2024年4月4日发(作者：汕头中考数学试卷满分多少)
2015
年高考理数真题试卷（湖北卷）
一
.
选择题：本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.(2015·
湖北）为虚数单位，的共轭复数为（
）
A. B. - C. 1 D. -1
2.
（
2015·
湖北）我国古代数学名著《九章算术》有
“
米谷粒分
”
题：粮仓开仓收粮，有人送来米
1534
石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
254
内夹谷
28
粒，则这批米内夹谷约为（
）
A. 134
石
B. 169
石
C. 338
石
D. 1365
石
3.(2015·
湖北）已知
（
）
A. B. C. D.
的展开式中第
4
项与第
8
项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
4.(2015
湖北）设
的是（
）
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确
A.
C.
对任意正数，
5.(2015·
湖北）设
q
：
B.
D.
对任意正数
,
.
若
p
：成等比数列；
，则（
）
A. p
是
q
的充分条件，但不是
q
的必要条件
B. p
是
q
的必要条件，但不是
q
的充分条件
C. p
是
q
的充分必要条件
D. p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
的必要条件
6..
已知符号函数（
2015·
湖北）
则（
）
A.
C.
7.(2015·
湖北）在区间
的概率，
A.
为事件
“
B.
D.
上随机取两个数，记为事件
“
”
的概率，为事件
“”
是
R
上的增函数，
,
”
的概率，则
（
）
C.
1 / 16
B. D.
8.(2015·
湖北）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长
度，得到离心率为的双曲线，则（
）
A.
对任意的
C.
对任意的
，
，
B.
当
D.
当
时，
时，
，
，则
；当
同时增加
时，
时，
个单位长
；当
9.(2015·
湖北）已知集合
义集合
，定
中元素的个数为（
）
A. 77 B. 49 C. 45 D. 30
10.(2015·
湖北）设整数
.
若存在实数，使得，，
…
，
同时成立
，
则正整数
n
的最大值是（
）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二
.
填空题：本大题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分
11.
（
2015·
湖北）已知向量
AB
12.
（
2015·
湖北）函数
，，则
________ .
的零点个数为
________
．
13.
（
2015·
湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
A
处时测得公路北侧一山顶
D
在西
偏北
30∘
的
方向上，行驶
600m
后到达
B
处，测得此山顶在西偏北
75∘
的方向上，仰角为
30∘
，则此山的高度
CD=________ m.
2 / 16
是圆的切线，
A
为切点，
PBC
是圆的割线，（
2015·
湖北）（选修
4-1
：几何证明选讲）如图，且
BC=3PB
，
则
ABAC=________ .
15.(2015·
湖北）（选修
4-4
：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，以
O
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
.
已知直线的极坐标方程为
，曲线
C
的参数方程为
________ .
( t
为参数
)
，与
C
相交于两点，则
三
.
解答题
16.
（
2015·
湖北）某同学用
“
五点法
”
画函数
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
在某一个周期内的
x
0 5
-5 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动
，求的最小值
.
的公差为
d
，前
n
项和为，
等比数列
．
的通项公式；
，
求数列的前项和．
的公比为
q
．已知，
个单位长度，得到
的解析式；
的图象
.
若
图象的一个对称中心为
17.(2015·
湖北）设等差数列
，
(1)
求数列
(2)
当
，
，
时，记
18.(2015·
湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个
面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马
P-ABCD
中，侧棱
于点，连接
底面，且，过棱的中点，作交
3 / 16
(1)
证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
(2)
若面与面所成二面角的大小为，
求的值．
19.(2015·
湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产
1
吨
A
产品需鲜牛奶
2
吨，使用设
两种产品时间之和不超过
12
小时
.
