考研数学二(多元函数微分学、重积分)历年真题试卷汇编1(题后含_百

2024年4月9日发(作者：金中自主招生考数学试卷)

考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编1

(题后

含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (2012年试题，一)设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有则

使不等式f(x1，y1)>f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．

A．x1＞x2，y1＜y2

B．x1＞x2，y1＞y2

C．x1如果f(x1，y1)>f(x2，y1)，则x1＞x2，又，如果有f(x2，y1)>f(x2，

y2)，则y1＜y2．所以f(x1，y1)>f(x2，y1)>f(x1，y2)时，就有x1＞x2，y1＜y2．因

此选A． 知识模块：多元函数微分学

2． (2007年试题，一)二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是

( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：选项A相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续．选项B相当于已知两

个一阶偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)存在，因此A,B均不能保证f(x，y)在点(0，

0)处可微．选项D相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)fy’(0，0)存在，但不能推

导出两个一阶偏导数fx’(x，y)fy’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，

y)在点(0，0)处可微．对于选项C，若则即fx’(0，0)=0．同理有fy’(0，0)=0．从

而有根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选

C． 知识模块：多元函数微分学

3． (2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，

则必有( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：由题设可得因为所以选

B． 知识模块：多元函数微分学

4． (2010年试题，5)设函数z=z(x，y)，由方程确定．其中，为可微函数，

且F2’≠0，则：

A．x

B．z

C．一x

D．一z

正确答案：B

解析：根据题意可得故而有，即正确答案为

B． 知识模块：多元函数微分学

5． (2011年试题，一)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)0

B．f’’(0)0，g’’(0)>0

D．f’’(0)>0，g’’(0)在(0，0)点，A=f’’(0)g(0)，B=f’(0)g’(0)=0，C=f(0)g’’(0)

若z=f(x)g(y)在(0，0)有极小值．则AC—B2＞0且A>0→f’’(0)0，故选A． 知识

模块：多元函数微分学

6． (2009年试题，一)设函数z=f(x，y)的全微分为出=xdx+ydy，则点(0，

0)( )．

A．不是f(x，y)的连续点

B．不是f(x，y)的极值点

C．是f(x，y)的极大值点

D．是f(x，y)的极小值点

正确答案：D

解析：由全微分dz=xdx+ydy可得令在(0，0)处又因为在此处A=1>0且AC

一B2=1>0，故可知点(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点．故正确答案为

D． 知识模块：多元函数微分学

7． (2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ(x，y)≠0．已

知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是

( )．

A．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0

B．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0

C．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0

D．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0

正确答案：D

解析：用拉格朗日乘数法判断．令F(戈，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，

y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)式→λ或φx(x0，y0)=0，而当λ=0时，由(2)式

得fy’(x0;y0)=0；当λ≠0时，由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0．所以

排除A，

B．若fx’(x0，y0)≠0，则由(1)式λ→0，再由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，

y0)≠0，即fx’(x0，y0)≠0时，fy’(x0，y0)≠0．故选

D． 知识模块：多元函数微分学

8． (2010年试题，6)=( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：因故根据积分的几何定义可知．即正确答案为

D． 知识模块：重积分

9． (2008年试题，一)设函数f(x)连续，．其中区域Duv为图1-5-1，阴影部

分，则( )．

A．vf(u2)

B．

C．vf(u)

D．

正确答案：A

解析：在极坐标系下，则故应选A． 知识模块：重积分

10． (2004年试题，二)设函数f(u)连续，区域D=｜(x，y)｜x2+y2≤2y｜，

则等于( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：由题设，从而A不成立；由于仅知f(u)连续，题设并未指出f(xy)是

否具有关于坐标轴的对称性，因此B不一定成立；将原积分化为极坐标下二次

积分，有所以选择D[评注]由极坐标下面积元dz=rdrdθ可排除(c)，由D的边界

曲线x2+(y一1)2=1可排除A，由f(x，y)为抽象函数知B不对，故应选

D． 知识模块：重积分

11． (2012年试题，一)设区域D由曲线围成，则( )．

A．π

B．2

C．-2

正确答案：D

解析：其中，sinx为奇函数，在对称区间上积为零，应选D 知识模块：重

积分

12． (2005年试题，二)设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x>0，y≥0}f(x)为D

上的正值连续函数，a，b为常数,则

A．abπ

B．

C．(a+b)π

D．

正确答案：D

解析：由题意可知，D关于直线Y=X对称，于是从而可得所以选D 知识模

块：重积分

13． (2009年试题，一)设函数f(x,y)连续，则

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：[*]的积分区域有两部分：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}，D2={(x，

y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}这两个积分区域可合成一个积分区域D={(x，y)｜1

≤y≤2，1≤x≤4一y}，所以题干中的二重积分等于[*]y)dx．故正确答案为

C． 知识模块：重积分

14． (2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：由二次积分的积分上、下限可知积分区域为的反函数为x=π—arcsiny，

则上述区域等价于，所以积分变换为故应选

B．[评注]关键在于先确定x和y的范围，再交换积分次序，确定y的范围

时应注意，当时，y=sinx=sin(π一x)于是π一x=arcsiny，从而x=π—arc-siny 知

识模块：重积分

15． (2006年试题，二)设f(x，y)为连续函数，则等于( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C