+(−1)n−1n=2+(−1)n−1n |un−2|=|(−1)n−1n| 对于任意给定的 ε>0 ，为了使 |un−2|<ε ，只需 1n<ε 即可（这是由于 |(−1)n−1|=1 ，而 n>0 ，故 1|n|=1n ，即 |(−1)n−1n|=1n ） 或者说， n>1ε 即可。 所以，对于任意给定的 ε>0 ，取正整数 N=[1ε] （注： [] 表示取整符号） 当 n>N 时，，恒有不等式 |un−2|=|2n+(−1)n−1n−2|=1n<ε 按数列极限定义，可知 limn→∞2n+(−1)n−1n=2 注：有人可能不解——为什么N取 [1ε] 时，当 n>N 时有 1n<ε ？这里举一个实际的例子：假设 ε=0.003 ，则 N=[1ε]=[333.333333⋯]=333 ，当 n>N 时， n≥334 ，即 1n=0.002994⋯<ε 例2. 证明当 n→∞ 时， (n−1)(2n−1)6n2→13 证： un=(n−1)(2n−1)6n2=13−12n+16n2 ⇒un−13=−12n+16n2 ⇒|un−13|=|12n−16n2|=12n|1−13n|<12n （这是 13n>0 且 13n<1⇒1−13n∈(0,1) 对于任意给定的 ε>0 ，只要 12n<ε 恒成立，即可证明成功。 即， n>12ε 时，便可得 |un−13|<12n<ε 所以，对任意给定的 ε>0 ，取正整数 N=[12ε] ，则当 n>N 时，恒有 |un−13|<12n<ε 按数列极限定义，有 limn→∞(n−1)(2n−1)6n2=13 注意：利用数列极限定义来验证 limn→∞un=A 时，关键步骤是指明定义中的 N 确实存在。 由于 N 不是唯一的，所以不一定要找最小的 N ，只要找到一个 N 就可以了。 例如，知道 |un−A|=φ(n) （整标函数），那么由 φ(n)<ε ，求出 N ，这时， n>N 时 φ(n)<ε ，从而知道 |un−A|<ε 例3. 证明 limn→∞(−1)n(n+1)2=0 证 ： |un−0|=|(−1)n(n+1)2−0|=1(n+1)2<1n2<1n(φ(n)=1n) 对任意给定的 ε>0 ，只要 φ(n)=1n<ε ，即 n>1ε 时，恒有不等式 |(−1)n(n+1)2−0|<ε 所以，按照极限定义， limn→∞(−1)n(n+1)2=0 收敛数列的两个性质： 1. 定理1 若 {un} 的极限存在，则极限值是唯一的。 证：（用反证法来证明） 若 {un} 收敛，且极限不唯一，即：同时有 limn→∞un=a,limn→∞un=b ，且 a 由于 limn→∞un 存在，所以对于给定的 ε=b−a4>0 ，有： 必存在正整数 N1 ，使得当 n>N1 时，恒有 |un−a| 同理，必存在正整数 N2 ，使得当 n>N2 时，恒有 |un−b| 取 N=max{N1,N2} ，则当 n>N 时，上面两个不等式同时成立。 ∴b−a=b−un+un−a≤|b−un|+|un−a| 而上式 b−a ∴limn→∞un 是唯一的。 例：证明数列 {un}={(−1)nnn+1} 是发散的。 证： {un}:−12,23,−34,45,⋯ 当 n 取奇数 2m−1(m u1,u3,u5,⋯ ）： −12,−34,−56,⋯,−2m−12m,⋯ 数列 {u2m−1} 从 −12 开始单调减。 当 n 取偶数 2m(m∈N) 时，得到数列（注：对应到原来的的 u2,u4,u6,⋯ ）： 23,45,67,⋯,2m2m+1,⋯ 数列 {u2m} 从 23 开始单调增。 如下图所示： 下面，用反证法来证明。在这之前，要做一个准备工作（进行一个“无厘头”的推导），因为后后面的反证法会用到这个结论： u2−u1=23−(−12)=76>1 这说明，距离最短的两个点 u1,u2 之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。 文章来源：/ 假设 un→A(n→∞) （ A 是唯一的） 由极限定义，给定正数 ε=12>0 ，必存在一个正整数 N ，使得当 n>N 时，恒有不等式 |un−A|<12 ∴A−12 un∈(A−12,A+12),(n>N) ∴uN+1,uN+2,uN+3,⋯∈(A−12,A+12) 区间 (A−12,A+12) 长度为1 而 uN+1,uN+2 落在长度为1的区间 (A−12,A+12) 内是不可能的（由前面推导的“无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内） ∴{(−1)nnn+1} 是发散的。 证毕。 文章来源：/ 有界数列：对于数列 {un} ，如果存在一个正数 M>0 ，使得一切 un 都有 |un|≤M ，则称 {un} 有界。 2. 定理2 如果 {un} 收敛，则 {un} 一定是有界的。 证： ∵{un} 收敛，可设 limn→∞un=A 由极限定义，对给定正数 ε=1 ，必存在正整数 N ，使得 n>N 时，恒有 |un−A|<1⇔A−1 ∴|un|=|un−A+A|≤|un−A|+|A|≤1+|A| （和的绝对值 ≤ 绝对值的和） 现取 M=max{|u1|,⋯,|un|,1+|A|}(n>N) （有限个数，最大值一定存在） 于是 |un|≤M(n=1,2,⋯) ∴{un} 是有界的。 ξ2 函数的极限 讨论 x 为连续自变量时，函数 y=f(x) 的极限。 1. 自变量 x 任意地接近于定值 x0 ，或 x 趋向于 x0 （记为 x→x0 ），对应的函数值 f(x) 的变化趋势。 2. 自变量 x 的绝对值 |x| 无限增大（记为 x→∞ ），对应的函数值 f(x) 的变化趋势。 一、自变量 x 趋向于定值 x0 时， f(x) 的极限 假设函数 f(x) 在 x0 点的某邻域内有定义（在 x0 点 f(x) 可以无定义，这并不影响我们讨论问题），问题：当 x 任意地趋近于 x0 时，即 x→x0 时，对应函数值 f(x) 是否无限接近于常数A？ 分析：当 x→x0 的过程中，对应函数值 f(x) 无限接近于常数 A⇔ 当 x→x0 的过程中， |f(x)−A| 能任意地小 ⇔ 当 x→x0 的过程中，对任意给定的整数 ε>0,|f(x)−A|<ε 当 x→x0 的过程中，只有充分接近 x0 的那些 x ，才能使 |f(x)−A|<ε 。 “充分接近 x0 的那些 x ”这句话这样来定义：存在一个很小的正数 δ>0,0<|x−x0| 这样一个不等式就描述了 x 充分接近 x0 。 定义：设有函数 f(x) 在 x0 点的某一去心邻域内有定义， A 为一常数。如果对于任意给定的正数 ε>0 ，都存在一个正数 δ>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的函数值 f(x) 都满足： |f(x)−A|<ε 则称 x→x0 时， f(x) 以 A 为极限。记为： limx→x0f(x)=A ，或 f(x)→A(x→x0) 文章来源：/ limx→x0f(x)=A 的几何意义（如下图所示）：对常数 A,ε>0 ，在 xOy 平面上作直线 y=A+ε,y=A−ε ，对 δ>0 ，得邻域 N(x^0,δ) ，当 x∈N(x^0,δ)(x≠x0) 时，由定义可知，点 M(x,f(x)) 一定在 y=A−ε 与 y=A+ε 的区域内。 文章来源：/ 下面用 limx→x0f(x)=A 定义来证明一些函数极限等式。 例1. limx→x0C=C 证： f(x)≡C,x0 为一定值， A=C f(x)−A=C−C≡0 因此，对任意给定的 δ>0 ，凡是适合 0<|x−x0|<δ 的一切 x ，都使 |f(x)−A|=0<ε 所以，按极限定义得 limx→x0C=C 文章来源：/ 例2. 证明 limx→x0x=x0 证： f(x)=x,A=x0,|f(x)−A|=|x−x0| 因此，对任意给定的 ε>0 ，取 δ=ε ，则当 0<|x−x0|<δ=ε 时，都能使 |f(x)−A|=|x−x0|<ε 按极限定义，有 limx→x0x=x0 例3. 证明 limx→1(3x−5)=−2 证： f(x)=3x−5,x0=1,A=−2 |f(x)−A|=|(3x−5)−(−2)|=|3x−3|=3|x−1| 对任意给定的 ε>0 ，为了使 3|x−1|<ε （即 |x−1|<ε3 ），可以取 δ=ε3 ，则适合不等式 0<|x−1|<δ 的一切 x 都能使 |f(x)−A|=3|x−1|=3⋅ε3=ε 按照极限的定义，有 limx→1(3x−5)=−2 例4. 证明 limx→111+x√=12 证： f(x)=11+x√,x0=1,A=12 |f(x)−A|=∣∣11+x√−12∣∣=∣∣1−x√2(1+x√)∣∣=∣∣∣(1−x√)(1+x√)2(1+x√)2∣∣∣=∣∣x−1∣∣2(1+x√)2<∣∣x−1∣∣2<ε 则当 |x−1|<2ε 时，就有 |f(x)−A|<ε 因此，对任意给定的 ε>0 ，取 δ=2ε ，则适合 0<|x−1|<δ 的一切 x ，都使得 |f(x)−A|=∣∣11+x√−12∣∣<ε 按照极限的定义，有 limx→111+x√=12 limx→x0f(x)=A x 可以从 x0 的左侧趋于 x0 ，也可以从右侧趋于 x0 。 当从 x0 的左侧趋于 x0(x x→x0− ，或 x→x0−0 左极限：对于任意 ε>0 ，都存在 δ>0 ，凡适合 x0−δ x ，对应的函数值 f(x) 都满足 |f(x)−A|<ε ，则称 A 为 f(x) 的左极限。