高等数学经典例题

2024年4月16日发(作者：初中数学试卷书写训练)

多

元

函

数

微

分

法

及

其

应

用

x

例3设f(xy,)x

2

y

2

,求f(x,y).

y

x

解令xyu,v，则

y

uvu

x,y,

1v1v

u

2

(v

2

1)x

2

(y1)

f(u,v),f(x,y).

2

(1v)1y

例6求证

lim(x

2

y

2

)sin

x0

y0

1

0

x

2

y

2

1

0

证

22

xy

1

22

x

2

y

2

sin

22

xy

xy





0,









,

(x

2

y

2

)sin

当

0(x0)

2

(y0)

2





时，

(x

2

y

2

)sin

1

0



22

xy

原结论成立．

例9求lim(xy).

(x,y)(0,0)

22xy

故

(x,y)(0,0)

lim(x

2

y

2

)

xy

e

0

1.

lim

xy11

.

xy

解(xy)e

22xyln(x

2

y

2

)

,而

xyln(x

2

y

2

)

22

(x,y)(0,0)

xy

2222

(xy)ln(xy)

22

xy

22

例10求

(x,y)(0,0)

解先将函数变形



lim(xy)ln(xy)

令x

2

y

2

t

limtlnt

t0

lnt

罗必达法则

lim

t0

1

t

xy

又

22

1，从而

lim

(x,y)(0,0)

xy

1

lim

t

0

t0

1



2

t

xyln(x

2

y

2

)0,

xy11

xy1

,

xyxy

xy11

11



lim,

(x,y)(0,0)

xy11

2

故所求极限是否存在,只须考察

xy

,

xy

A.

当(x,y)沿yx趋于(0,0)时,有

xy

(x,y)(0,0)

xy



x

lim

xy

lim

x

2

lim0,

y



x

0

0

xy

x0

2x

2

又lim

xyxy

(x,y)(0,0)

xy



x

lim

0

xy

lim

x(xx)

x0

yx

2

x0

x

2

1,

故lim

xy

(x,y)(0,0)

xy

不存在,

从而

xy11

(x,y

lim

)(0,0)

xy

不存在.

例5设f(x,y)



xy

e

t

2

0

dt,求

x

2



f

2

fy

2

I

f

yx

2

2

xy



xy

2

.

解

f

ye

x

2

y

2

f

22

x

,

y

xe

xy



,





2

f

2x

2

y

2

3x

2

y

2

x

2

y2xye2xye,



2

f

可由f(x,y)关于变量

3x

y

2

2yxe

2

y

2

,

x,y的对称性得出



2

f

22

xy

（12x

2

y

2

）e

xy

,

例4 设

zx

3

y

2

3xy

3

xy1

，

偏

求



2

z



2

z

2

z



2

z



3

z

x

2

、

yx

、

xy

、

y

2

及

x

3

.

微

解

z

223

z

x

3xy3yy,

2x

3

y9xy

2

y

x;



2

z

2



3

z



2

z

分

x

2

6xy,

x

3

6y

2

,

y

2

2x

3

18xy;



2

z

2

xy

6x

2

y9y

2

z



1,

yx

6x

2

y9y

2

1.

I2e

x

2

y

2

.

在以上二例中,均有



2

z

2

xy



z

yx

.

问题：混合偏导数都相等吗？

B.

多

元

复

合

函

数

的

求

导

法

则

dz

dt

lim

zzduzdv

t0

t



u



dt



v



dt

.

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.

如

dzzduzdvz

dt



udt



vdt



dw

wdt

(2)

z

w

v

u

t

以上公式中的导数

dz

dt

称为

全导数.

例2设zf(e

x

siny,x

2

y

2

),f有二阶连续偏导数,

2

求

z

xy

.

解令ue

x

siny,vx

2

y

2

,则zf(u,v),

图示：

u

z

x

z

v

y

x

f

1



e

x

sinyf

2



2x,

为表达方便起见,记

2

f





f(u,v)

1

,f

f(u,v

u

12





)

uv

,

例1 设

ze

u

sinv

，而

uxy

，

vxy

，

求

z

z

x

和

y

.

