2024年4月3日发(作者：艺考数学试卷2021)

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ试题

参考公式：

锥体的体积公式: V

锥体

=

1

Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.

．．．．．．．．．

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a

2

+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.

[解析] 考查集合的运算推理。3

B, a+2=3, a=1.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.

[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.

[解析]考查古典概型知识。2

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了

根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指

标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所

则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于

20mm。

[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、设函数f(x)=x(e

x

+ae

-x

)(x

R)是偶函数，则实数a=_______▲_________

[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e

x

+ae

-x

为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

示，

100

x

2

y

2

1

上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线

412

是___▲_______

[解析]考查双曲线的定义。

MF4

e2

，

d

为点M到右准线

x1

的距离，

d

=2，MF=4。

d2

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。

122

2

2

4

3133,

输出

S122

2

2

5

63

。

b

- 1 -

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

8、函数y=x

2

(x>0)的图像在点(a

k

,a

k

2

)处的切线与x轴交点的横坐标为a

k+1

,k为正整数，a

1

=16，则a

1

+a

3

+a

5

=____

▲_____

[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

2

在点(a

k

,a

k

2

)处的切线方程为：

ya

k

2a

k

(xa

k

),

当

y0

时，解得

x

a

k

，

2

所以

a

k1

a

k

,a

1

a

3

a

5

164121

。

2

22

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆

xy4

上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c

的取值范围是______▲_____

[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，

|c|

。

1

，

c

的取值范围是（-13，13）

13

10、定义在区间

0,

上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP

1

⊥x轴于点P

1

，直

2

线PP

1

与y=sinx的图像交于点P

2

,则线段P

1

P

2

的长为_______▲_____。

[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P

1

P

2

的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=

22

。线段P

1

P

2

的长为

33

2

2

11、已知函数

f(x)

x1,x0

,则满足不等式

f(1x)f(2x)

的x的范围是__▲___。

x0

1,

2

1x2x

[解析] 考查分段函数的单调性。

x(1,21)

2

1x0

x

2

x

3

12、设实数x,y满足3≤

xy

≤8，4≤≤9，则

4

的最大值是 ▲ 。

yy

2

[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

x

2

2

x

3

x

2

2

1

111

x

3

()[16,81]

，

2

[,]

，

4

()

2

[2,27]

，

4

的最大值是27。

yyyxy

xy83

y

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a

、

b

、

c，

batanCtanC

6cosC

，则

=____▲_____。

abtanAtanB

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：

cosC

C2

11cosC1

2

C



，

tan

，

tan

，

22

321cosC2

b

- 2 -

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

tanAtanB

1

tan

C

2

2

，

tanCtanC

= 4。

tanAtanB

a

2

b

2

c

2

3c

2

ba

2222

22

ab,ab

（方法二）

6cosC6abcosCab

，

6ab

2ab2

ab

tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sin

2

C



由正弦定理，得：

tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

1c

2

c

2

c

2

4

上式=

cosCab

1

(a

2

b

2

)

13c

2

6

62

2

(梯形的周长）

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

S

,

梯形的面积

则S的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

22

(3x)4(3x)

设剪成的小正三角形的边长为

x

，则：

S(0x1)

2

133

1x

(x1)(1x)

22

（方法一）利用导数求函数最小值。

4(3x)

2

4(2x6)(1x

2

)(3x)

2

(2x)

S(x)

，

S

(x)

222

1x(1x)

33

4(2x6)(1x

2

)(3x)

2

(2x)42(3x1)(x3)



22

(1x)(1x

2

)

2

33

1

S

(x)0,0x1,x

，

3

11

当

x(0,]

时，

S

(x)0,

递减；当

x[,1)

时，

S

(x)0,

递增；

33

故当

x

323

1

时，S的最小值是。

3

3

（方法二）利用函数的方法求最小值。

4t

2

41

111

2



令

3xt,t(2,3),(,)

，则：

S

86

t32

3

t6t8

3

1

t

2

t

故当

1

t

323

31

,x

时，S的最小值是。

3

83

b

- 3 -

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二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算

步骤.