记为： limx→x0−f(x)=A 或 limx→x0−0f(x)=A 可统一表示为 f(x0−0)=A 文章来源：/ 右极限：把定义中 0<|x−x0|<δ 改为 x0 limx→x0+f(x)=A 或 limx→x0+0f(x)=A 可统一表示为 f(x0+0)=A limx→x0f(x)=A⇔f(x0−0),f(x0+0) 都存在且极限值都等于 A （注： ⇔ 表示充分必要条件） 文章来源：/ 二、自变量 x 趋向于无穷大（记为 x→∞ ）时函数 f(x) 的极限 数列 un=f(n) ，当 n→∞ 时的极限，可以看作是 f(x) 当 x→∞ 时的极限的特殊情形。 依照数列极限定义，给出 f(x) 当 x→∞ 时的极限定义： 设函数 f(x) 在 |x| 充分大时有定义， A 为常数，如果对于任意给定的 ε>0 ，都存在正数 N ，使得凡是适合 |x|>N 的一切 x ，对应的函数值 f(x) 都满足 |f(x)−A|<ε ，则称当 x→∞ 时， f(x) 以 A 为极限。记为： limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(x→∞) 如果只考虑 x>0 ，且 |x| 无限增大（记为 x→+∞ ），上面定义中把 |x|>N 改为 x>N，就得到 limx→+∞f(x)=A 的定义。 如果只考虑 x<0 ，且 |x| 无限增大（记为 x→−∞ ），上面定义中把 |x|>N 改为 x<−N ，就得到 limx→−∞f(x)=A 的定义。 limx→∞f(x)=A⇔limx→−∞f(x) 和 limx→+∞f(x) 都存在且等于 A （注： ⇔ 表示充分必要条件） 例：证明 limx→∞11+x2=0 证： f(x)=11+x2,A=0 |f(x)−A|=∣∣11+x2−0∣∣=11+x2<1x2<ε 对任意给定的 ε>0 ，为了使 |f(x)−A|<ε ，只需 1x2<ε ，即 x2>1ε⇒|x|>1ε√ 因此，对任意给定的 ε>0 ，取 N=1ε√ ，凡是适合不等式 |x|>N 的一切 x ，对应的函数值 f(x) 都满足： |f(x)−A|=∣∣11+x2−0∣∣<ε 按定义，有 limx→∞11+x2=0 三、无穷小量与无穷大量 1. 无穷小（量） 如果 limx→x0f(x)=0 （或 limx→∞f(x)=0 ），则称当 x→x0 （或 x→∞ ）时， f(x) 是无穷小（量）。 注意： ①不能把一个很小的数看作无穷小。 ②常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数。 2. 无穷大（量） 如果当 x→x0 （或 x→∞ ）时，对应的函数值 f(x) 的绝对值无限增大，则称当 x→x0（或 x→∞ ）时， f(x) 是无穷大（量）。 或者这样表述： 若对于任意给定的正数 M>0 （无论 M 多么大），总存在 δ>0 ，凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x ，对应的函数值 f(x) 都满足 |f(x)|>M ，则称当 x→x0 时， f(x) 是无穷大，记为 limx→x0f(x)=∞ 注意：上式并不说明极限存在，只是说明其极限为无穷大量，无穷大不是一个常数。 把上面定义中的“总存在 δ>0 ，凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x ”改为“总存在正数 N ，凡是适合不等式 |x|>N 的一切 x ”，其余表述不变，则得到 limx→∞f(x)=∞ 注意： 1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈； 2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。 我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。 证：设 limx→x0f(x)=∞ （或 limx→∞f(x)=∞ ），即 f(x) 是无穷大 对任意给定的正数 M>0 （无论多么大），一定存在 δ>0 （存在 N>0 ），使得： |f(x)|>M （对 ∀x∈N(x^0,δ) ，或 |x|>N ） 所以，在 N(x^0,δ) 内（或 |x|>N ）， f(x) 无界。 证毕。 再证明无界函数不一定是无穷大。 证： 此处举一个实例即可证明这一点。证明 f(x)=xsinx 在 (0,+∞) 内是无界函数；但是当 x→+∞ 时， f(x) 不是无穷大。 先证 f(x)=xsinx 在 (0,+∞) 内是无界函数。 对任何 M>0 （无论多么大），现取足够大的正整数 n ，使 xn=2nπ+π2>M ，则： f(xn)=xnsinxn=(2nπ+π2)sin(2nπ+π2)=(2nπ+π2)⋅1>M 可见， f(x) 在 (0,+∞) 内是无界的。 再证 x→+∞ 时， f(x)=xsinx 不是无穷大。 给定 M=1 ，则无论多么大的正整数 N ，当 n>N 时， xn=nπ>N f(xn)=xnsinxn=nπsinnπ=0<1=M 所以 f(x) 不是无穷大。即，当 x→+∞ 时， f(x) 不是无穷大。 证毕。 3. 无穷小与无穷大的关系 定理：如果当 x→x0 （或 x→∞ ）时 f(x) 是无穷大，则 1f(x) 是无穷小，如果当 x→x0（或 x→∞ ）时 f(x) 是无穷小，且 f(x)≠0 ，则 1f(x) 是无穷大。 证： 下面只证 x→x0 的情形， x→∞ 的情形可类推。 ①设 x→x0 时， f(x) 是无穷大，即 limx→x0f(x)=∞ 任意给定 ε>0 ，因 limx→x0f(x)=∞ ，对于正数 M=1ε ，一定存在 δ>0 ，使适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的 f(x) 满足 |f(x)|>M=1ε ∴∣∣1f(x)∣∣<ε ，即 limx→x01f(x)=0 即当 x→x0 时， 1f(x) 是无穷小。 ②设当 x→x0 时， f(x) 是无穷小，且 f(x)≠0 任意给定正数 M>0 （无论多么大），因 limx→x0f(x)=0 对 ε=1M ，一定存在 δ>0 ，使适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的 f(x) 满足 |f(x)|<ε=1M⇒∣∣1f(x)∣∣>M 即当 x→x0 时， 1f(x) 是无穷小。 证毕。 四、海涅定理/Heine定理 连续自变量 x 的函数 f(x) 的极限 limx→x0f(x) （或 limx→∞f(x) ）存在的充分必要条件：对任选的数列 {xn|xn→x0,xn≠x0} （或 xn→∞ ），其所对应的数列 {f(xn)} 有同一极限。 例. （用海涅定理）证明当 x→0 时， f(x)=sin1x 的极限不存在。 证： 取 xn=1nπ,limn→∞xn=limn→∞1nπ=0 f(xn)=sin1xn=sinnπ=0,{f(xn)}={0} （即数列的每一项都为0） ∴limn→∞f(xn)=0 取 xn′=12nπ+π2→0 f(xn′)=sin(2nπ+π2)=1,{f(xn′)}={1} （即数列的每一项都为1） ∴limn→∞f(xn′)=1 ∵limn→∞f(xn)≠limn→∞f(xn′) ∴limx→0f(x) 不存在（由海涅定理可知） ξ3 函数极限的性质和极限的运算 一、极限值与函数值的关系 1. （极限值的唯一性）如果 limx→x0f(x) 存在，则其极限值是唯一的 下面证明这个结论。 证： 用反证法来证明。设 limx→x0f(x) 存在且不唯一： limx→x0f(x)=A,limx→x0f(x)=B ，且 A 即 B−A>0 ，这个假设后面要用到。 对给定正数 ε=B−A4>0 ，由于 limx→x0f(x)=A ，故由极限定义，对正数 ε=B−A4 ，一定存在 δ1>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ1 的一切 x ，所对应的函数值 f(x) 恒有 |f(x)−A| 同理，对给定正数 ε=B−A4>0 ，由于 limx→x0f(x)=B ，故由极限定义，对正数 ε=B−A4 ，一定存在 δ2>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ2 的一切 x ，所对应的函数值f(x) 恒有 |f(x)−B| 取 δ=min{δ1,δ2} ，则凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x ，可以使以下两个不等式同时成立： |f(x)−A| 从而有： B−A=|B−f(x)+f(x)−A|≤|B−f(x)|+|f(x)−A| 即 B−A B−A>0 的情况下，这是不可能成立的。 ∴limx→x0f(x)=A 是唯一的。 2. 极限值与函数值的同号性 (1)设 limx→x0f(x)=A ，且 A>0 （或 A<0 ），则必存在 N(x^0),s.t.∀x∈N(x^0)，都有 f(x)>0 （或 f(x)<0 ）。 证： 设 A>0 ，由 limx→x0f(x)=A 和极限定义，可知： 对正数 0<ε≤A ，一定存在 δ> 适合不等式 0<|x−x0|<δ（ 即 x∈N(x^0,δ)）的一切 x ，恒有 |f(x)−A|<ε ，即 A−ε ∵0<ε≤A ∴A−ε≥0 即 0≤A−ε x∈N(x^0,δ) 证毕。 (2)设 limx→x0f(x)=A ，且在 N(x^0) 内 f(x)≥0 ，则 A≥0 。 证： 用反证法来证明。假如 A<0 ，又 limx→x0f(x)=A 由已证的(1)，可知存在 N(x^0) ，使 f(x)<0,x∈N(x^0) 这与 f(x)≥0 的假设矛盾，所以(2)成立。 