2022年全国高考乙卷数学(理)试题变式题17-20题-(学生版)

2024年3月13日发(作者：2013徐州市数学试卷)

2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题17-20题

原题17

1

．记

ABC

地内角

A,B,C

地对边分别为

a,b,c

,

已知

sinCsin(AB)sinBsin(CA)

．

(1)

证明：

2a

2

b

2

c

2

。

(2)

若

a5,cosA

变式题1基础

2

．在

ABC

中

,

内角

A

,

B

,

C

地对边分别为

a

,

b

,

c

,

且

cos

2

AsinAsinBcos

2

Csin

2

B

．

（

Ⅰ

）求角

C

。

（

Ⅱ

）若

c21

,

且

ABC

地面积是

53

,

求

ABC

地周长．

变式题2基础

3

．在

△

ABC

中

,

内角

A

,

B

,

C

所对地边分别为

a

,

b

,

c

,

且



sinAsinC



sin

2

BsinAsinC

．

（

1

）求

sinB

。

（

2

）若

a2c

,

且

△

ABC

地面积为

23

,

求

△

ABC

地周长．

变式题3基础

4

．已知

ABC

中

,a,b,c

分别为角

A,B,C

地对边

,

a(sinAsinB)bsinBcsinC

.

（1）求角C地大小。

（

2

）若

c13

,

且

ABC

地面积为

33

,

求

ABC

地周长

.

变式题4巩固

5

．在

ABC

中内角

A

,

B

,

C

地对边分别为

a

,

b

,

c

,

且

(2ac)cosBbcosC

．

（

1

）求角

B

地大小。

（

2

）若

b8

,

ABC

地面积为

33

,

求

ABC

地周长．

变式题5巩固

6

．在

ABC

中

,

角

A,B,C

地对边分别为

a,b,c,

且

ab2c



cosAcosB



.

(1)求角C地大小。

(2)

若

b3a1

,

b

2

c

2

10

,

求

ABC

地周长

.

变式题6巩固

7

．在

ABC

中

,

bsinBasinA



bc



sinC

1

2

25

,

求

ABC

地周长．

31

(1)求角A地大小

(2)

若

BC

边上地中线

AD23

,

且

S



ABC

23

,

求

ABC

地周长

变式题7巩固

8

．

ABC

地三个内角

A,B,C

地对边分别为

a,b,c

且

bcosA3bsinAca

.

(1)求B。

(2)

若

b2

,

ABC

地面积为

3

,

求

a,c.

变式题8提升

9

．已知

ABC

地内角

A,B,C

地对边分别为

a,b,c,

且满足

sin

2

Asin

2

Csin

2

B2sinAsinCcos2B

．

(1)求B。

(2)

若

2

sinAsinC

变式题9提升

10

．在

ABC

中

,

内角

A,B,C

地对边分别为

a,b,c

,

且

asinAc



sinC2sinB



b



sinCsinB



．

(1)

求角

A

。

(2)

若

ABC

为锐角三角形

,

求

变式题10提升

11

．在

ABC

中

,

内角

A,B,C

地对边分别为

a,b,c,

且

cos

2

C

＝

sin

2

A+cos

2

B+sinAsinC

．

(1)求角B地大小。

(2)

若

b23

,

角

B

地角平分线交

AC

于

D,

且

BD

＝

1,

求

ABC

地周长．

原题18

12

．如图

,

四面体

ABCD

中

,

ADCD,ADCD,ADBBDC

,E

为

AC

地中点．

6

,

b23

,

求

ABC

地周长．

2

3



b



c



地取值范围．

2a

2

(1)

证明：平面

BED

平面

ACD

。

(2)

设

ABBD2,ACB60

,

点

F

在

BD

上

,

当

△AFC

地面积最小时

,

求

CF

与平面

ABD

所成

地角地正弦值．

变式题1基础

13

．如图

,

四棱锥

PABCD

中

,

PA

平面

ABCD,

ABAD,AB//CD,PDAB2AD2CD2

,E

为

PA

上一点

,

且

3PE2PA

．

（

1

）证明：平面

EBC

平面

PAC

。

（2）求直线PB与平面BEC所成角地正弦值．

变式题2基础

14

．如图

,

四边形

ABCD

中

,

满足

AB//CD

,

ABC90

,

AB1

,

BC3

,

CD2

,

将

BAC

沿

AC

翻折至

△PAC

,

使得

PD2

.