解

z

zu

x



u



x



z

v



v

x

e

u

sinvye

u

cosv1

e

u

(ysinvcosv),

z



y



z

u



u

z

v

y



v



y

e

u

sinvxe

u

cosv1

e

u

(xsinvcosv).

u

f

1



，f

2



x

v

y



2

z

xy





y

(f

1



e

x

sinyf

2



2x)

(f



e

x

11

cosyf

12



2y)e

x

sinyf

1



e

x

cosy

2x[f

21



e

x

cosyf

22



2y]

e

2x

cosysinyf

11



2e

x

[ysinyxcosy]f

12



4xyf

22



e

x

cosyf

1



.

f

12



f

21



C

例3设zf(u,x,y),uxe

y

,f有二阶连续偏导数,

1



2

例4设z

求

z

x

f(xy)y



(xy),f有二阶连续偏导数,

xy

.

u

z

x

x

求



2

z

.

解

x

ff

f

1



，f

2



，

z

xy

1



e

y



2



,

y

y



2

z

分析当



2

z

2

z

xy

与

yx

连续时,两者相等,故可选择容易

xy





y

(f

1



e

y

f

2



)

计算的次序来计算混合偏导数.

(f

11



xe

y

f

13



)e

y

f

1



e

y

f

21



xe

y

f

23



解记g(x,y)

1

x

f(xy),h(x,y)y



(xy),则

xe

2y

f

11



e

y

f

13



xe

y

f

21



f

23



e

y

f

1



.



2

z

xy





x

(

g

y

)

h

y

(

x

)

解记g(x,y)

1

[分析与求解]先求



(1)f(1,f(1,1))f(1,1)1,则求

x

f(xy),h(x,y)y



(xy),则



2

z

d

3

xy





x

(

g

y

)

h

y

(

x

)

dx



(x)

2

x1

3



(1)





(1)3





(1),

归结为求





(1).





x

(f



(xy))



y

(y





(xy))

由复合函数求导法：

yf



(xy)





(xy)y





(xy).





(x)f

1



(x,f(x,x))f

2



(x,f(x,x))[f

1



(x,x)f

2



(x,x)],

例5设zf(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)1,





(1)f

1



(1,f(1,1))f

2



(1,f(1,1))[f

1



(1,1)f

2



(1,1)]

f

23(23)17,

2,

f

3,



(x)f(x,f(x,x)),求

d

3

x

(1,1)

y

(1,1)

dx



(x)

x1

.



d

dx



3

(x)

x1

31751.

D.

例7 已知

e

xy

2ze

z

0

，求

解

z

z

和.

x

y

d(e

xy

2z

e

z

)0,

e

xy

d(xy)2dze

z

dz0,

(e

z

2)dze

xy

(xdyydx)

ye

xy

xe

xy

dz

z

dx

z

dy

(e2)(e2)

z

z

ye

xy

xe

xy



z

,



z

.

x

e2

y

e2

隐

函

数

的

求

导

公

式



2

z

例2设exyz,求

2

.

x

解设F(x,y,z)e

z

xyz,则

z

F

x

yz,F

y

xz,F

z

e

z

xy,

由(4)得

zyzyz



z



z

xexyexy

zz



yz





2

zyz

x

(exy)yz(ez

x

y)

()

x

2

xe

z

xy(e

z

xy)

2

2y

2

ze

z

2xy

3

zy

2

z

2

e

z

.

z3

(exy)

将z



x



yz

代入化简

e

z

xy

例3设uf(x,y,z),



(x

2

,e

y

,z)0,ysinx,其中f,







du

都有一阶连续偏导数,且0,求.

zdx

分析本题实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的

求导与抽象复合函数求导的综合题.





由



(x

2

,e

y

,z)0,ysinx,0知y,z都是x的函数,

z

从而u是x的复合函数.

x

而

由uf(x,y,z)，

图示：

u

y

x

dz

由



(x

2

,e

y

,z)0按隐函数求导法各项对x求偏导,

dx

注意y,z都是x的函数.

dz



2x



2



e

y

cosx



3







1

0,

dx

dz1



e

y

cosx



2



),(2x



1



dx



3

故

dufff1



e

y

cosx



2



).cosx(2x



1



dxxyz



3

dy

cosx,

dx

duffdyfdz

1,

dxxydxzdx

z

E.

例6设yy(x),zz(x)是由zxf(xy),F(x,y,z)0

例7设uf(x,y,z)有一阶连续偏导,又yy(x),zz(x)

所确定的函数,其中f,F分别具有一阶连续导数和一阶连

分别由以下两式确定:

续偏导数,求

dz

dx

.

e

xy

xy2,e

x





xz

sint

0

t

dt,

解在zxf(xy),F(x,y,z)0的两端对x求导得

求

du



dx

.



dz

f(xy)xf



(1

dy



dx

),

解

du



dydz

dx

dx



f

x



fdyfdz

y



dx



z



dx

,

(7)



F

x

F

y

dx

F

z

dx

0.

