新浙教版七年级上册数学第五章《一元一次方程》知识点及典型例题

2023年12月20日发(作者：河南文科数学试卷全国卷)

新浙教版七年级上册数学第五章《一元一次方程》知识点及典型例题

知识框图 朱国林

定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的指数是一次的方程

一元一次方程

方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

等式的性质

1

：等式的两边加上（或都减去）同一个数或式，所得的结果仍是等式

等式的

基本性质 等式的性质2：等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为0），所得的结

果仍是等式

解方程：求方程解的过程

分母为整数的方程：两边同乘最小公倍数，去分母

一元一次 浙教版教材中

方程的解法 方程的类型：

分母为小数的方程：先将小数变为整数，然后再去分母

一

元解方程的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→两边同除以未知数的系数

一

次分配问题：等量关系为“全部数量=各个部分数量之和

方

程行程问题：包括相遇问题和追及问题、顺风与逆风问题

浙教版教材中等积问题：利用面积相等或体积相等列方程

应用题类型

调配问题：将A调往B等形成新的数量关系

储蓄问题：要弄清利息、利息税、本利和等概念

重叠问题：借助于韦恩图列方程，主要有人数重叠或面积重叠

和差倍分问题：可以从题目中看出明确的等量关系

折扣与利润问题：

课外拓展应用

一元一次 数字问题：设间接未知数，注意数如何用字母表示出来

题类型

方程的应用

年龄问题：抓住年龄增长的特点，一年一岁，人人平等

工程问题：一般设总工作量为“1”

审题：分析题意，找出数量关系，尤其是等量关系

设未知数：设哪一个量为未知数x，以好列方程为原则

列方程解实际列方程：根据相等关系列出方程

问题的一般过解方程：求出未知数的值

程

检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，这是在草稿纸上

完成或心里完成的，并写出答案以及答，这是在试卷上完成的

关于一元一次方程概念的拓展

教材中的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的指数是一次的方程是一元一次方程，那么

x+2=x+3是一元一次方程吗？从概念上来看，是一元一次方程，但稍作变形，就是2=3，是不是觉得很可笑？因此，一元一次方程的概念应该是：方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的指数是一次，并且能变形为ax=b（a≠0，a、b均为常数）的方程是一元一次方程，也就是说，一元一次方程一定只有一个解。

关于用方程解应用题的秘诀：相关条件设未知数，剩余条件列方程

考点一、判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用

考点二、关于在解方程过程中的某些变形问题，只能以选择题的形式出现

考点三、解一元一次方程

考点四、列一元一次方程解与实际生活无关的题目（可以是选择题、填空题、解答题）

考点五、列一元一次方程解与实际生活有关的题目（可以是选择题、填空题、解答题）

将考点与相应习题联系起来

考点一、判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用

1、下列等式中是一元一次方程的是（ ）

A．3x=y-1 B．2(x1)2x1 C．3(x-1)= -2x-3 D．3x2-2=3 E．2、在方程3xy2，x1x1

x11120，x，x22x30中一元一次方程的个数为（ ）

x22A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、如果3x2a160是一元一次方程，那么a ，方程的解为 。（特别注意）

考点二、关于在解方程过程中的某些变形问题，只能以选择题的形式出现

1、已知等式3a2b5，则下列等式中不一定成立的是（ ）

．．．（A）3a52b; （B）3a12b6; （C）3ac2bc5; （D）a2、解方程125b.

33x3x，去分母，得（ ）

62（A）1x33x （B）6x33x （C）6x33x （D）1x33x

3、下列方程变形中，正确的是（ ）

（A）方程3x22x1，移项，得3x2x12;

（B）方程3x25x1，去括号，得3x25x1;

（C）方程23x1x10x1010xt，未知数系数化为1，得t1;

（D）方程1化成1

320.20.525；

考点三、解一元一次方程

（1）0.5x0.76.51.3x； （2）

（3）2x12x56x71； （4）x0.6

2360.4

0.1x1.

0.3

考点四、列一元一次方程，解与实际生活无关的题目（可以是选择题、填空题、解答题）

1、方程xm1x4与方程(x16)6的解相同，则m的值为__________.

2322、已知5x+3=8x－3和5xa7=这两个方程的解是互为相反数，则a= .

633、某数的4倍减去3比这个数的一半大4，则这个数为__________.

4、若与互为相反数，则的值是 .

5、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是 .

6、写出一个以x=－1为解的一元一次方程

22y7、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：5311y

22，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是y，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）

A.1 B.2

8、已知x C.3 D.4

12xm1xm112是方程的根，求代数式4m2m8m1的值.