（

Ⅰ

）求证：平面

PAC

平面

ACD

。

（

Ⅱ

）求直线

CD

与平面

PAD

所成角地正弦值

.

变式题3基础

15

．如图

,

正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

地高和底面边长均为

2,

点

P,Q

分别为

A

1

B

1

,BC

地中点．

3

(1)

证明：平面

AQC

1



平面

BCC

1

B

1

。

(2)

求直线

BP

与平面

AQC

1

所成角地正弦值．

变式题4巩固

16

．如图

,

AB

是圆

O

地直径

,

PA

圆

O

平面

,C

为圆周上一点

,D

为线段

PC

地中点

,

CBA30,AB2PA

.

(1)

证明：平面

ABD

平面

PBC

.

(2)

若

G

为

AD

地中点

,

求直线

CG

与平面

PBG

所成角地正弦值

.

变式题5巩固

17

．如图

,

四棱锥

PABCD

地底面是正方形

,

PD

底面

ABCD

,

点

E

在棱

PB

上．

(1)

求证：平面

AEC

平面

PDB

。

(2)

当

PD2,AB1

,E

为

PB

地中点时

,

求直线

AE

与平面

PBC

所成角地正弦值．

4

变式题6巩固

18

．如图

,

在四棱锥

PABCD

中

,

底面

ABCD

是矩形

,

AD

平面

CDP

,

PDCD

,

DEPE

,

且

PCD30

.

(1)

求证：平面

ADE

平面

ABCD

。

(2)

若

CD3

,

AD2

,

求直线

PB

与平面

ADP

所成角地正弦值

.

变式题7提升

19

．如图所示

,

四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中

,

底面

ABCD

是以

AB,CD

为底边地等腰梯形

,

且

AB



2AD



4,



DAB



60



,AD



D

1

D

.

（

I

）求证：平面

D

1

DBB

1



平面

ABCD

。

（

Ⅱ

）若

D

1

DD

1

B2

,

求直线

AB

与平面

BCC

1

B

1

所成角地正弦值

.

变式题8提升

20

．如图

,

在四棱锥

PABCD

中

,

底面

ABCD

是圆内接四边形

.

ADCDDP1

,

ABBCBP3

,

DPAC

.

5

（

1

）求证：平面

ACP

平面

ABCD

。

（

2

）若点

E

在

BCP

内运动

,

且

AE//

平面

CDP

,

求直线

AE

与平面

BCP

所成角地正弦值地最

大值

.

变式题9提升

21

．如图

,

P

为圆锥地顶点

,

O

是圆锥底面地圆心

,

AC

为底面直径

,

△ABD

为底面圆

O

地内接正

三角形

,

且边长为

3,E

在母线

PC

上

,

且

AE3,CE1,ECBD

．

(1)

求证：平面

BED

平面

ABD

。

(2)

设线段

PO

上动点为

M

,

求直线

DM

与平面

ABE

所成角地正弦值地最大值．

原题19

22

．某地经过多年地环境治理

,

已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木地总材

积量

,

随机选取了

10

棵这种树木

,

测量每棵树地根部横截面积（单位：

m

2

）和材积量（单位：

m

3

）

,

得到如下数据：

样本号ｉ

12

0.06

3

0.04

4

0.08

5

0.08

6

0.05

7

0.05

8

0.07

9

0.07

10

0.06

总和

0.6

根部横截面积

x

i

0.04

材积量

y

i

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

6

并计算得



x0.038,



y1.6158,



x

i

y

i

0.2474

．

2

i

2

i

i=1i=1i=1

101010

(1)估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积与平均一棵地材积量。

(2)求该林区这种树木地根部横截面积与材积量地样本相关系数（精确到0.01）。

(3)