例1. 设 f(x) 在 x0 点的某邻域 N(x0) 内有定义，且 limx→x0f(x)−f(x0)(x−x0)2=−1 ，则必存在某邻域 N(x0,δ) ，使： (A) f(x)>f(x0) (B) f(x) (C) f(x)=f(x0) (D)不能判断 f(x) 与 f(x0) 的大小关系 解： 令 F(x)=f(x)−f(x0)(x−x0)2 ，则 limx→x0F(x)=−1<0 由前面所证的结论(1)可知：一定存在 N(x0,δ) ，使 F(x)<0,x∈N(x0,δ) 由 F(x)=f(x)−f(x0)(x−x0)2<0⇒f(x)−f(x0)<0⇒f(x) 3.（有界性）如果当 x→x0 （或 x→∞ ）时 f(x)→A （常数），则一定存在 x0 的某个邻域 N(x^0) （或存在 N>0,|x|>N ），使得 f(x) 是有界的。 证： 已知 limx→x0f(x)=A ，由极限定义，对给定正数 ε=1>0 ，必定存在 δ>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ （即 x∈N(x^0,δ) ）的一切 x 所对应的 f(x) ，恒有： |f(x)−A|<1⇔A−1 即 f(x) 在 N(x^0,δ) 内既有上界，又有下界 ⇒ f(x) 在 N(x^0,δ) 内有界。 证毕。 二、函数极限与无穷小的关系 设 limx→x0f(x)=A （或 limx→∞f(x)=A ），讨论 f(x),A 之间有何关系？ <定理> limx→x0f(x)=A （或 limx→∞f(x)=A ），A为常数 ⇔f(x)=A+α(x) ，且 limx→x0α(x)=0 （或 limx→∞α(x)=0 ） 证： 左推右：设 limx→x0f(x)=A（或 limx→∞f(x)=A ，下面只证前一种情况），根据函数极限定义，对任意给定的 ε>0 ，一定存在 δ>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x所对应的 f(x) ，恒有 |f(x)−A|<ε 。 令 α(x)=f(x)−A ，就有 |α(x)|<ε 从而有 f(x)=A+α(x),limx→x0α(x)=0 右推左：设 f(x)=A+α(x),limx→x0α(x)=0 根据极限定义，对任意给定的 ε>0 ，一定存在 δ>0 ，使得凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ的一切 x 所对应的 f(x) ，恒有 |α(x)|<ε 由 f(x)=A+α(x)⇒α(x)=f(x)−A 由 |α(x)|<ε⇒|f(x)−A|<ε ，即 limx→x0f(x)=A 证毕。 三、无穷小的性质 1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证： 只证两个无穷小的情形（更多个的情形，用数学归纳法便可得结果）。 设有 limx→x0α(x)=0,limx→x0β(x)=0 ，需要证明： limx→x0[α(x)+β(x)]=0 由极限定义可知：任意给定正数 ε>0 ，对正数 ε2>0 ，一定存在 δ1>0 ，使得凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ1 的一切 x 所对应的 α(x) ，恒有 |α(x)|<ε2 同理，对正数 ε2>0 ，一定存在 δ2>0 ，使得凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ2 的一切 x 所对应的 β(x) ，恒有 |β(x)|<ε2 取 δ=min{δ1,δ2}>0 ，当 0<|x−x0|<δ 时，这些 x 所对应的 α(x) ， β(x) 同时满足： |α(x)|<ε2,|β(x)|<ε2 从而有： |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε2+ε2=ε ∴limx→x0[α(x)+β(x)]=0 ，即当 x→x0 时， α(x)+β(x) 是无穷小。 证毕。 2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 证： 设 f(x) 在 N(x^0,δ1),δ1>0 内有界，即存在 M>0,δ1>0 ，使得 f(x)≤M,x∈N(x^0,δ1) 又设 limx→x0α(x)=0 （即当 x→x0 时， α(x) 是无穷小） 要证明的是：当 x→x0 时， f(x)α(x) 是无穷小。 即要证： limx→x0[f(x)α(x)]=0 根据极限，任意给定 ε>0 ，对 εM>0 ，一定存在 δ2>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ2 的一切 x 所对应的 α(x) 恒有 |α(x)|<εM 现取 δ=min{δ1,δ2}>0 ，则凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x ，都会使 |f(x)|≤M ，且 |α(x)|<εM 从而有 |f(x)α(x)|=|f(x)||α(x)| 即 limx→x0[f(x)α(x)]=0 证毕。 对一个常数 C,f(x)≡C 为有界函数；对 limx→x0γ(x)=0 ，在 N(x^0) 内 γ(x) 是有界函数，所以有： 1∘ 常数与无穷小的乘积仍是无穷小 2∘ 两个无穷小的乘积仍是无穷小（有限个无穷小的乘积仍是无穷小） 3∘ 设 limx→x0f(x)=A≠0,limx→x0α(x)=0 （或 x→∞ ），则 limx→x0α(x)f(x)=0（或 x→∞ ） 证： α(x)f(x)=1f(x)⋅α(x) 要证 limx→x0α(x)f(x)=0 （即 α(x)f(x) 是无穷小），只需证 1f(x) 是有界的，再由性质 2∘ 就可得到性质 3∘ 的结论。 ∵limx→x0f(x)=A≠0 ，由极限定义，对给定正数 ε=∣∣A∣∣2>0 ，必定存在 δ>0 ，使得凡是适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的 f(x) ，恒有 |f(x)−A|<∣∣A∣∣2 又由 |A|−|f(x)|≤|f(x)−A|<∣∣A∣∣2⇒|A|−|f(x)|<∣∣A∣∣2⇒|A|−∣∣A∣∣2<|f(x)|（注：两个数差的绝对值一定 ≥ 它们绝对值的差） ∴0<∣∣A∣∣2<|f(x)| ∴∣∣1f(x)∣∣<2∣∣A∣∣ （ 2∣∣A∣∣ 相当于有界函数定义中的 M ） ∴1f(x) 在 N(x^0,δ) 内是有界的。 所以结论成立。 证毕。 四、极限的四则运算公式 以下公式中，自变量都是 x→x0 ，或者都是 x→∞ 设 limf(x)=A,limg(x)=B ，则有： 1. lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x) 2. lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x) 若 C 是常数，则 lim[Cf(x)]=CA=Climf(x) 若 n 是正整数， lim[f(x)]n=lim[f(x)⋅f(x)⋯f(x)]=An=[limf(x)]n 证明： 由函数极限与无穷小的关系： limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),limα(x)=0 limg(x)=B⇔g(x)=B+β(x),limβ(x)=0 f(x)g(x)=[A+α(x)][B+β(x)]=AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)]=AB+γ(x) 其中 γ(x)=Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x) 由无穷小的性质，可知 γ(x) 是无穷小，即 f(x)g(x)=AB+γ(x),limγ(x)=0 lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)⋅limg(x) 证毕。 3. 若 B≠0 ，则 limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x) 证： f(x)g(x)−AB=A+α(x)B+β(x)−AB=Bα(x)−Aβ(x)B[B+β(x)] f(x)g(x)=AB+γ(x),γ(x)=Bα(x)−Aβ(x)B[B+β(x)] ∵Bα(x),Aβ(x) 都是无穷小 ∴lim[Bα(x)−Aβ(x)]=0 ，即分子为无穷小 又 ∵limB[B+β(x)]=lim[B2+Bβ(x)]=B2≠0 由无穷小性质3可知 limγ(x)=0 证毕。 4. 设 f(x)≥g(x) ，而 limf(x)=A,limg(x)=B ，则必有 A≥B 证： 令 F(x)=f(x)−g(x)≥0 ，则权限的四则运算公式得： limF(x)=lim[f(x)−g(x)]=limf(x)−limg(x)=A−B 根据函数值与极限值的同号性定理，可知： limF(x)=A−B≥0⇒A≥B 证毕。 例1. 