2024年3月12日发(作者：高一数学试卷必修一)
江苏省第19届数学竞赛参考答案与评分标准
一、 择题
题号
答案
二、 填空题
7、1 8、7 9、
1
D
2
A
3
C
4
D
5
C
6
C
x2
x0
x1
x1
，
，
，
（填对一组解给2分，4组全对给
y3
y3
y0
y6
3
12、
c
7分） 10、CHQ 11、
1
5(a
2
b
2
)
5
13、
4,16,4
（对1个
给3分，对2个给5分） 14、
0
三、 解答题
15、题中等式可化为
r1
2x
2
2xa4
0
①……………………………………2分
当方程①有两个相等的实数根时，
442(a4)0
，
x
11
，验证可知
x
的确满足题中的等
22
7
2
由此得
a
1
7
2
，此时方程①有一个根
式………………………………………………………………………………………………………4分
当方程①有两个不相等的实数根时，
442(a4)0
，由此得
a
若
x
个根
x
1
是方程①的根，则原方程有增根
x1
，代入①解得
a
2
8
，此时方程①的另一
2
，它确也满足题中的等式；……………………………………………………………8分
1
是方程①的根，则原方程有增根
x1
，代入①解得
a
3
4
，此时方程①的若
x
另一个根
x0
，验证可知
x0
确满足题中的等式；…………………………………………12分
731
因此
a
1
，
a
2
8
，
a
3
4
即为所求，且
a
1
a
2
a
3
…13分
22
x
16、（1）设装卸工作需
x
小时完成，则第一人干了
x
小时，最后一个人干了小时，两人共干活
4
x1x
(x)
小时，平均每人干活
(x)
小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数
424
1x
第三人，…，平均每人干活的时间也是
(x)
小时。………………………………………4分
24
1x
据题设，得
(x)10
，解得
x16
（小时）。……………………………………6分
24
（2）共有
y
人参加装卸工作，由于每隔
t
小时增加一人，因此最后一人比第一人少干
(y1)t
小时，按题意，得
16(y1)t16
1
，即
(y1)t12
………………………………10分
4
解此不定方程得
y2
y3
y4
y5
y7
y13
，
，
，
，
，
t12
t6
t4
t3
t2
t1
即参加的人数
y2
或3或4或5或7或13。…………………………………………………13分
17、判断（1）、（2）、（3）、（4）都不正确。………………………………………………………1分
判断（1）的反例：
如图（1），在△ABC、△A
B
C中，AC＝AC，BC＝
B
C，高AH＝AH，但两个三角形不
全等。……………………………………………………………………………………………………4
分
判断（2）的反例：
如图（2），在在△ABC、△AB
C
中，AB＝AB，AC＝A
C
，高AH＝AH，但两个三角形
不全等。………………………………………………………………………………………………7分
判断（3）的反例：
设△ABC的三边长分别为AB＝16，AC＝24，BC＝36；△
A
B
C
的三边长分别为
A
B
24
，
A
C
36
，
B
C
54
。由于△ABC与△
A
B
C
的对应边成比例，故△ABC
∽△
A
B
C
，从而它们有5个边角元素分别相等：
AA
，
BB
，
CC
，
AC＝
A
B
，BC＝
A
C
，但它们不全等。……………………………………………………10分
判断（4）的反例：
BAC
，延长
BC、FA交于点
C
，则高BF＝BE，AD＝AD，又AB＝AB，但△ABC与△AB
C
不全等。
…………………………………………………………………………………………………………13分
综上所述，题中4个判断都不正确。
18、9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动
员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各
裁判所评的分不大于4，矛盾。因此，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分。……………3分
下面分情形讨论
（1） 如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分，那么
c
1
＝9；……………………………4分
如图（3），在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作
BAF
（2） 如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被
5名裁判都评为1分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而
c
1
514421
；………………………………………………………………6分
（3） 如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分
之和不大于
91939472
，从而
3c
1
c
1
c
2
c
3
72
，故，
c
1
24
；…………………………………………………………………………………8分
（4） 如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于
9192939490
，从而
4c
1
90
，故
c23
。
综上可知，
c
1
24
。……………………………………………………………………11分
c
1
24
这种情形是可以实现的，见下表：………………………………………………………13分
评
运
动
员
A
1
1
1
1
4
4
4
3
3
3
24
A
2
4
4
4
3
3
3
1
1
1
24
A
3
3
3
3
1
1
1
4
4
4
24
A
4
2
2
2
5
5
5
2
5
2
30
A
5
5
5
5
2
2
2
5
2
5
33
A
6
6
6
6
7
7
7
9
9
9
66
A
7
7
7
7
9
9
9
6
6
6
66
A
8
9
9
9
6
6
6
7
7
7
66
A
9
10
10
10
8
8
8
11
11
11
87
A
10
A
11
A
12
8
8
8
11
11
11
10
10
10
87
11
11
11
10
10
10
8
8
8
87
12
12
12
12
12
12
12
12
12
108
裁
分
判
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
B
7
B
8
B
9
合计
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