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(

ABtOC

)·

OC

=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

满分14分。

（1）（方法一）由题设知

AB(3,5),AC(1,1)

，则

ABAC(2,6),ABAC(4,4).

所以

|ABAC|210,|ABAC|42.

故所求的两条对角线的长分别为

42

、

210

。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=

42

、AD=

210

；

（2）由题设知：

OC

=(－2,－1)，

ABtOC(32t,5t)

。

由(

ABtOC

)·

OC

=0，得：

(32t,5t)(2,1)0

，

从而

5t11,

所以

t

11

。

5

2

11

或者：

AB·OC tOC

，

AB(3,5),

t

ABOC



5

|OC|

2

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB

BCD=90

0

。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论

b

- 4 -

∥DC，∠

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证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90

0

，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC

平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC

平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=

2

，故点A到平面PBC的距离等于

2

。

2

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90

0

，所以∠ABC=90

0

。

从而AB=2，BC=1，得

ABC

的面积

S

ABC

1

。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积

V

因为PD⊥平面ABCD，DC

平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以

PC

11

S

ABC

PD

。

33

PD

2

DC

2

2

。

2

。

2

由PC⊥BC，BC=1，得

PBC

的面积

S

PBC

由

V

APBC

V

PABC

，

1

S

3

1

，得

h2

，

hV

PBC

3

故点A到平面PBC的距离等于

2

。

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠

ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提

高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

b

- 5 -

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E

C

β

D

B

α

d

A

分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大

解：（1）因为：

tan

则：

BA

AEAEBC

，

AEH

,tan



BADADB

H4

H

，

DA

，

DB

tan

tan

tan

H4H



带入tanα=1.24,tanβ=1.20

tan

tan

tan

因为

DADBBA

所以

H4H

，所以H=124m



1.201.201.24

1254

（2）由题意知：

tan

，

tan

dDB

BCDBDB4DB4d121

因为所以则

DB

tan

AEDADBBA125DBd121d

125121

tan

tan

4

dd

=

tan(

)

125121

125121

1tan

tan

d

1

d

dd

得

2

4

125121

=（

d0

）当且仅当

d

时，即

d555

m时

tan(

)

最大，因为

d

125121

555

2d

d

0

2

，所以

也取最大值

所以，

d555

m时，

取最大值

小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式

的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。

总结：这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。虽说第二题与别章有

结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题。所以，

在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合

时的灵活运用。

b

- 6 -

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18、（本小题满分16分）

x

2

y

2

1

的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（

t,m

）在平面直角坐标系

xoy

中，如图，已知椭圆

95

的直线TA、TB与椭圆分别交于点M

(x

1

,y

1

)

、

N(x

2

,y

2

)

，

m>0,

y

1

0,y

2

0

。

（1）设动点P满足

PF

2

PB

2

4

,求点P的轨迹；

（2）设

x

1

2,x

2

其中

1

，求点T的坐标；

3

标与m无关）。 （3）设

t9

,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问

题的能力。满分16分。

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由

PF

2

PB

2

4

，得

(x2)y[(x3)y]4,

化简得

x

2222

9

。

2

故所求点P的轨迹为直线

x

（2）将

x

1

2,x

2

9

。

2

15120

分别代入椭圆方程，以及

y

1

0,y

2

0

得：M（2，）、N（，

）

3

339

1

y0x3

直线MTA方程为：，即

yx1

，

5

3

0

23

3

55

y0x3

直线NTB 方程为：，即

yx

。

201

62

03

93

x7

联立方程组，解得：

10

，

y

3

所以点T的坐标为

(7,

10

)

。

3

（3）点T的坐标为

(9,m)

y0x3m

(x3)

， ，即

y

m09312

y0x3m

直线NTB 方程为：，即

y(x3)

。

m0936

直线MTA方程为：

b

- 7 -

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x

2

y

2

1

联立方程组，同时考虑到

x

1

3,x

2

3

， 分别与椭圆

95

3(80m

2

)40m3(m

2

20)20m

,)N(,)