求 limx→−12x2+x−43x2+2 解： limx→−1(3x2+2)=limx→−1(3x2)+limx→−12=3limx→−1x2+2=3(limx→−1x)2+2=3⋅(−1)2+2=5 limx→−1(2x2+x−4)=limx→−1(2x2)+limx→−1x−limx→−14=2(limx→−1x)2−1−4=2⋅(−1)2−5=−3 ∴limx→−12x2+x−43x2+2=limx→−1(2x2+x−4)limx→−1(3x2+2)=−35 一般地，有： R(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anb0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm 分母的极限： limx→x0(b0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm)=limx→x0∑j=0mbjxm−j=∑j=0m(limx→x0bjxm−j)=∑j=0mbjx0m−j 分子的极限： limx→x0(a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an)=limx→x0∑i=0maixn−i=⋯=∑i=0naix0n−i 若分母极限 ∑j=0mbjx0m−j≠0 ，则： limx→x0R(x)=∑i=0naix0n−i∑j=0mbjx0m−j=R(x0) 例2. 求 limx→2x2−3x+2x2−5x+6 解： 由于 limx→2(x2−5x+6)=4−10+6=0 ，所以不能用极限的四则运算公式。 原式 =limx→2(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)=limx→2x−1x−3=1−1=−1 例3. 求 limx→1x2+1x−1 解： limx→1(x−1)=limx→1x−1=1−1=0 limx→1(x2+1)=[limx→1x]2+1=2≠0 ∵limx→11x2+1x−1=limx→1x−1x2+1=limx→1(x−1)limx→1(x2+1)=02=0 ∴ 当 x→1 时， 1x2+1x−1 是无穷小 由无穷小与无穷大的关系（无穷小的倒数是无穷大），可知 limx→1x2+1x−1=∞ 例4. 求 limx→1(1x−1−2x2−1) 解： 当 x→1 时， 1x−1→∞,2x2−1→∞ ∴ 不能直接用极限的四则运算公式来计算。 limx→1(1x−1−2x2−1)=limx→1x+1−2x2−1=limx→1x−1x2−1=limx→1x−1(x−1)(x+1)=limx→11x+1=12 例5. 求 limx→∞2x2+5x+1x2−4x−8 解： 分子、分母同时除以 x2 （选分子多项式及分母多项式中最高的次数），得： 原式 =limx→∞2+5x+1x21−4x−8x2=limx→∞2+5limx→∞1x+(limx→∞1x)2limx→∞1−4limx→∞1x−8(limx→∞1x)2=2+0+01−0−0=2 ξ4 极限存在准则，两个重要极限 一、准则1：夹挤准则 若在 N(x0,δ0) 内（ δ0>0 ），有 F(x)≤f(x)≤G(x) 成立，而且 limx→x0F(x)=limx→x0G(x)=A ，则 limx→x0f(x) )存在，且极限值为 A 。以上结论对x→∞ 也成立。 证： ∵limx→x0F(x)=A ∴ 对 ∀ε>0 ，必 ∃δ1>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ1 的一切 x 所对应的 F(x) ，恒有 |F(x)−A|<ε ∵limx→x0G(x)=A ∴ 对 ∀ε>0 ，必 ∃δ2>0 ，使得适合不等式 0<|x−x0|<δ2 的一切 x 所对应的 G(x) ，恒有 |G(x)−A|<ε 现取 δ=min{δ0,δ1,δ2} ，则适合不等式 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的 F(x),f(x),G(x) 都满足 F(x)≤f(x)≤G(x) 由上面推导出来的： |F(x)−A|<ε⇔A−ε |G(x)−A|<ε⇔A−ε ⇒A−ε 根据极限定义，有 limx→x0f(x)=A 例1. 证明 limα→0sinα=0,limα→0cosα=1 证： 利用单位圆来找不等式（夹挤准则）两端的函数（如下图所示）。 先证 limα→0sinα=0 作单位圆（圆心在原点 O ） 0<α<π2 （角度用弧度来表示） 圆心角 α 对应的圆弧长度 AD⌢=1⋅α=α （圆弧长度=半径×角的弧度） 由直角三角形 AOB 可知 ABAO=AB1=AB=sinα ∵0 ∴0 又 ∵limα→0+0=0 （常数的极限为0）， limα→0+α=0 ∴ 根据夹挤准则可知 limα→0+sinα=0 文章来源：/ 以上求出了右极限，下面求左极限。 若 −π2<α<0 ，令 t=−α 当 α→0− 时， t→0+ limα→0−sinα=limt→0+sin(−t)=−limt→0+sint=0 即 limα→0+sinα=limα→0−sinα=0 （左、右极限均存在且相等） ∴limα→0sinα=0 再证 limα→0cosα=0 在直角 △AOB 中， OA−AB ∴1−AB AB=sinα,OB=cosα 1−sinα limα→0(1−sinα)=1−limα→0sinα=1−0=1 由夹挤准则可知 limα→0cosα=1 例2. 重要极限之一： limα→0sinαα=1 证： 在单位圆内，设圆心角 ∠AOB=α,0<α<π2 BC=sinα AB⌢=1⋅α=α （弧长 = 半径×圆心角） AD=tanα △AOB 面积 < 圆扇形 AOB 面积 < △AOD 面积 即 12AO⋅BC<12AO⋅AB⌢<12AO⋅AD 即 BC sinα<α ∵0<α<π2,sinα>0 ∴ 上面的不等式同除以 sinα 得： 1<αsinα<1cosα 即 1>sinαα>cosα 文章来源：/ 如果 −π2<α<0 ，令 t=−α cosα=cos(−t)=cost sinαα=sin(−t)−t=−sint−t=sintt ∴ 上面的不等式对 α>0 和 α<0 都正确 ∵limα→01=1,limα→0cosα=1 ∴ 根据夹挤准则，得 limα→0sinαα=1 文章来源：/ 例1. 求 limx→0sinαxsinβx(α≠0,β≠0) ，其中 α,β 均为常数。 解： 原式 =limx→0(sinαxαxsinβxβx⋅αxβx)=limx→0sinαxαxlimx→0sinβxβx⋅αβ=11⋅αβ=αβ 例2. 求 =limx→0 解： 原式 =limx→0sin2xcos2xx=limx→0(sin2xx⋅1cos2x)=2limx→0sin2xx⋅limx→01cos2x=2⋅1⋅1=2 例3. 求 limx→0tanx−sinxx3 解： 原式 =limx→0sinxcosx−sinxx3=limx→0(sinxx⋅1−cosxx2cosx)=limx→0(sinxx⋅2sin2x2x2⋅1cosx) =limx→0sinxx⋅12limx→0(sinx2x2)2⋅limx→01cosx=1⋅(12⋅12)⋅1=12 二、准则2 单调有界准则 如果数列 {un} 满足 u1≤u2≤u3≤⋯≤un≤⋯ ，则称 {un} 为单调增数列。 若其满足 u1≥u2≥u3≥⋯≥un≥⋯ ，则称 {un} 为单调减数列。 极限存在的单调有界准则就是：若单调数列 {un} 是有界的，则 limn→∞un 存在。 例1. 重要极限之二： limx→∞(1+1x)x=e 证： 先证 x=n,n∈N ，即 n 为正整数的情况。 通项 un=(1+1n)n ，要证 {un} 单调增且有界。 设 a>b>0 （ a,b 为实数） an+1−bn+1=(a−b)(an+an−1b+an−2b2+⋯+bn) （中学因式分解知识） <(a−b)(an+an−1a+an−2a2+⋯+an) （把上个式子中的 b 换成 a ，由 a>b 可得此不等式） =(a−b)(an+an+an+⋯+an) （共 n+1 个 an ） =(a−b)(n+1)an ⇒an[(n+1)b−na] 取 a=1+1n,b=1+1n+1 ，则 a,b 的取值满足 a>b>0 把 a=1+1n,b=1+1n+1 代入上面推导出的不等式，得： (1+1n)n[(n+1)(1+1n+1)−n(1+1n)]<(1+1n+1)n+1 ⇒(1+1n)n⋅1<(1+1n+1)n+1⇒un 这说明 un 是单调增数列。 再设 a=1+12n,b=1 ，则 a,b 的取值满足 a>b>0 。代入上面推导出的不等式： (1+12n)n[(n+1)⋅1−n(1+12n)]<1n+1⇒(1+12n)n<2 两边都是 >1 的数，故两边平方，得： (1+12n)2n<4 即 u2n<4 又由前面已经证明的 un 是单调增数列，可知： u2n−1 即 un<4(n=1,2,⋯) ，也即 un 有界。 ∵un 单调增且有界 ∴ 根据准则2， limn→∞un=limn→∞(1+1n)n=e （注：看到这里，有人可能会有疑问：上面折腾了那么多，无非就是证明了极限是存在的，但是并没有证明这个极限的值是什么啊！你怎么知道它是等于 e 的呢？没错，这里根本就是“把这个极限值记为 e ”，而不是知道了这个值具体等于多少，所以不要觉得奇怪） 上面成功地证明了当 x 为正整数时的情况，下一节课将证明当 x 是连续自变量时 limx→∞(1+1x)x=e 也成立。 上节课已经证明了：当 x=n(n∈N) 时， limn→∞(1+1n)n=e ，下面要证明当 x 为连续自变量时，结论仍成立。 当 x 为连续自变量时， ∀x>0 ，讨论 x→+∞ 时的情形。 