现测量了该林区所有这种树木地根部横截面积

,

并得到所有这种树木地根部横截面积总和

为

186m

2

．已知树木地材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种

树木地总材积量地估计值．

附：相关系数

r





(x



x)(y



y)

ii

i=1

n



(x



x)



(y



y)

2

ii

i=1i=1

nn

,1.896



1.377

．

2

变式题1基础

23．为促进新能源汽车地推广,某市逐渐加大充电基础设施地建设,该市统计了近五年新能源

汽车充电站地数量（单位：个）,得到如下表格：

年份编号

x

年份

新能源汽车充电站数量

y

/个

1

2016

37

2

2017

104

3

2018

147

4

2019

196

5

2020

226

（

1

）已知可用线性回归模型拟合

y

与

x

地关系

,

请用相关系数加以说明。

（

2

）求

y

有关

x

地线性回归方程

,

并预测

2024

年该市新能源汽车充电站地数量．

参考数据：



y

i



710

,



x

i

y

i



2600

,





y

i



y





149.89

,

103.16

．

i



1

i



1

5

5

5

2

i



1

参考公式：相关系数

r







x



x



y



y



ii

i



1

n





x



x







y



y



2

ii

i



1i



1

nn

2

,

ˆ



ˆ

a

ˆ

bx

ˆ

中斜率和截距地最小二乘估计公式分别为。

b

回归方程

y





x



x



y



y



ii

i



1

n





x



x



i

i



1

n

2

,

ˆ

．

ˆ

ybxa

变式题2基础

7

24．2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕,“冰墩墩”作为冬奥会地吉祥物之一,受到各国运

动员地“追捧”,成为新晋“网红”,尤其在我国,广大网友纷纷倡导“一户一墩”,为了了解人们对“冰

墩墩”需求量,某电商平台采用预售地方式,预售时长段为2022年2月5日至2022年2月20

日,该电商平台统计了2月5日至2月9日地相关数据,这5天地第x天到该电商平台参与预

售地人数y（单位：万人）地数据如下表：

日期

第

x

天

人数

y

（单位：万人）

2月5日

1

45

2月6日

2

56

2月7日

3

64

2月8日

4

68

2月9日

5

72

(1)

依据表中地统计数据

,

请判断该电商平台地第

x

天与到该电商平台参与预售地人数

y

（单

位：万人）是否具有较高地线性相关程度？（参考：若

0.30r0.75

,

则线性相关程度一般

,

若

r0.75

,

则线性相关程度较高

,

计算

r

时精确度为

0.01

）

(2)

求参与预售人数

y

与预售地第

x

天地线性回归方程。用样本估计总体

,

请预测

2022

年

2

月

20

日该电商平台地预售人数（单位：万人）

.

参考数据：





y

i



y





460,





x

i



x



y

i



y





66,46



6.78

,

附：相关系数

i



1i



1

5

2

5

r







x



x



y



y



ii

i



1

n





x

i



x







y

i



y



i



1i



1

n

2

n

ˆ



,b

2





x



x



y



y



ii

i



1

n





x



x



i

i



1

n

2

ˆ

ˆ



y



bx,a

变式题3基础

25

．应对严重威胁人类生存与发展地气候变化

,

其关键在于

“

控碳

”,

其必由之路是先实现

“

碳达

峰

”,

而后实现

“

碳中和

”,2020

年第七十五届联合国大会上

,

我国向世界郑重承诺：争在

2030

年

前实现

“

碳达峰

”,

努力争取在

2060

年前实现

“

碳中和

”,

近年来

,

国家积极发展新能源汽车

,

某品

牌地新能源汽车某区域销售在

2021

年

11

月至

2022

年

3

月这

5

个月地销售量

y

（单位：百

辆）地数据如下表：

2021年11

月份

月

月份代码：

x

1

月

2

月

3

月

4

月

5

2021年122022年12022年22022年3

8