。 解得：

M(

、

80m

2

80m

2

20m

2

20m

2

20m3(m

2

20)

yx

22

20m20m

xx

（方法一）当

1

2

时，直线MN方程为：

22

40m20m

3(80m)3(m20)

2

80m20m

2

80m

2

20m

2

令

y0

，解得：

x1

。此时必过点D（1，0）；

当

x

1

x

2

时，直线MN方程为：

x1

，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

2403m

2

3m

2

60

（方法二）若

x

1

x

2

，则由及

m0

，得

m210

，

80m

2

20m

2

此时直线MN的方程为

x1

，过点D（1，0）。

若

x

1

x

2

，则

m210

，直线MD的斜率

k

MD

40m

2

10m

，

80m

2

2

2403m

40m

1

80m

2

直线ND的斜率

k

ND

20m

2

10m

20m

，得

k

MD

k

ND

，所以直线MN过D点。



3m

2

60

40m

2

1

20m

2

因此，直线MN必过

x

轴上的点（1，0）。

19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列

a

n

的前n项和为

S

n

，已知

2a

2

a

1

a

3

，数列

（1）求数列

a

n

的通项公式（用

n,d

表示）；

（2）设

c

为实数，对满足

mn3k且mn

的任意正整数

m,n,k

，不等式

S

m

S

n

cS

k

都成立。求证：

c

的

最大值为

S

是公差为

d

的等差数列。

n

9

。

2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满

分16分。

（1）由题意知：

d0

，

S

n

S

1

(n1)da

1

(n1)d

b

- 8 -

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2a

2

a

1

a

3

3a

2

S

3

3(S

2

S

1

)S

3

，

3[(a

1

d)

2

a

1

]

2

(a

1

2d)

2

,

化简，得：

a

1

2a

1

dd

2

0,a

1

d,a

1

d

2

S

n

d(n1)dnd,S

n

n

2

d

2

，

22222

当

n2

时，

a

n

S

n

S

n1

nd(n1)d(2n1)d

，适合

n1

情形。

2

故所求

a

n

(2n1)d

（2）（方法一）

m

2

n

2

S

m

S

n

cS

k

mdndckdmnck

，

c

恒成立。

2

k

222222222

m

2

n

2

9

， 又

mn3k且mn

，

2(mn)(mn)9k

k

2

2

2222

故

c

9

9

，即

c

的最大值为。

2

2

22

（方法二）由

a

1

d

及

S

n

a

1

(n1)d

，得

d0

，

S

n

nd

。

于是，对满足题设的

m,n,k

，

mn

，有

(mn)

2

2

9

22

9

S

m

S

n

(mn)dddkS

k

。

222

222

所以

c

的最大值

c

max

9

。

2

933

。设

k

为偶数，令

mk1,nk1

，则

m,n,k

符合条件，且

222

331

S

m

S

n

(m

2

n

2

)d

2

d

2

[(k1)

2

(k1)

2

]d

2

(9k

2

4)

。

222

另一方面，任取实数

a

于是，只要

9k42ak

，即当

k

22

2

1

22

时，

S

m

S

n

d2akaS

k

。

2

2a9

所以满足条件的

c

因此

c

的最大值为

99

，从而

c

max

。

22

9

。

2

20、（本小题满分16分）

设

f(x)

是定义在区间

(1,)

上的函数，其导函数为

f\'(x)

。如果存在实数

a

和函数

h(x)

，其中

h(x)

对任

意的

x(1,)

都有

h(x)

>0，使得

f\'(x)h(x)(xax1)

，则称函数

f(x)

具有性质

P(a)

。

b

- 9 -

2

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

(1)设函数

f(x)

lnx

b2

(x1)

，其中

b

为实数。

x1

(i)求证：函数

f(x)

具有性质

P(b)

； (ii)求函数

f(x)

的单调区间。

(2)已知函数

g(x)

具有性质

P(2)

。给定

x

1

,x

2

(1,),x

1

x

2

,

设

m

为实数，

mx

1

(1m)x

2

，

(1m)x

1

mx

2

，且

1,

1

，

若|

g(

)g(

)

|<|

g(x

1

)g(x

2

)

|，求

m

的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想

方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

（1）(i)

f\'(x)