对任意 x>0 ，存在 n(n∈N) ， s.t.n≤x≤n+1 ⇒1n≥1x≥1n+1⇒1+1n≥1+1x≥1+1n+1⇒(1+1n)n+1≥(1+1x)x≥(1+1n+1)n （注：注意不等式的三个指数，在上面已经推出了 n+1≥x≥n ，所以可以推出不等式） 其中 limn→∞(1+1n)n+1=limn→∞(1+1n)n⋅limn→∞(1+1n)=e⋅1=e limn→∞(1+1n+1)n=limn→∞(1+1n+1)n+1limn→∞(1+1n+1)=e1=e 由于 x≥n ，所以当 n→∞ 时， x→+∞ 由夹挤准则可知 limx→∞(1+1x)x=e 上面证明了 x>0 的情况，下面证明 x<0 时的情况。 对 ∀x<0 ，令 x=−(t+1) ，当 x→−∞ 时，有 t→+∞ （注：为什么这里要取 x=−(t+1) ？就是为了下面变换时凑数用的） limx→−∞(1+1x)x=limt→+∞(1−1t+1)−(t+1)=limt→+∞(tt+1)−(t+1) =limt→+∞(t+1t)t+1=limt→+∞(1+1t)t⋅limt→+∞(1+1t)=e⋅1=e ∵+∞,−∞ 的情况都证明了 ∴limx→∞(1+1x)x=e 特别说明： e 是一个无理数，其值为 此式的另一种形式： limx→0(1+x)1x=e 例1. 求 limx→∞(1−2x)x 解： 把原式与重要极限 limx→∞(1+1x)x=e 比较，为了形式上能一致，令 x=−2t ，当 x→∞ 时， t→∞ （注：这里没写是 +∞ ） 原式 =limt→∞[1−2(−2t)]−2t=limt→∞(1+1t)−2t=1[limt→∞(1+1t)t]2=1e2 例2. 求 limx→1(x)11−x 解： 原式 =limx→1[1+(x−1)]−1x−1 （令 t=x−1 ） =limt→0(1+t)−1t=1limt→0(1+t)1t=1e 例3. 设 a>0,u1=a√,u2=a+a√−−−−−−√,⋯,un=a+un−1−−−−−−−√,⋯ （1）证明 limn→∞un 存在；（2）求 limn→∞un （1）证： 先用数学归纳法证 {un} 单调增。 u1=a√ 假设 un−1 un+1−un=a+un−−−−−√−a+un−1−−−−−−−√=un−un−1a+un√+a+un−1√ （注：最后一步化简的由来：分子、分母均乘以 a+un−−−−−√+a+un−1−−−−−−−√ 可得） ∵ 分母为两个根式相加，为正数，并且前面已经假设 un−un−1>0 ∴un+1−un>0 （分子分母均 >0 ） ∴{un} 单调增 下面再证 {un} 有界。 现已知 u1=a√<1+a√ 假设 un−1<1+a√ 则 un=a+un−1−−−−−−−√ ∴ 由数学归纳法可知 {un} 有界。 由准则2（单调数列且有界，则极限存在），可知 limn→∞un 存在。 （2）求 limn→∞un 已知 un=a+un−1−−−−−−−√ ，两边平方可得 un2−un−1−a=0 上式两边取极限（ n→∞ ），令 limn→∞un=A （极限存在，假设其为 A ） 则 A2−A−a=0 由二次方程求根公式得： A=1±1+4a√2 （极限只有一个，所以只能取一个符号） ∵un>0 ，由函数值与极限值同号性定理，有 A≥0 ∴ 取正号，即 A=12+121+4a−−−−−√ ξ5 无穷小量的比较 这里讨论的 α,β 都是同一个自变量作同一变化过程中的无穷小，且 α 与 β 之比也是同一个变化过程中的极限。 <定义>设 α,β 是两个无穷小，如果 limβα=0 ，就说 β 是比 α 高阶的无穷小，记为 β=o(α)； 如果 limβα=∞ ，就说 β 是比 α 低阶的无穷小； 如果 limβα=C≠0 ，就说 β 与 α 是同阶无穷小。特例： C=1 ，就说 β 与 α 是等价无穷小，记为 α∼β 。 例如，当 x→0 时， x,x2,12x2,1−cosx,tanx 都是无穷小。 ∵limx→01−cosxx2=limx→02sin2x212x2=limx→0[12⋅(sinx2x2)2]=12⋅12=12 ∴ 当 x→0 时， 1−cosx 与 x2 是同阶无穷小。 ∵limx→01−cosx12x2=limx→02sin2x2(2⋅12)⋅12x2=limx→0sin2x2(x2)2=(limx→0sinx2x2)2=12=1 ∴ 当 x→0 时， 1−cosx∼12x2 （等价无穷小） ∵limx→0tanxx=limx→0sinxx⋅limx→01cosx=1⋅1=1 ∴ 当 x→0 时， tanx∼x （等价无穷小） 等价无穷小代换定理 设 α∼α′,β∼β′ ，且 limβ′α′ 存在，则 limβα 存在，且 limβα=limβ′α′ 证： ∵α∼α′ ∴limα′α=1 ∵β∼β′ ∴limββ′=1 ∴limβα=lim(ββ′⋅β′α′⋅α′α)=limββ′⋅limβ′α′⋅limα′α=limβ′α′ 例1. 求 limx→0sin2xx2+x3 解： 原式 =limx→0sin2xx2(1+x)=limx→0sin2xx2⋅limx→011+x=limx→0x2x2⋅1=1 （注：由于 x→0 时， sinx∼x ，故 sin2x∼x2 ；倒数第二步的分母 x2 不用等价无穷小来替换，直接写就可以了） 例2. 求 limx→01−cosxtan22x 解： 前面已经证明了 x→0 时 1−cosx∼x22 ； x→0 时 tanx∼x ，则 tan2x∼2x ， tan22x∼(2x)2 ∴ 原式 =limx→012x2(2x)2=18 例3. 求 limx→0tanx−sinxx3 解： 错误的做法：原式 =limx→0x−xx3=limx→00=0 （由于分子中有减号隔开，所以不能那样替换等价无穷小） 正确的做法：原式 =limx→0sinxcosx−sinxx3=limx→0(sinxx⋅1−cosxx2cosx) =limx→0sinxx⋅limx→01−cosxx2⋅limx→01cosx=1⋅12⋅1=12 （注： limx→01−cosxx2=12 是因为 1−cosx∼12x2 ） 记住一些常用的等价无穷小： 当 u→0 时， sinu∼u tanu∼u arcsinu∼u arctanu∼u ln(1+u)∼u eu−1∼u 1−cosu∼12u2 1+u−−−−−√−1∼12u 当 x→0 时， sinx2∼x2 是因为可将 x2 看作 u （复合函数）。 ξ6 连续函数 一、函数连续性定义 变量 u 的增量（或改变量） Δu ： 设变量 u 由初始值 u1 变化到终值 u2 ，则称 u2−u1 为变量 u 在 u1 处的增量（或改变量），记为 Δu=u2−u1 函数 y=f(x) 的增量 Δy ： 设函数 y=f(x) 在 N(x0) 内有定义，自变量从 x0 变化到 x0+Δx∈N(x0) ，函数 y=f(x) 相应地从 f(x0) 变化到 f(x0+Δx) ，因此 y=f(x) 在 x0 点处的增量为 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 函数 y=f(x) 在一点 x0 处连续的定义： 设 y=f(x) 在 N(x0) 内有定义（注意：在 x0 点也有定义）， x∈N(x0) ，如果当 Δx=x−x0→0 时，对应的函数的增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)→0 ，则称 y=f(x) 在 x0 点处连续。 用极限形式表示就是 limΔx→0Δy=0 另一种定义方式： 设 y=f(x) 在 N(x0) 内有定义， x∈N(x0) ，如果 limx→x0f(x)=f(x0) ，则称 y=f(x) 在 x0 点处连续。 如果 y=f(x) 在 (a,b) 内每一点处都连续，则称 y=f(x) 在 (a,b) 内连续，记为 f(x)∈C(a,b) （注： C 表示连续）， (a,b) 称为 y=f(x) 的连续区间。 左连续、右连续的定义 如果 limx→x0−f(x)=f(x0) ，则称 y=f(x) 在 x0 点左连续。 如果 limx→x0+f(x)=f(x0) ，则称 y=f(x) 在 x0 点右连续。 如果 y=f(x) 在 (a,b) 内连续，且在 a 点处 f(x) 右连续，在 b 点处 f(x) 左连续，则称 y=f(x) 在 [a,b] 上连续，记为 f(x)∈C[a,b] 例1. 证明 y=x√ 在 (0,+∞) 内处处连续。 证： ∀x∈(0,+∞) ，设 x 有增量 Δx x+Δx∈(0,+∞) Δy=x+Δx−−−−−−√−x√=(x+Δx√−x√)(x+Δx√+x√)x+Δx√+x√=Δxx+Δx√+x√ 两边取绝对值： |Δy|=∣∣Δx∣∣x+Δx√+x√<∣∣Δx∣∣x√ 即： 0≤|Δy|≤∣∣Δx∣∣x√ ∵limΔx→0∣∣Δx∣∣x√=0 ∴ 由夹挤准则得 limΔx→0Δy=0 ∴y=x√ 在 (0,+∞) 内连续。 二、函数的间断点 间断点：若函数 y=f(x) 在 x0 点不连续，则称 x0 为 y=f(x) 的间断点。 那么，什么叫“不连续”呢？ 分析： 函数 y=f(x) 在 x0 点处连续 ⇔limx→x0f(x)=f(x0) 要求： （1） f(x) 在 x0 点有定义 f(x0) ； （2） limx→x0f(x) 存在，即 f(x0−0) （左极限）， f(x0+0) （右极限）都存在； （3） f(x0−0)=f(x0+0)=f(x0) 。 以上三个条件之一不满足的话， f(x) 就在 x0 点间断。 间断点可以分为两类： 第一类间断点：若 f(x0−0) （左极限）， f(x0+0) （右极限）都存在，但 f(x0−0)≠f(x0+0) ，或者 f(x0−0)=f(x0+0)≠f(x0) ，或者 f(x) 在 x0 点无定义，则称 x0 是 f(x) 的第一类间断点。 