242342

★★★已知关于x的一元一次方程1x32xb的解为x2，那么关于y的一元一次方程2 0111（y1）3（2y1）b的解为 ．

2 011考点五、列一元一次方程解与实际生活有关的题目（可以是选择题、填空题、解答题）

1、日历上竖列相邻的三个数，它们的和是39，则第一个数是（ ）

A.6 B.12 C.13 D.14

2、有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则还有1人不能上车．有下列四个等式：①40m1043m1；②n10n1n10n1；③；④40m1043m1．其40434043

中正确的是（ ）

A.①② B.②④ C.②③ D.③④

3、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 （ ）

A.不赚不亏 B.赚8元 C.亏8元 D. 赚15元

4、一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价（ ）

A.40% B.20% C.25% D.15%

5、小强比他叔叔小30岁，而两年前，小强的年龄是他叔叔的1，则小强的叔叔今年____________岁.

46、一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合做了2天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为 ( )

(A)．1 天 (B)2 天 (C)3 天 (D)4天

7、小明存入100元人民币，存期一年，年利率为2％，到期应缴纳所获利息的20％的利息税，那么小明存款到期交利息税后共得款 （ ）

A.106元 B.102元 C.111.6元 D.101.6元

8、银行教育储蓄的年利率如右下表：

小明现正读七年级，今年7月他父母为他在银行存款30000元，以供3年后上高中使用. 要使3年后的收益最大，则小明的父母应该采用（ ）

（A）直接存一个3年期；

（B）先存一个1年期的，1年后将利息和自动转存一个2年期；

（C）先存一个1年期的，1年后将利息和自动转存两个1年期；

（D）先存一个2年期的，2年后将利息和自动转存一个1年期.

一年期 二年期 三年期

2.25 2.43 2.70

9、某酒店为招揽生意，对消费者实施如下优惠：凡订餐5桌以上，多于5桌的部分按定价的7折收费.小叶集团公司组织工会活动，预定了10桌，缴纳现金2550元，那么每桌定价是 元.

10、某商店将彩电按成本价提高50%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那么每台彩电成本价是___________。

11、国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：(1)稿费低于800元的不纳税；(2)稿费高于800元，又不高于4000元，应纳超过800元的那一部分稿费的14％的税；(3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的11％的税.某作家缴纳了280元税，那么他获得的稿费是 元.

12、（和、差、倍、分问题）1、“希望工程”委员会将2000元奖金发给全校25名三好学生，其中市级三好学生每人得奖金200元，校级三好学生每人得奖金50元，问全校市级三好学生、校级三好学生各有多少人？

13、（等积变形问题）要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，应截取直径为4cm的圆钢多少cm。

14、（调配问题）某中学组织同学们春游，如果每辆车座45人，有15人没座位，如果每辆车座60人，那么空出一辆车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？

15、（行程问题）一队学生去学校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度行进了18分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去，通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?

某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到过完桥共用60秒。而整列火车完全在桥上的时间是40秒，求火车的速度和长度。

16、（工程问题）一项工程，甲、单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，如果先由甲单独做8天，再由乙单独做3天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？

17、（利润率问题）某商品按定价销售，每个可获利45元，现在按定价的8.5折出售8个所能获得的利润与按定价每个减价35元出售12个所获得利润一样。问这种商品每个的进价、定价各是多少元？

18、（银行储蓄问题）小丽的爸爸前年存了年利率为2.25%的二年期定储蓄，今年到期后，扣除利息的20%作为利息税，所得利息正好为小丽买了一只价值36元的计算器，问小丽爸爸前年存了多少元钱？

19、（数字问题）有一个三位数，十位数字是个位数字2倍，百位数字比个位数字大3，如果把十位上的数字与百位上的数字对调，新的三位数与原来三位数和为1246，求原来的三位数。

20、（年龄问题）其基本数量关系： 大小两个年龄差不会变。

现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？。

21、（比例类应用题）甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7：6，甲用掉50元，乙用掉60元，则二人余下的钱数比为3：2，求二人余下的钱数分别是多少？

22、（重叠类数学问题）七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？

巩 固 练 习

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列方程是一元一次方程的是 ( )

A.x+2y=5 B.12=2 C.x=8x－3 D.y=1

x11x11x=4 C.4x=2 D.－1=

2222.下列方程中，解是x=2的是 ( )

A.2x－2=0 B.3.将方程5x－1=4x变形为5x－4x=1，这个过程利用的性质是 ( )

A.等式性质1 B.等式性质2 C.移项 D.以上说法都不对

4.方程3－x1=1变形如下，正确的是 ( )

2x－a的解，则a的值为 ( )