1b21

2

(xbx1)

x(x1)

2

x(x1)

2

1

0

恒成立，

x(x1)

2

∵

x1

时，

h(x)

∴函数

f(x)

具有性质

P(b)

；

b

2

b

2

(ii)（方法一）设

(x)xbx1(x)1

，

(x)

与

f\'(x)

的符号相同。

24

b

2

当

10,2b2

时，

(x)

0

，

f\'(x)

0

，故此时

f(x)

在区间

(1,)

上递增；

4

2

当

b2

时，对于

x1

，有

f\'(x)

0

，所以此时

f(x)

在区间

(1,)

上递增；

当

b2

时，

(x)

图像开口向上，对称轴

x

b

1

，而

(0)1

，

2

对于

x1

，总有

(x)

0

，

f\'(x)

0

，故此时

f(x)

在区间

(1,)

上递增；

（方法二）当

b2

时，对于

x1

，

(x)x

2

bx1x

2

2x1(x1)

2

0

所以

f\'(x)

0

，故此时

f(x)

在区间

(1,)

上递增；

bb

2

4bb

2

4

b

,

当

b2

时，

(x)

图像开口向上，对称轴

x1

，方程

(x)0

的两根为：，而

22

2

bb

2

4bb

2

42

1,(0,1)

2

22

bb4

bb

2

4bb

2

4

)

时，

(x)

0

，

f\'(x)

0

，故此时

f(x)

在区间

(1,)

上递减；同理得： 当

x(1,

22

b

- 10 -

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

bb

2

4

,)

上递增。

f(x)

在区间

[

2

综上所述，当

b2

时，

f(x)

在区间

(1,)

上递增；

2

当

b2

时，

f(x)

在

(1,

bb4

)

上递减；

2

2

bb4

f(x)

在

[,)

上递增。

2

(2)（方法一）由题意，得：

g\'(x)h(x)(x2x1)h(x)(x1)

又

h(x)

对任意的

x(1,)

都有

h(x)

>0，

所以对任意的

x(1,)

都有

g

(x)0

，

g(x)

在

(1,)

上递增。

又

x

1

x

2

,

(2m1)(x

1

x

2

)

。

当

m

22

1

,m1

时，

，且

x

1

(m1)x

1

(1m)x

2

,

x

2

(1m)x

1

(m1)x

2

，

2

综合以上讨论，得：所求

m

的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，

g(x)

的导函数

g\'(x)h(x)(x2x1)

，其中函数

h(x)0

对于任意的

x(1,)

都成

立。所以，当

x1

时，

g\'(x)h(x)(x1)0

，从而

g(x)

在区间

(1,)

上单调递增。

①当

m(0,1)

时，有

mx

1

(1m)x

2

mx

1

(1m)x

1

x

1

，

2

2

mx

1

(1m)x

2

mx

2

(1m)x

2

x

2

，得

(x

1

,x

2

)

，同理可得

(x

1

,x

2

)

，所以由

g(x)

的单调性知

g(

)

、

g(

)

(g(x

1

),g(x

2

))

，

b

- 11 -

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

从而有|

g(

)g(

)

|<|

g(x

1

)g(x

2

)

|，符合题设。

②当

m0

时，

mx

1

(1m)x

2

mx

2

(1m)x

2

x

2

，

(1m)x

1

mx

2

(1m)x

1

mx

1

x

1

，于是由

1,

1

及

g(x)

的单调性知

g(

)g(x

1

)g(x

2

)g(

)

，所以|

g(

)g(

)

|≥|

g(x

1

)g(x

2

)

|，与题设不符。

③当

m1

时，同理可得

x

1

,

x

2

，进而得|

g(

)g(

)

|≥|

g(x

1

)g(x

2

)

|，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的

m

的取值范围是（0，1）。

数学Ⅱ（附加题）

21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A． 选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交