例如： 设 f(x)={x+1,x<1x2,x≥1 左极限 f(1−0)=limx→1−(x+1)=2 右极限 f(1+0)=limx→1+x2=1 ∴limx→1f(x) 不存在 ∴x=1 是 f(x) 的第一类间断点 又例如： g(x)=x2−1x−1 limx→1g(x)=limx→1x2−1x−1=limx→1(x+1)=2 即 g(1−0)=g(1+0)=2 ，左、右极限都存在 但 g(x) 在 x=1 点无定义 ∴x=1 是 g(x) 的第一类间断点 若补充 g(x) 定义： g(1)=2 ，则 g(x) 在 x=1 连续。 又例如： φ(x)={xsin1x,x≠01,x=0 limx→0φ(x)=limx→0xsin1x=0 （注：由 limx→0x=0 可知当 x→0 时， x 是一个无穷小量，又 ∵sin1x 是有界函数，且有界函数与无穷小的乘积为无穷小，故可得 limx→0xsin1x=0 ） 上式极限为0，即左、右极限均存在 ∴φ(0−0)=φ(0+0)=0≠φ(0)=1 ∴x=0 是 φ(x) 的第一类间断点 若改变 φ(x) 的定义，使 φ(0)=0 ，则 φ(x) 在 x=0 点连续。 在第一类间断点中，把 f(x0−0)=f(x0+0) （即左极限=右极限）的间断点称为可去间断点。 第二类间断点：不是第一类间断点，就统称为第二类间断点，即左极限 f(x0−0) 与右极限 f(x0+0) 中，至少有一个不存在。 例如：对函数 f(x)=1x−1 ，有 limx→1f(x)=∞ ∴x=1 是 f(x) 的第二类间断点。 又如：对函数 f(x)=sin1x ， limx→0sin1x 不存在（讲海涅定理的时候说过） ∴x=0 是 f(x) 的第二类间断点。 三、初等函数的连续性 1. 连续函数的和、积、商的连续性 （1）有限个在某点连续的函数的代数和仍然是在该点连续的函数 （2）有限个在某点连续的函数的乘积仍然是在该点连续的函数 （3）两个在某点连续的函数的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处函数值不零 现在证明（3）： 设 f(x),g(x) 在 x0 点处连续，则有 limx→x0f(x)=f(x0),limx→x0g(x)=g(x0)≠0（分母不为0） 由极限的四则运算法则可知： limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f(x)limx→x0g(x)=f(x0)g(x0) （ g(x0)≠0 ） ∴f(x)g(x) 在 x0 点处是连续的。 例1. 证明 y=sinx,y=cosx 在 (−∞,+∞) 内处处连续，以及 y=tanx,y=cotx 在其定义域内连续。 证： ∀x∈(−∞,+∞) ， x 有增量 Δx ，则 Δy=sin(x+Δx)−sinx=2sinΔx2cos(x+Δx2) （由三角函数的和差化积公式可得） ∴|Δy|=2∣∣sinΔx2∣∣⋅∣∣cos(x+Δx2)∣∣≤2∣∣sinΔx2∣∣⋅1≤2⋅∣∣Δx∣∣2=|Δx| （注： 2∣∣sinΔx2∣∣⋅1≤2⋅∣∣Δx∣∣2 是由不等式 |sinα|<|α| 成立得知的） ∴0≤|Δy|≤|Δx| 又 ∵limΔx→0|Δx|=0 ∴ 由极限存在的夹挤准则，得 limΔx→0|Δy|=0⇒limΔx→0Δy=0 由 x 的任意性，可知 y=sinx 在 (−∞,+∞) 内处处连续。 2. 反函数与复合函数的连续性 （1）如果函数 y=f(x) 在区间 Ix 上单调增加（或减少）且连续，则其反函数 x=φ(y) 也在对应区间 Iy={y|y=f(x),x∈Ix} 上单调增加（或减少）且连续。 例如： y=sinx 在 Ix=[−π2,π2] 上单调增且连续，因此其反函数 y=arcsinx 在 [−1,1] 上单调增且连续。 y=cosx 在 Ix=[0,π] 上单调减且连续，因此其反函数 y=arccosx 在 [−1,1] 上单调减且连续。 y=tanx 在 (−π2,π2) 内单调增且连续，因此其反函数 y=arctanx 在 (−∞,+∞) 内单调增且连续。 y=cotx 在 (0,π) 内单调减且连续，因此其反函数 y=arccotx 在 (−∞,+∞) 内单调减且连续。 （2）设当 x→x0 时， u=φ(x) 极限存在，且 limx→x0φ(x)=a ，而 y=f(u) 在对应点 u=a 点处连续，则当 x→x0 时，复合函数 f[φ(x)] 极限存在，且 limx→x0f[φ(x)]=f(a) 证： ∵y=f(u) 在 u=a 点连续 ∴∀ε>0 ，存在 η>0 ，使得当 |u−a|<η （即 a 的某个邻域内）时，恒有 |f(u)−f(a)|<ε 又 ∵limx→x0φ(x)=a ∴ 对上述正数 η>0 ，存在 δ>0 ，使得满足 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的 φ(x) ，恒有 |φ(x)−a|<η 综合上面的结果： ∀ε>0,∃δ>0 ，使得适合 0<|x−x0|<δ 的一切 x 所对应的函数值恒有 |f(u)−f(a)|<ε⇒|f[φ(x)]−f(a)|<ε 由极限定义，有 limx→x0f[φ(x)]=f(a) ∴limx→x0f[φ(x)]=f(a)=f[limx→x0φ(x)] 上式相当于交换记号 limx→x0 与 f （注：下一课会用到此结论，记为①） 例如：求 limx→0ln(1+x)x 解：原式 =limx→0[1xln(1+x)]=limx→0ln(1+x)1x 复合函数 y=f(u)=lnu,u=φ(x)=(1+x)1x,f[φ(x)]=ln(1+x)1x limx→0φ(x)=limx→0ln(1+x)1x=e 而 y=f(u)=lnu 在 u=e 点连续 ∴limx→0f[φ(x)]=limx→0ln(1+x)1x=ln[limx→0(1+x)1x]=lne=1 即上式 = 原式 =limx→0ln(1+x)x=1 ∴ 当 x→0 时， ln(1+x)∼x （注：由 limx→0ln(1+x)x=1 可知 ln(1+x) 与 x 为等价无穷小） （3）复合函数的连续性：设 u=φ(x) 在 x0 处连续， φ(x0)=u0 ，而 y=f(u) 在 u0 点处连续，则复合函数 f[φ(x)] 在 x0 点处连续。 证： 要证明此结论，需要证明 limx→x0f[φ(x)]=f[φ(x0)] ∵u=φ(x) 在 x0 点处连续 ∴ 按定义有 limx→x0u=limx→x0φ(x)=φ(x0)=u0 在复合函数的极限中，令 a=φ(x0)=u0 （注： a 由前一节课定义，就是个极限值） 可推出： limx→x0f[φ(x)]=f[limx→x0φ(x)]=f[φ(x0)] （注：第一个等号是由上一节特别标记的结论①推出的，第二个等号是由前面已经推出的结论得知 limx→x0φ(x)=φ(x0) ） ∴f[φ(x)] 在 x0 点处连续 3. 初等函数的连续性 首先说明[基本初等函数]的连续性 我们已经知道：三角函数、反三角函数在定义域内是连续的，那么，指数函数呢？ 指数函数 y=ax(a>0,a≠1) 定义域为 (−∞,+∞) ，值域为 (0,+∞) 为了证明 y=ax 是连续函数，需要先证明 limx→0ax=1 ，因为后面的推导会用到这个结论。 假设 a>1,∀ε>0 ，为了使 |ax−1|<ε 需要有 1−ε 不妨设 0<ε<1 则 0<1−ε2<1⇒0<(1−ε)(1+ε)<1⇒ln[(1−ε)(1+ε)] ∴ln(1−ε)<−ln(1+ε) 对任给的 0<ε<1 ，取 δ=ln(1+ε)lna>0 （注：这是因为分子、分母均>0） 则当 |x|<δ 时，有（注：这是倒推，其实是为了推出“对任意的 ε ，取 δ= 某个数，均有 |ax−1|<ε ”，所以干脆从寻找这样一个 δ 开始，看能不能推出 |ax−1|<ε ）： −δ 则有： ln(1−ε)lna<−ln(1+ε)lna （注：这是因为上面推出了 ln(1−ε)<−ln(1+ε) ，且 lna>0 ，故可得此结论） 由 ln(1−ε)lna loga(1−ε) ⇒−ε 证到这里，综合一下上面的结论：对任给的 0<ε<1 ，取 δ=ln(1+ε)lna>0 ，则当 |x|<δ时，有 |ax−1|<ε ∴limx→0ax=1 ，这就证明了我们一开始就说要证明的一个小结论，别忘了，后面的证明会用到这个结论。 下面，才真正开始证明 ax 在 (−∞,+∞) 内连续。先假设 a>1 （ a<1 的情况后面会证明）： ∀x∈(−∞,+∞) ，设 x 有增量 Δx ax 对应的增量 Δy=ax+Δx−ax=ax(aΔx−1) limΔx→0Δy=limΔx→0[ax(aΔx−1)]=ax[limΔx→0aΔx−1]=ax⋅(1−1)=0 （注： limΔx→0aΔx=1 是前面已经证明的结论） 根据连续性的定义， y=ax 在 x 点处连续，至此， a>1 的情况证明完毕。 下面证明 a<1 的情况： 当 a<1 时，可令 b=1a>1 ， ax=1bx 显然 b>1,bx 在 (−∞,+∞) 内连续且 bx≠0 由连续函数商的连续性，可知 ax=1bx 在 (−∞,+∞) 内连续，至此， a<1 的情况证明完毕。 ∴y=ax(a>0,a≠1) 在 (−∞,+∞) 内连续。 对数函数 y=logax(a>0,a≠1) 看作是 y=ax 的反函数，利用反函数的连续性，可知 y=logax 在 (0,+∞) 是连续的。 