4 A.6－x+1=2 B.3－x+1=2 C.6－x+1=1 D.6－x－1=2

5.如果x=－8是方程3x+8= A.－14 B.14 C.30 D.－30

6.某工作，甲单独完成需4天，乙单独完成需8天，现甲先工作1天后和乙共同完成余下的工作，甲一共做了

( )

A.2天 B.3天 C.4天 D.5天

7.小明存入100元人民币，存期一年，年利率为2％，到期应缴纳所获利息的20％的利息税，那么小明存款到期交利息税后共得款 ( )

A.106元 B.102元 C.111.6元 D.101.6元

8.某种商品的标价为132元.若以标价的9折出售，仍可获利10％，则该商品的进价为 ( )

A.105元 B.100元 C.108元 D.118元

9.某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖的±1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土能够及时运走且不窝工，解决此问题可设x人挖土，其他人运土，列方程(1)

(4)x+3x=72，上述所列方程正确的是 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km／h，求两个码头之间的距离，72xxx=3；(2)72－x=；(3)=3；3x372x

我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程 ( )

A.x2x2xxxx2xx= B.－2=+2 C.－=2 D.=－2

464646464二、填空题(每小题4分，共24分)

11.若2的2倍与3的差等于2的一半，则可列方程为 .

1为解的一元一次方程

25xa713.已知5x+3=8x－3和=这两个方程的解是互为相反数，则a= .

6312.写出一个以x=－14.小强的速度为5千米／时，小刚的速度为4千米／时.两人同时出发，相向而行.经过x小时相遇，则两地相距 千米.

15.某酒店为招揽生意，对消费者实施如下优惠：凡订餐5桌以上，多于5桌的部分按定价的7折收费.小叶集团公司组织工会活动，预定了10桌，缴纳现金2550元，那么每桌定价是 元.

16.国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算办法是：(1)稿费低于800元的不纳税；(2)稿费高于800元，又不高于4000元，应纳超过800元的那一部分稿费的14％的税；(3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的11％的税.某作家缴纳了280元税，那么他获得的稿费是 元.

三、解答题(共66分)

17.(6分)解下列方程：

(1)4x－2(x－3)=x； (2)x－

18.(6分)当x取何值时，代数式

19.(6分)若代数式3ab

20.(8分)如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?

21.(8分)一项工程，由甲队独做需12个月完工，由乙队独做需15个月完工.现决定由两队合作，且为了加快进度，甲、乙两队都将提高工作效率.若甲队的工作效率提高40％，乙队的工作效率提高25％，则两队合作，几34－5n1xx2－1.

363x2和x－2是互为相反数?

6“与－6a6－(m+1)m－1b是同类项，求m－5mn的值.

2

个月可以完工?

22.(10分)某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分每立方米按2元收费.如果某居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么这个月他共用了多少立方米水?

23.(10分)小强、小芳、小亮在郊游，看到远处一列火车匀速通过一个隧道后，产生了以下对话.各位同学，请根据他们的对话求出这列火车的长.

24.(12分)温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台.现在决定给武汉8台，南昌6台.每台机器的运费如下表.设杭州运往南昌的机器为x台.

(1)用x的代数式来表示总运费(单位：百元)；

(2)若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？

终点

起点

温州厂

杭州厂

南昌

4

3

武汉

8

5

(3)试问有无可能使总运费是7400元?若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由.

参考答案：

1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9.B 10.B

11.2x－3=12x

12.略

13.24

14.9x

15.300

16.2800

17.(1)x=－6 (2)x=－27

18.解：由题意，得3x2106+x－2=0 解得x=9

19.解：由题意，得{6(m1)345nm1

解得：m=2，n=332235. 把m=2，n=5代入m－5mn得 原式=2－5×2×5=－2.

20.解：设了正方形边长为x厘米，由题意，得4x=5(x－4) 解得x=20所以4×20=80

答：每一个长条的面积为80平方厘米.

21.解：设两队合作2个月完成，由题意，得x=1

解得x=5答：两队合作，5个月可以完工.

22.解：(1)∵1.5>1.2 ∴用水量超过20立方米. 设超过了x立方米1.2×20+2x=1.5(20+x) 解得∴1.2×10+20=32. 答：这个月他共用了32立方米水.

23.解：设火车的长为x米，由题意，得500x500x30=20 解得x=100.

答：这列火车长100米.

24.解：(1)总运费为4(6－x)+8.(4+x)+3x+5(4－x)=2x+76.

(2)2x+76=84. x=4.

答：运往南昌的机器应为4台.

(3)若2x+76=74，解得x=－1.∵x不能为负数，∴不存在. 答：略.

x=12.