新课标高中数学同步测试题含答案

2024年3月20日发(作者：初一上半数学试卷免费)

新课标高二数学期末同步测试题

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分

钟。

第Ⅰ卷

（选择题共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的

括号内（每小题5分，共50分）．

1．设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是

．．．．

11

332

A．

(ab)()

≥4 B．

ab

≥

2ab

ab

C．

ab2

≥

2a2b

22

（ ）

D．

ab

≥

ab

（ ）

2

2．△ABC中，BC=1，

A2B

，则AC的长度的取值范围为

A．(

1

,1

)

2

B．（

3

,1）

2

C．[

1

,1

]

2

D．[

3

,1]

（ ） 3．下列四个结论中正确的个数有

①y = sin|x|的图象关于原点对称;

②y = sin(|x|+2)的图象是把y = sin|x|的图象向左平移2个单位而得;

③y = sin(x+2)的图象是把y = sinx的图象向左平移2个单位而得;

④y = sin(|x|+2)的图象是由y = sin(x+2)( x≥0)的图象及y = －sin(x－2) ( x<0)的图象

组成的.

B．2个 C．3个 D．4个

D．－

（ ）

A．1个

4．已知sinθ－cosθ=

A．

7

16

1

, 则sin

3

θ－ cos

3

θ的值为

2

1111

B．－ C．

1616

7

16

5．平面直角坐标系中, O为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(－1, 3), 若点C满足

OC

=



OA



OB

, 其中α、β∈R且α+β=1, 则点C的轨迹方程为

A．3x+2y－11=0 B．(x－1)

2

+(y－2)

2

=5

（ ）

C．2x－y=0 D．x+2y－5=0

6．已知钝角三角形的三边分别是a,a+1,a+2，其最大内角不超过120°，则a的取值范围是

C．

（ ）

A ．

a

3

2

B．

0a3

3

a3

2

D．

3

a3

2

7．已知f(x)=bx+1为x的一次函数, b为不等于1的常数, 且g(n)=



设a

n

= g(n)－ g(n－1) (n∈N), 则数列｛a

n

｝是

A．等差数列

3

※

(n0)



1

,



f[g(n1)](n1)

（ ）

D．递减数列 B．等比数列 C．递增数列

8．定义

n



nN



为完全立方数，删去正整数数列1,2,3……中的所有完全立方数，得到一

个新数列，这个数列的第2005项是

A．2017 B．2018

C．2019

D．2020

（ ）

9．已知θ为第二象限角，且

sin

A．（－1，0）



2

cos



2

，那么

sin



2

cos



2

的取值范围是

D．

(2,1)

（ ）

B．

(1,2)

C．（－1，1）

10．若对任意实数a，函数y＝5sin(

2k15



π，x－)(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值出现不少于4

34

6

D．2或3

（ ） 次且不多于8次，则k的值是

A．2 B．4 C．3或4

第Ⅱ卷

（非选择题，共100分）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．

13

的值为 ．





sin10cos10

a

1

a

3

a

9

的值是 ．

a

2

a

4

a

10

12．已知等差数列｛a

n

｝的公差d≠0, 且a

1

, a

3

, a

9

成等比数列, 则

13．已知向量

a(cos



,sin



),

向量

b(3,1)

, 则

2ab

的最大值是 ．

14．已知α、β是实数, 给出四个论断:

①|α+β|=|α|+|β|; ②|α－β|≤|α+β|; ③|α|>2

2

,|β|>2

2

; ④|α+β|>5.

以其中的两个论断作为条件, 其余论断作为结论, 写出正确的一个 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。

15．（12分）在△ABC中，sinA+cosA=

2

，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.

2

2

16．（12分）已知数列｛a

n

｝的前n项和S

n

满足2

S

n

=2aS

n

－ a

n

(n≥2)且a

1

=2, 求a

n

和S

n

.

17．（12分）已知向量

a(cos



,sin



),b(cos



,sin



),|ab|

（1）求

cos(







)

的值；

（2）若

0







25

.

5



2

,



2





0,且sin





5

,求sin



的值．

13

18．（12分）已知a、b∈R, a

2

+b

2

≤4, 求证: | 3a

2

－8ab－3b

2

|≤20.

19．（14分）△OBC的顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P

1

为线段BC的中点,P

2

为线段CO的中

点,P

3

为线段OP

1

的中点,对于每一个正整数n, P

n+3

为线段P

n

P

n+1

的中点,令P

n

的坐标为(x

n,

y

n

),

1

y

n

y

n1

y

n2

.