对幂函数 y=xα ，无论 α 为何实常数，当 x>0 时， xα 有定义， y=xα 的定义域为 (0,+∞) 由 y=xα 取对数函数得： logay=αlogax⇒y=aαlogax 这可以看成复合函数： y=au,u=αlogax （注： α 为常数，且前面已经证明了 logax 连续，故 αlogax 连续） 由复合函数的连续性（注： y=au 以及 u=αlogax 都是连续的），可知 xα=aαlogax 在 (0,+∞) 内连续。 综上所述：基本初等函数在定义域内是连续的。 再根据连续函数的和、积、商的连续性，以及复合函数的连续性，可知：初等函数在定义区间内处处连续。 四、连续函数在闭区间上的性质 函数在区间 I 上的最大、最小值定义： 设函数 f(x) 在区间 I 上有定义，如果 x0∈I ，使得 ∀x∈I ，都有 f(x0)≤f(x) （或 f(x0)≥f(x) ），则称 f(x0) 是 f(x) 在区间 I 上的最小值（或 f(x0) 是 f(x) 在 I 上的最大值），记为： minx∈If(x)=f(x0) （或 maxx∈If(x)=f(x0) ） 1.最大、最小值定理 闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值，即：若 f(x) 在 [a,b] 上连续（记为 f(x)∈C[a,b] ），则必定存在 ξ,η∈[a,b] ，使得： minx∈[a,b]f(x)=f(ξ),maxx∈[a,b]f(x)=f(η) 即： f(ξ)≤f(x)≤f(η),x∈[a,b] 注意：“闭区间”、“连续”这两个条件不可少。 例如： y=1x 在 (0,1) 连续，但它既无最大值，也无最小值。 又如： f(x)=⎧⎩⎨−x,1,x,−1≤x<0x=00 函数图像如下图所示： f(x) 在 [−1,1] 上的 x=0 点处不连续， f(x) 在 [−1,1] 内无最小值。 文章来源：/ 2.有界性定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。 证：设 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，由性质1（最大、最小值定理）可知：一定存在最大值 M 和最小值 m ，使 m≤f(x)≤M,x∈[a,b] ∴f(x) 在 [a,b] 上既有上界，也有下界 ⇒f(x) 在 [a,b] 上有界。 文章来源：/ 3.零值点定理 使函数 f(x) 的函数值等于0的点 x0 （即 f(x0)=0 ）称为 f(x) 的零值点。 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a)f(b)<0 ），则至少存在一点 ξ ，使 f(ξ)=0 。 若 y=f(x) 在 [a,b] 上连续，则函数曲线 y=f(x) 是连续曲线，两端点为 A(a,f(a)),B(b,f(b)) 。 ∵f(a),f(b) 异号，点 A,B 在 x 轴上、下两侧，连接 A,B 的连续曲线必定与 x 轴相交，此交点即为 f(x) 的零值点。 4.介值定理 设 f(x)∈C[a,b] （即在 [a,b] 上连续），且 f(a)=A,f(b)=B,A≠B ，则对于数 C （ C 介于 A,B 之间），则至少存在一点 ξ ，使 f(ξ)=C 。 证： 不妨设 A A 作函数 F(x)=f(x)−C 在 [a,b] 上连续（两个连续函数的差是连续的） F(a)=f(a)−C=A−C<0 F(b)=f(b)−C=B−C>0 ∴F(a),F(b) 异号 ∴ 由结论3可得结论4。 推论：设 f(x)∈C[a,b] ，令 m=minx∈[a,b]f(x),M=maxx∈[a,b]f(x) ，则 m μ:m<μ ξ ，使 f(ξ)=μ 证： 由性质1可知，至少存在点 x1,x2∈[a,b] ，使 f(x1)=m,f(x2)=M 则函数 f(x) 在 [x1,x2] 或 [x2,x1] 上是连续的（注：因为不知道 x1,x2 谁大谁小，所以有两种情况） 在 [x1,x2] 或 [x2,x1] 上利用性质4即得结论。 例1. 设 f(x)∈C(a,b) （即 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续）， xi∈(a,b)(i=1,2,⋯,n)，请证明：至少存在一点 ξ∈(a,b) ，使得 f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n 证： 令 c=min{x1,x2,⋯,xn},d=max{x1,x2,⋯,xn} 则 [c,d]⊂(a,b) ，且 f(x)∈C[c,d] 由性质1可知，一定存在 m=minx∈[c,d]f(x),M=maxx∈[c,d]f(x) 从而有 m≤f(x1)≤M,m≤f(x2)≤M,⋯,m≤f(xn)≤M n个不等式相加： nm≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)≤nM m≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n≤M 由性质4推论即得结论成立：至少存在一点 ξ∈[c,d]⊂(a,b) ，使 f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n 第3章 导数与微分 （1）由于自变量 x 的变化引起函数 y=f(x) 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。 （2）由于自变量的微小改变（增量 Δx 很小时）引起 y=f(x) 的改变量 Δy 的近似值问题——微分问题。 （3）求导数或微分——微分法。 ξ 1 导数概念 一、两个实例 1.直线运动的瞬时速度问题 设质点沿直线作非匀速运动，其走过的路程 s 与时间 t 的函数关系 s=s(t) ，求某一时刻 t0 时的瞬时速度。 设从时刻 t0 到 t0+Δt 这段时间内质点走过的路程为 Δs=s(t0+Δt)−s(t0) 从 t0 到 t0+Δt 这段时间内，平均速度 v¯=ΔsΔt=s(t0+Δt)−s(t0)Δt 对非匀速运动的质点，平均速度 v¯ 可以作为 t0 时刻瞬时速度的近似值（ Δt 很小时）： v|t=t0≈v¯ Δt 越小， v¯ 与 v|t=t0 越接近。 如果当 Δt→0 时， v¯ 的极限存在，即： limΔt→0v¯=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s(t0+Δt)−s(t0)Δt=v0 则有 v|t=t0=v0 2.曲线在一点处的切线斜率 切线：当 P′→P0 时，割线 P0P′ 的极限位置 P0T 称为曲线的切线 割线： P0(x0,f(x0)),P′(x0+Δx,f(x0+Δx)) 割线斜率 k¯=tanα1=ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx 当 P′→P0 时， Δx→0 limΔx→0k¯=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx 切线 P0T 的斜率 k=tanα=limΔx→0k¯=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx （注： α 为切线的倾斜角） 文章来源：/ 二、导数定义 <定义1> 设 y=f(x) 在 N(x0,δ),δ>0 内有定义，当自变量 x 在 x0 点有增量 Δx （ x0+Δx∈N(x0,δ) ），函数 y=f(x) 相应的增量为 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) ，如果极限 limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx 存在，则称 y=f(x) 在 x0 点可导，并称此极限值为 y=f(x) 在 x0 点的导数。 记为： y′|x=x0,f′(x0),dydx∣∣x=x0,df(x)dx∣∣x=x0 即 f′(x0)=limx→x0f(x0+Δx)−f(x0)Δx 文章来源：/ 直线运动的瞬时速度 v|t=t0=s′(t)|t=t0 曲线在 (x0,f(x0)) 的切线斜率 k|x=x0=f′(x0) 导数定义的另一种极限形式—— y=f(x) 在 x0 点的导数可以定义为： 若记 x=x0+Δx （即 Δx=x−x0 ） 当 Δx→0 时， x→x0 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=f(x)−f(x0) f′(x)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 文章来源：/ y=f(x) 在 x0 点可导，记为 f(x)∈D(x0) y=f(x) 在 (a,b) 内每一点处都可导，则称 y=f(x) 在 (a,b) 内可导，记为 f(x)∈D(a,b) y=f(x) 在区间 I 上可导，记为 f(x)∈D(I) 若 f(x) 在 (a,b) 内可导， ∀x∈(a,b) ，就有 f′(x) 与 x 对应，由函数定义，可知 f′(x) 是定义在 (a,b) 上的函数， f′(x) 称为导函数，一般还称为导数。 文章来源：/ 例1. 