高数典型例题期末总结

2024年4月16日发(作者：同盛中学数学试卷)

高数典型例题期末总结

高数典型例题总结

例题1：求函数f(x)=2x^2-3x-2的导数和导数的极值。

解析：首先，我们需要求出函数f的导数。根据导数的定义和求导法则：

f\'(x)=(2x^2-3x-2)\'=4x-3

导数的极值需要满足导数等于0的条件，即4x-3=0，解得x=3/4。

接下来，我们需要判断导数的极值是极大值还是极小值。根据二阶导数的定义和求导法则：

f\'\'(x)=(4x-3)\'=4

二阶导数大于0时，函数f在该点有极小值；二阶导数小于0时，函数f在该点有极大值；

二阶导数等于0时，函数f的极值点需通过其他方法进行判断。

在本例中，f\'\'(x)>0，所以f在x=3/4处有极小值。

例题2：求函数f(x)=x^3的不定积分。

解析：求函数的不定积分即求原函数，可以使用分部积分法。

设u=x^3，dv=dx，则du=3x^2dx，v=x。根据分部积分法：

∫f(x)dx=∫u dv=uv-∫v du=x^3*x-∫x*3x^2dx=x^4-3∫x^3dx

∫x^3dx=x^4/4，代入得：

∫f(x)dx=x^4-3*x^4/4=4x^4/4-3x^4/4=x^4/4

所以，函数f(x)=x^3的不定积分为x^4/4。

例题3：已知函数f(x)=e^x，求函数f的定积分∫[0，1] f(x)dx。

解析：求函数的定积分即求函数在给定区间上的面积，可以使用定积分的性质和公式进行

求解。

∫[0，1] f(x)dx=F(1)-F(0)

其中，F(x)是函数f的原函数。由于f(x)=e^x，F(x)的原函数是e^x。

代入得：

∫[0，1] f(x)dx=F(1)-F(0)=e^1-e^0=e-1

所以，函数f的定积分∫[0，1] f(x)dx=e-1。

综上所述，高等数学期末考试中的典型例题涉及到函数的导数、极值、不定积分和定积分

的求解。对于这类例题，我们需要熟悉基本的概念、原理和解题方法，并加强对相关定理

和公式的理解和记忆。通过反复练习和深入理解，我们可以提高解题的准确性和效率，从

而在期末考试中取得好成绩。