由e

xy

xy2两边对x求导得

消去

dy

,得

dz

(fxf



)F

y

xf



F

e

xy

(yx

dydy

dxdx



x

F

.

dx

)(yx

dx

)0,

y

xf



F

z



dyy

dx



x

，

由e

x





xz

sint

0

t

dt两边对x求导得



e

x



sin(xz)

(xz)

(1

dz

dx

),

六、 设函数

u(x)

由方程组



uf(x,y)



g(x,y,z)0

所确定,





h(x,z)0



dze

x

(xz

dx

1

)

sin(xz)

，

且

gh

y

0,

z

0,求

du

dx

.

(

f,g,h

均可微)

将其代入(7)得

七、 设

yf(x,t),

而

t

是由方程

F(x,y,t)0

所确定的

dufyfe（

x

xz）f

x,y

的函数,求

dy

dx



x



xy

[1

sin（xz）

]

z

.

dx

.

八、 设

zz(x,y)

由方程

F(x

x

y

,y

z

x

)

=0所确定,

证明:

x

z

x

y

z

y

zxy

.

F.

多

例2 求曲线

x

2

y

2

z

2

6

，

xyz0

在

元

点

(1,2,1)

处的切线及法平面方程.

函

解1 直接利用公式;

(求导时诸变量均平等看待)



dy

0,

dz

数

解2 将所给方程的两边对

x

求导并移项，得

dx

(1,2,

dx

1,

1)

(1,2,1)

微

分

(注这里两个方程,三个变量,所以有两个变量函数,一

由此得切向量

T



{1,0,1},

学

个自由未知量,

由x,y,z的对称关系,均可取为自变量,一旦

解

的

取定自变量,另两个变量即为该变量的函数,求导时,函数

所求切线方程为

x1y2z

法

三

几

变量应按复合函数求导法则求导).

1



0



1

1

,

用

何



1)0,

应

y

dydz

dy

法平面方程为

(x1)0(y2)(z

全



dx

z

dx

x

微

用





dx



zx

yz

,

xz0

分



dy

dz

不



变

dx



dz

dx

1

dx



xy

yz

,

性

求

例3 求曲面

x

2

2y

2

3z

2

21

平行于平面

因为

(x

0

,y

0

,z

0

)

是曲面上的切点，

x4y6z0

的各切平面方程.

满足方程

x

0

1,

解

设

(x

0

,y

0

,z

0

)

为曲面上的切点,

所求切点为

(1,2,2),

(1,2,2),

切平面方程为

切平面方程(1)

2x

0

(xx

0

)4y

0

(yy

0

)6z

0

(zz

0

)0

2(x1)8(y2)12(z2)0

依题意，切平面方程平行于已知平面，得

x4y6z21

2x

0

切平面方程(2)

1



4y

0

4



6z

0

6

,

2x

0

y

0

z

0

.

2(x1)8(y2)12(z2)0

x4y6z21

G.

例4设F(u,v)可微,试证曲面F(cxaz,cybz)0各点

例2 求函数

f(x,y)x

2

xyy

2

在点（1，1）

处的法线总垂直于常向量.

方

沿与

x

轴方向夹角为



的方向射线



l

的方向导数.并

证令f(x,y,z)F(cxaz,cybz),则曲面上一点

向

问在怎样的方向上此方向导 数有

(x,y,z)

处的法向量为

导

（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？

数

n



(f

与

解

由方向导数的计算公式知

x

,f

y

,f

z

)(cF

1



,cF

2



,aF

1



bF

2



),

梯







f









n



(a,b,c)acF

1



bcF

2



caF

1



cbF

度

2



0,

l

f

2

x

(1,1)cos



f

y

(1,1)sin



cos



sin



(1,1)

即任一点的法向量垂直于常向量(a,b,c).

(2xy)

(1,1)

cos



(2yx)

(1,1)

sin



,

cossin

2sin(



故

4

),

例3 求函数

ux

2

2y

2

3z

2

3x2y

在点

（1）当





(1,1,2)

处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？

4

时，

方向导数达到最大值

2

;

解由梯度计算公式得

（2）当



5

4

时，

方向导数达到最小值

2

;

gradu(x,y,z)

u



i

u



j

u

k



（3）当



37

4

和



4

时，

方向导数等于0.