于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30

0

，∠DOC=60

0

，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90

0

，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90

0

。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换

b

- 12 -

A

O

B

C

D

AB延长线

能力。

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=

k0



01

,N=，点



01



10

A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A

1

、B

1

、C

1

，△A

1

B

1

C

1

的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

解：由题设得

MN

k0



01



0k

01

10

10

由

0k



022



00k

01

，可知A

10

0

022

1

（0，0）、B

1

（0，-2）、C

1

（

k

，-2）。

计算得△ABC面积的面积是1，△A

1

B

1

C

1

的面积是

|k|

，则由题设知：

|k|212

。

所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解：

2

2

cos

，圆ρ=2cosθ的普通方程为：

x

2

y

2

2x,(x1)

2

y

2

1

，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：

3x4ya0

，

又圆与直线相切，所以

|3140a|

3

2

4

2

1,

解得：

a2

，或

a8

。

D． 选修4-5：不等式选讲

（本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：

a

3

b

3

ab(a

2

b

2

)

。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。

（方法一）证明：

a

3

b

3

ab(a

2

b

2

)a

2

a(ab)b

2

b(ba)

(ab)[(a)

5

(b)

5

]

(ab)

2

[(a)

4

(a)

3

(b)(a)

2

(b)

2

(a)(b)

3

(b)

4

]

b

- 13 -

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

2432234

因为实数a、b≥0，

(ab)0,[(a)(a)(b)(a)(b)(a)(b)(b)]0

33

所以上式≥0。即有

abab(a

2

b

2

)

。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

a

3

b

3

ab(a

2

b

2

)a

2

a(ab)b

2

b(ba)(ab)[(a)

5

(b)

5

]

当

ab

时，

a

当

ab

时，

a

33

所以

ab

b

，从而

(a)

5

(b)

5

，得

(ab)[(a)

5

(b)

5

]0

；

b

，从而

(a)

5

(b)

5

，得

(ab)[(a)

5

(b)

5

]0

；

ab(a

2

b

2

)

。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

．．．．．．．

明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品

率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若

是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。

解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。

由此得X的分布列为：

X

P

10

0.72

5

0.18

2

0.08

-3

0.02

（2）设生产的4件甲产品中一等品有

n

件，则二等品有

4n

件。

由题设知

4n(4n)10

，解得

n

又

nN

，得

n3

，或

n4

。

3

0.8

3

0.20.8

4

0.8192

所求概率为

PC

4

14

，

5

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

b

- 14 -

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864

23、（本小题满分10分）

已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。

满分10分。

（1）证明：设三边长分别为

a,b,c

，

cosA

b

2

c

2

a

2

（方法一）

2bc

，∵

a,b,c

是有理数，

b

2

c

2

a

2

是有理数，分母

2bc

为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

b

2

c

2

a

2

∴

2bc

必为有理数，∴cosA是有理数。

（2）①当

n1

时，显然cosA是有理数；

当

n2

时，∵

cos2A2cos

2

A1

，因为cosA是有理数， ∴

cos2A

也是有理数；

②假设当

nk(k2)

时，结论成立，即coskA、

cos(k1)A

均是有理数。

当

nk1

时，

cos(k1)AcoskAcosAsinkAsinA

，

cos(k1)AcoskAcosA

1

2

[cos(kAA)cos(kAA)]

，

cos(k1)AcoskAcosA

11

2

cos(k1)A

2

cos(k1)A

，

解得：

cos(k1)A2coskAcosAcos(k1)A

∵cosA，

coskA

，

cos(k1)A

均是有理数，∴

2coskAcosAcos(k1)A

是有理数，

∴

cos(k1)A

是有理数。

即当

nk1

时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

cosA

AB

2

AC

2

BC

2

2ABAC

是有理数。

（2）用数学归纳法证明cosnA和

sinAsinnA

都是有理数。

①当

n1

时，由（1）知

cosA

是有理数，从而有

sinAsinA1cos

2

A

也是有理数。

②假设当

nk(k1)

时，

coskA

和

sinAsinkA

都是有理数。

当

nk1

时，由

cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA

，

sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA

，

及①和归纳假设，知

cos(k1)A

和

sinAsin(k1)A

都是有理数。

即当

nk1

时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

面对强大的对手，明知不敌，也要毅然亮剑，即使倒下，也要化成一座山

b

- 15 -


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