假定每天可获
备
1
小时，获利
1000
元；生产
1
吨
B
产品需鲜牛奶
1.5
吨，使用设备
1.5
小时，获利
1200
元．要求每天
B
产品的产量不超过
A
产品产量的
2
倍，设备每天生产
取的鲜牛奶数量
W
（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
（Ⅰ）求
Z
的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大
获利
Z
（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅱ）
若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，
求
3
天中至少有
1
天的最大获利超过
10000
元的概率．
20.(2015·
湖北）一种作图工具如图
1
所示．
O
是滑槽
AB
的中点，短杆
ON
可绕
O
转动，长杆
MN
通过
N
处铰链与
ON
连接，
MN
上的栓子
D
可沿滑槽
AB
滑动，且，．当栓子
D
在滑槽
AB
内作往复运动时，带动
N
绕
O
转动一周（
D
不动时，
N
也不动），
M
处的笔尖画出的曲线记为
C
．以
O
为
原点，
AB
所在的直线为轴建立如图
2
所示的平面直角坐标系．
(1)
求曲线
C
的方程；
(2)
设动直线与两定直线
个公共点，试探究：
和分别交于两点．若直线总与曲线
C
有且只有一
的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
4 / 16
21.(2015·
湖北）已知数列
(1)
求函数
(2)
计算
(3)
令
，
，
的各项均为正数，
的单调区间，并比较
，
由此推测计算
与的大小；
，
为自然对数的底数．
的公式，并给出证明；
的前项和分别记为
,,
证明：
.
，
数列，
5 / 16
答案解析部分
一
.
选择题：本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
1.
【答案】
A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】
【分析】复数中，是虚数单位
,
2.
【答案】
B
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，用样本的数字特征估计总体的数字特征，随机抽样和样本估计
总体的实际应用
【解析】
【解答】依题意，这批米内夹谷约为石，选
B.
,
所以的共轭复数为。
.
【点评】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种
.
该书内容十分丰富，系
统总结了战国、秦、汉时期的数学成就
.
本题
“
米谷粒分
”
是我们统计中的用样本估计总体问题
.
3.
【答案】
D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为
以二项式
的展开式中第
4
项与第
8
项的二项式系数相等，所以
.
,
解得
,
所
中奇数项的二项式系数和为
【分析】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：
C
，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等
.
4.
【答案】
C
【考点】频率分布折线图、密度曲线，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态密度曲线的性质可知，
,
对称，因此结合所给图像可得且
,
的密度曲线分别关于
的密度曲线较
.
的密度
曲线
“
瘦高
”
，所以
【分析】正态曲线的性质
，所以对任意正数，
①
曲线在轴的上方，与轴不相交．
②
曲线是单峰的，它关于直线
③
曲线在处达到峰值
.
对称．
④
曲线与轴之间的面积为
1.
⑤
当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示
6 / 16
⑥μ
一定时，曲线的形状由
σ
确定．
σ
越大，曲线越
“
矮胖
”
，总体分布越分散；
σ
越小．曲线越
“
瘦高
”
．总
体分布越集中．如图乙所示．
5.
【答案】
A
【考点】等比数列的性质，二维形式的柯西不等式，一般形式的柯西不等式
【解析】
对命题
:
【解析】
时，
柯西不等式，等式
,
所以
成等比数列，则公比且
;
对命题
,①
当
时，根据
成立，则
成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件。
成立；
②
当
【分析】判断
p
是
q
的什么条件，需要从两方面一是由条件
p
能否推得条件
q
，二是由条件
q
能否推得
条件
p.
对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，
还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
6.
【答案】
B
【考点】构造较为复杂群的方法
──
直积
【解析】【解答】因为是
R
上的增值函数，令
知，
,
所以
,
因为
,
所以
是
R
上的减函数，由符号函数
【分析】求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空
题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案
.
7.
【答案】
B
【考点】几何概型
【解析】
【解答】因为
图（
2
）阴影部分，对为事件
“
,
正方形的面积为
,
对事情
“”
，如图（
1
）阴影部分
,
对事件
“”
，如
”
，如图（
3
）阴影部分
,
由图知，阴影部分的面积从下到大依次是
，根据几何概型公式可得
.
7 / 16
【分析】对于几何概型的概率公式中的
“
测度
”
要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，
在解题时，要掌握
“
测度
”
为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
8.
【答案】
D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】
【解答】依题意，
,
由于
,
,
所以
,,
,
所以
,,
,
所以
。所以当时，
,
,
所以当
；当
时，
时
,
；当
,
时，
,
而
。
,
因为
【分析】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，
层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
9.
【答案】
C
【考点】空集的定义、性质及运算，整除的定义
【解析】【解答】因为集合
即图中圆中的整点，集合
正方形
ABCD
中的整点，集合
形中的整点（除去四个顶点），即个。
，所以集合
A
中有
9
个元素（即
9
个点），
中有
25
个元素（即
25
个点）：即图中
的元素可看作正方
【分析】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新
的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的
迁移，达到灵活解题的目的
.
8 / 16
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