(2x3)



x

i(4y2)



y

j6zk



z

,

注求方向导数时,不仅要求出给定的方向向量,还要将

故

gradu(1,1,2)5



i2



j12k



.

此向量单位化,然后才可使用方向导数公式.

在

P

3

0

(

2

,

1

2

,0)

处梯度为0.

H.

习题：

例5 求二元函数

zf(x,y)x

2

y(4xy)

二、求函数

z1(

x

22

a

2



y

b

2

)

在点

(

a

2

,

b

2

)

处沿曲线

多

元

在直线

xy6

，

x

轴和

y

轴所围成的闭区域

D

x

2

y

2

上的最大值与最小值.

y

a

2



b

2

1

在这点的内法线方向的方向导数.

函

三、设

u,v

都是

x,y,z

的函数,

u,v

的各偏导数都存在且

数

解

先求函数在

D

内的驻点，

xy6

连续,证明:

grad(uv)vgraduugradv

的

极

解方程组

D

o

x

x

2

y

2

z

2

值

四、求

u

a

2



b

2



c

2

在点

M(x

0

,y

0

,z

0

)

处沿点的向

及



径

r



f

x



(x,y)2xy(4xy)x

2

y0

0

的方向导数,问

a,b,c

具有什么关系时此方向导

其

数等于梯度的模?

求



f

y



(x,y)x

2

(4xy)x

2

y0

法

得区域

D

内唯一驻点

(2,1)

,

且

f(2,1)4

,

再求

f(x,y)

在

D

边界上的最值，

例7 将正数12分成三个正数

x,y,z

之和 使得

在边界

x0

和

y0

上

f(x,y)0

,

ux

3

y

2

z

为最大.

在边界

xy6

上，即

y6x

y

解

令

F(x,y,z)x

3

y

2

z



(xyz12)

,

于是

f(x,y)x

2

(6x)(2)

,

xy6





4x(x



F

x



3x

2

y

2

z



0

由

f6)2x

2

x

0

,

o

D

x

则





F

y



2x

3

yz



0

得

x

1

0,x

2

4

y6x|

x4

2,



F

z



x

3

y

2





0

f(4,2)64,





xyz12

比较后可知

f(2,1)4

为最大值,

f(4,2)64

为最小值.

J.

解得唯一驻点

(6,4,2)

，

过

P(x

0

,y

0

,z

0

)

的切平面方程为

故最大值为

u

3

max

64

2

26912.

x

0

y

0

例8 在第一卦限内作椭球面

x

2

y

2

z

2

a

2

(xx

0

)

b

2

(yy

0

)

z

0

c

2

(zz

0

)0

,

a

2



b

2



c

2

1

的

切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体

化简为

xx

0

yy

0

zz

0

a

2



b

2



c

2

1

,

体积最小，求切点坐标.

该切平面在三个轴上的截距各为

解

设

P(x

0

,y

0

,z

0

)

为椭球面上一点,

a

2

b

2

x

2

y

2

x

F(x,y,z)

z

2

令

x

，

y

，

z

c

2

2



2

0

y

0

z

,

0

2x

ab



c

2

1

,

则

F



|

0

F



|

2y

0

所围四面体的体积

V

1a

2

b

2

c

2

xP



a

2

，

yP

b

2

，

F

z



|

P



2z

0

c

2

6

xyz

6x

,

0

y

0

z

0

过

P(x

0

,y

0

,z

0

)

的切平面方程为

222

x

在条件

x

0

a



y

0

z

0

2

b

2



c

2

1

下求V的最小值,

0

a

2

(xx

y

0

0

)

b

2

(yy

0

)

z

0

c

2

(zz

0

)0

,

将求四面体体积的最

xx

0

yy

0

z

令

ulnx

0

lny

0

lnz

0

,

值转化为求此函数的

化简为

a

2



b

2



z

0

c

2

1

,

最值可简化计算

该切平面在三个轴上的截距各为

G(x

0

,y

0

,z

0

)

22

a

2

lnxlnz

xy

2

00

z

0

0

lny

00





(

2



2



2

1)

,

x

x

，

y

b

2

，

c

2

abc

0

y

z

0

z

,

0

1a

2

b

2

c

2



G



x

0

0,G



y

0

0G



z

0

0

所围四面体的体积

V

由



,

6

xyz

6x

,



x

222

,

0

y

0

z

0



0

y

0

y

0



a

2



b

2



c

2

10

K.