求函数 y=1x2 的导函数（ x≠0 ） 解： y=1x2 定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞) ∀x∈(−∞,0)∪(0,+∞) ，自变量有增量 Δx ，且 x+Δx∈(−∞,0)∪(0,+∞) 函数 y=1x2 对应的增量 Δy=1(x+Δx)2−1x2=−2x⋅Δx−(Δx)2x2(x+Δx)2 作比值： ΔyΔx=−2x−Δxx2(x+Δx)2 求极限： limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−2x−Δxx2(x+Δx)2=−2x3 即 (1x2)′=−2x3 <定义2> 设函数 f(x) 在 x0 点的左侧 [x0+Δx,x0] （ Δx<0 ）有定义，如果极限 limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx 存在，则称此极限为 f(x) 在 x0 点的左导数，记为 f′−(x0)=limΔx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx 类似有右导数： f′+(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx 显然有： f(x0) 在 x0 点可导 ⇔f′−(x0),f′+(x0) 存在且 f′−(x0)=f′+(x0) 如果 f(x) 在 (a,b) 内可导，且 f′+(a) 和 f′−(b) 存在，则称 f(x) 在 [a,b] 上可导，记为 f(x)∈D[a,b] 三、导数的几何意义 由实例2（曲线上一点处切线的斜率问题）及导数定义： f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx 可知 ΔyΔx 表示割线 P0P 的斜率 limΔx→0ΔyΔx=f′(x0) 文章来源：/ f′(x) 在几何上表示曲线上一点 P0(x0,f(x0)) 点处切线 P0T 的斜率 f′(x0)=tanα ， α 是切线 P0T 的倾角。 根据导数几何意义及平面解析几何关于直线方程的知识（点斜式方程）： 切线方程为： y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) 曲线上点 P0(x0,f(x0)) 的法线（过 P0 点且与该点处的切线垂直的直线，称为曲线在 P0 点的法线）方程是什么？ 已知：切线斜率 kq=f′(x0) 而切线与法线垂直，故法线斜率 kf=−1f′(x0) （与切线斜率互为负倒数，其中 f′(x0)≠0 ） 所以法线方程为： y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0) 若 y=f(x) 在 x0 点处 f′(x0)=∞ （表示切线垂直于 x 轴），则切线方程为 x=x0 文章来源：/ 例1. 求曲线 y=1x2 在 P0(1,1) 处的切线方程和法线方程。 解：先求导数： y′=−2x3 ，则 y′∣∣x=1=−2 切线斜率 kq=−2 ，法线斜率 kf=12 ∴ 切线方程为： y−1=−2(x−1)⇒2x+y−3=0 法线方程为： y−1=12(x−1)⇒x−2y+1=0 思考：曲线 y=f(x0) 外有一点 M0(x0,y0) ，过 M0 点作曲线的切线，怎样求该切线的方程？ 四、函数的可导性与连续性的关系 <定理> 如果函数 y=f(x) 在 x0 点可导，则 f(x0) 在 x0 点必定连续。 证：设 f(x) 的自变量 x 在 x0 点有增量 Δx ，函数对应的增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) 要证 f(x) 在 x0 点处连续，也就是要证 limΔx→0Δy=0 （注：为什么？见第18课的连续性定义） ∵y=f(x) 在 x0 点可导，从而有： limΔx→0ΔyΔx 存在，且 limΔx→0ΔyΔx=f′(x0) 根据有极限的函数与无穷小的关系（ limx→x0f(x)=A⇔f(x)=A+α,limx→x0α=0）可知： ΔyΔx=f′(x0)+α 即： Δy=f′(x0)Δx+αΔx 两边取极限： limΔx→0Δy=f′(x0)limΔx→0Δx+limΔx→0(αΔx) （注： αΔx 为两个无穷小的乘积，仍为无穷小） ∴ 函数 y=f(x) 在 x0 点处连续（连续是可导的必要条件） 定理的逆命题不成立，即函数在一点连续，也不一定是可导的。 例2. 证明函数 y=x√3,y=x2−−√=|x| 在 x=0 点连续，但是在 x=0 点不可导。 证： 对 y=x√3 ，自变量在 x=0 点有增量 Δx ，则 Δy=0+Δx−−−−−−√3−0√3=Δx−−−√3 ∴(Δy)3=Δx ∵limΔx→0(Δy)3=(limΔx→0Δy)3=limΔx→0Δx=0 ∴limΔx→0Δy=0 ∴y=x√3 在 x=0 点连续（注：由第18课的连续性定义可知） 下面证明导数不存在。 第一个函数： limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx√3Δx=limΔx→01(Δx)23=∞ ∴y=x√3 在 x=0 点不可导。 第二个函数： 对 y=x2−−√=|x|={x,x≥0−x,x<0 ，易证 y=|x| 在 x=0 点连续（这里就不详细写了） 设自变量 x 在 x=0 点有增量 Δx ，则： Δy=|0+Δx|−|0|=|Δx|={Δx,Δx>0−Δx,Δx<0 在 x=0 处的右导数 f′+(0)=limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→0+ΔxΔx=1 在 x=0 处的左导数 f′−(0)=limΔx→0−ΔyΔx=limΔx→0−−ΔxΔx=−1 ∵f′+(0)≠f′−(0) ∴y=f(x)=|x| 在 x=0 点不可导（注：由第23课开头的定义可知） 文章来源：/ 从函数图形上很容易看出来： 对右图，在 x=0 点处，切线垂直于 x 轴，斜率为无穷大，故不可导。 五、几个基本初等函数的导数公式 1. 常数 C ： f(x)≡C,−∞ 下面推导其导数： 令 y=f(x)≡C,∀x∈(−∞,+∞) Δy=f(x+Δx)−f(x)=C−C=0 f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→00Δx=0 ∴(C)′=0 2. 幂函数 y=f(x)=xα （ α 为实常数） 下面推导其导数： 当 α=n(n∈N) 时，有 Δy=f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)n−xn 按二项式定理展开前面的 (x+Δx)n ，得： Δy=[xn+nxn−1Δx+n(n−1)2!xn−2(Δx)2+⋯+(Δx)n]−xn =nxn−1Δx+n(n−1)2!xn−2(Δx)2+⋯+(Δx)n ∴ΔyΔx=nxn−1+n(n−1)2!xn−2Δx+⋯+(Δx)n−1 ∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[nxn−1+n(n−1)2!xn−2Δx+⋯+(Δx)n−1]=nxn−1 （注：从第二项开始，每一项的极限均为0） ∴(xn)′=nxn−1 α 为任何实常数时， (xα)′=αxα−1 ，这个结论以后再证明。 3. 正弦、余弦函数 y=f(x)=sinx,f(x)=cosx 先来推导正弦函数的导数： y=sinx,−∞ ∀x∈(−∞,+∞) ，自变量有增量 Δx ，函数 y=sinx 的增量 Δy=sin(x+Δx)−sinx=2sinΔx2cos(x+Δx2) （注：三角函数的和差化积公式） ∴ΔyΔx=2sinΔx2cos(x+Δx2)Δx ∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02sinΔx2Δx⋅limΔx→0cos(x+Δx2)=1⋅cosx=cosx （注： limΔx→02sinΔx2Δx=1 是重要极限之一； y=cosx 是连续函数，因此 limΔx→0cos(x+Δx2) 的极限号可以放进去） ∴(sinx)′=cosx 再来推导余弦函数的导数： y=cosx,−∞ ∀x∈(−∞,+∞) ， limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0cos(x+Δx)−cosxΔx=limΔx→0−2sinΔx2sin(x+Δx2)Δx =−limΔx→0sinΔx2Δx2⋅limΔx→0sin(x+Δx2)=−sinx ∴(cosx)′=−sinx 4. 对数函数 y=f(x)=logax(a>0,a≠1) y=logax,0 ∀x∈(0,+∞) ，设自变量 x 有增量 Δx ，函数对应的增量： Δy=loga(x+Δx)−logax=loga(x+Δxx)=loga(1+Δxx) ∴ΔyΔx=1Δxloga(1+Δxx)=1x⋅xΔxloga(1+Δxx)=1xloga(1+Δxx)xΔx ∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0[1xloga(1+Δxx)xΔx]=1x⋅limΔx→0[loga(1+Δxx)xΔx] =1x⋅loga[limΔx→0(1+Δxx)xΔx]=1x⋅logae=1x⋅1lna=1xlna （注： limΔx→0(1+Δxx)xΔx=e 是重要极限之一，即 limα→0(1+α)1α=e ） ∴(logax)′=1xlna (lnx)′=1xlne=1x 本课推导的常用的导数公式总结： (C)′=0 (xα)′=αxα−1 (sinx)′=cosx (cosx)′=−sinx (logax)′=1xlna (lnx)′=1x
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