金融数学试卷及答案

2023年12月8日发(作者：桂林二调2023数学试卷)

一、填空（每空4分，共20分）

1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产

品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品

的价格_______________________________。（利用博弈论方法)

2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%，

则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法）

3．对冲就是卖出________________， 同时买进_______________。

4．Black-Scholes公式_________________________________________________。

5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里s050,X40,r0.05,0.30,T1.

因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司

的股票。（参考N(1.060)0.8554,N(1.100)0.8643）

得分

二、计算题

1．（15分）假设股票价格模型参数是：u1.7,d0.8,S0120.一个欧式看涨期权到期时间t3,执行价格X115,利率r0.06。请用连锁法则方法求出在t0时刻期权的价格。

2．（15分）假设股票价格模型参数是：u1.1,d0.9,S0100.p0.85一个美式看跌期权到期时间t3,执行价格X105,利率r0.05。请用连锁法则方法求出在t0时刻期权的价格。

3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，X50元，r0.06.求t0时刻看涨期权的价格。

109.4

87.5

70

70

136.7

87.5

56

56

44.8

35.84

4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值0.4,指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考 N(0.071922)0.4721,N(0.071922)0.5279,N(0.271922)0.3936，N(0.271922)0.6064）

5.（15分）根据已知条件S43,X40,0.1414,r0.05,T1年，求出期权的价格C（由

Black-Scholes公式），，和。3周后，若股票价格S44，则根据看涨期权的微分方程

dCdtdS1(dS)2求出期权的价格C新。（参考N(0.9358)0.825,N(0.9358)0.175

2N(0.7944)0.788,N(0.7944)0.212）

三、证明题(10分)

G1222GG设G(S,t)是下面方程的解：SrS0。该方程不是Black-Scholes方程，

t2SS2因为它没有最后一项，rG. 证明：V(S,t)ertG(S,t)满足Black-Scholes方程。

一、填空（每空4分，共20分）

1．3.5973元 2．0.96元 3．一分期权、股股票 4．VS0N(d1)XerTN(d2) 5．855

二、计算题（共70分）

1．（15分）

364.8

204

163.2

120

589.56

277.44

----------------------------------5分

130.56

96

76.8

61.44

股票价格的二叉树图

erdq0.29，Ver[qa(1q)b]（连锁法则） ------------------------------------7分

ud

238.2101.7

54.77

39.67

474.56

162.44

---------------------------------15分

15.56

17．8

4.25

0

期权价格的二叉树图

2．（15分） 121

110

99

100

133.1

108.9

----------------------------------5分

89.1

90

81

72.9

股票价格的二叉树图

erdq0.7564，Ver[qa(1q)b]（连锁法则） ------------------------------------7分

ud0

0.59

2.53

2.74

0

0

---------------------------------15分

10.9

10

19

27.1

期权价格的二叉树图

3.（10分）

u87.5561.25，

d0.8

7070erdq0.58，Ver[qa(1q)b]（连锁法则） ------------------------------------4分

ud62.2

42.1

20.5

23.0

86.7

37.5

---------------------------------10分

0

0

0

0

期权价格的二叉树图

4.（15分）

根据

F715,

T0.25，

0.4，

X740，

r0.07

有

FX0.9662,

T0.2 ------------------------2分

F2ln()(r)X2

d10.071922，d2d10.271922 -----------------------6分

得

N(d1)0.472,

1

N(d2)0.393

6 -------------------------10分

Ger(FN(d1)XN(d2))45.48美元 -------------------------15分

5.（15分）

根据已知条件得

d10.9358,

d20.7944。 -------------------------2分

依据Black-Scholes公式

C5.49。 ------------------------4分

N(d1)0.825,

1s2Ted1220.042,

12

rerTXN(d2)2S22.2819. ------------------------10分

3周后，若股票价格

S44，这里

dt3,

dS1,

52

CnewColddtdS(dS)26.21. -------------------------15分

三、证明题(10分)

把

G(s,t)ertV(s,t) 代入到已知方程得

reert12V(s,t)ertV122rt2VrtV

serset2s2srtV1222VV(srsrV)0

t2ss2V1222VVsrsrV0

2t2ss故

V满足Black-Scholes方程。