2

（1）求

a

1

,a

2

,a

3

及

a

n

;

a

n



（2）证明

y

n4

1

y

n

,nN



;

4

（3）若记

b

n

y

4n4

y

4n

,nN



,

证明



b

n



是等比数列．

20．（14分）已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在

[0,)

上是增函数，是否存在这样的实数m，

使

f(cos2



3)f(4m2mcos



)f(0)

对所有的



[0,

实数m的值或范围；若不存在，说明理由．



2

]

均成立？若存在，求出适合条件的

高二新课标数学期末参考答案

一、BABCD DBADD

二、11．4；12．

13

；13．4；14．

①③



②④ 或②③



①④

16

三、15．

解：∵sinA+cosA=

2

cos(A－45°)=

2

，

2

1

. 又0°

2

13

∴tanA=tan(45°+60°)==－2－

3

.

13

∴cos(A－45°)=

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°×cos60°+cos45°×sin60°=

26

.

4

∴S

ABC

=

113

AC·ABsinA=·2·3·

26

=(

2

+

6

).

224

4

16．

解：a

n

=S

n

－ S

n+1

(n≥2) 代入题设等式得2 S

n

·S

n

－

1

= S

n

－

1

－S

n

, 即

11

－=2,

S

n

S

n1

∴数列｛

∴

1

1

｝是以为首相, 2为公差的等差数列.

2

S

n

34n3

1

1

=+( n－1)·2=2 n－=,

22

S

n

2

2238

(n≥2)

.a

n



4n34n34(n1)3(4n3)(4n7)

(n1)

(n2)

∴S

n

=



2

∴a

n

=



8







(4n3)(4n7)



17．解：（１）

a(cos



,sin



),b(cos



,sin



),



ab(cos



cos



,sin



sin



).





|ab|

2525

,(cos



cos



)

2

(sin



sin



)

2

,

55

43

即22cos(







).cos(







).

55



（2）

0







,







0,0











.

22

cos(







)

345

,sin(







).sin



,

5513

cos





12

13

sin



sin[(







)



]sin(







)cos



cos(







)sin





22

4123533

().

51351365

18．解：

∵ a、b∈R, a+b≤4, ∴设a=rcosθ, b=rsinθ, 其中0≤r≤2.

∴| 3a

2

－8ab－3b

2

|=r

2

|3cos2θ－4sin2θ|=5r

2

|sin(2θ－arctan

3

)|≤5r

2

≤20.

4

19．

解：(Ⅰ)因为

y

1

y

2

y

4

1,y

3



13

,y

5



，所以

a

1

a

2

a

3

2

，

24

又由题意可知

y

n3



∴

a

n1



=

y

n

y

n1

,

2

1

yy

1

y

n1

y

n2

y

n3

=

y

n1

y

n2



nn1

2

22

1

y

n

y

n1

y

n2

a

n

,

2

∴



a

n



为常数列. ∴

a

n

a

1

2,nN



.

1

(Ⅱ)将等式

y

n

y

n1

y

n2

2

两边除以2，得

1

y

n



y

n1

y

n2

1,

2

42

y

yy

又∵

y

n4



n1n2

, ∴

y

n4

1

n

.

4

2

1

（Ⅲ）∵

b

n1

y

4n3

y

4n4

(1

y

4n4

)(1

y

4n

)

=



1

(y

4n4

y

4n

)

=

b

n

,

4

4

44

1

又∵

b

1

y

3

y

4



1

0,

∴



b

n



是公比为



的等比数列.

4

4

∴令x=0，得f(0)=－f(0),得f(0)=0. ∵f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0),

∴f(cos2θ－3)>－f(4m－2m·cosθ),即f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－Δm).

∵f(x)在

[0,)

上是增函数，且f(x)为奇函数，∴f(x)在（－∞,+∞）上也为增函数。

∴cos2θ－3>2mcosθ－4m,即2cos

2

θ－4>2mcosθ－4m,

即cos

2

θ－mcosθ+2m－2>0,∵



[0,

20．

解：

∵f(x)为奇函数，∴f(－x)= －f(x)， 又∵定义域为R，



2

]

，∴cosθ∈[0,1] ，

令t=cosθ,t∈[0,1],则满足条件的m应该使不等式t

2

－mt+2m－2>0对任意的t∈[0,t]均成立。

m



01,



m



m



m

2

m



0,



1,

设g(t)=t－mt+2m－2=

2

(t)2m2,则



2

或



或



2

m

24



g()0,





g(0)0,





g(1)0,





2

2

2

解之得

422m2,或m2

. 故满足条件的m存在，取值范围是

(422,).