2024年4月12日发(作者：苏州开学高一数学试卷分析)
三角函数周期的几种求法
深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏
高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就
这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：
定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，
ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）
都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周
期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下
面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
2
x
3
）的周期 例1．求函数y=3sin（
3
解：∵
2
2
x
x
3
33
）=3sin（
3
y=f（x）=3sin（+2
）
2
2
x2
(x3
)
3
）=3sin[
33
] =3sin（
3
= f（x+3
）
这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3
，且必增加到x+3
时，函数值重复出现。
2
x
3
）的周期是T=3
。 ∴函数y=3sin（
3
例2：求f（x）=sin
6
x+cos
6
x的周期
解∵f（x+
2
）= sin
6
（x+
2
）+ cos
6
（x+
2
）
= cos
6
x +sin
6
x= f（x）
∴f（x）=sin
6
x+cos
6
x的周期为T=
2
sinxsin3x
例3：求f（x）=
cosxcos3x
的周期
sin(x
)sin3(x
)
解：∵f（x+
）=
cos(x
)cos(x
)
sinxsin3x
=
coxcos3x
sinxsin3x
=
cosxcos3x
= f（x）
sinxsin3x
∴求f（x）=
cosxcos3x
的周期：T=
2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（
x
）、y=Acos（
x
）、ｙ＝tg（
x
）形成（其
中A、
、
为常数，且A
0、
＞0、
R），则可知道它们的周期分别是：
、
、
。
2
2
例4：求函数y=1-sinx+
3
cosx的周期
3
1
解：∵y=1-2（
2
sinx-
2
cosx）
=1-2（cos
3
sinx-sin
3
cosx）
=1-2sin（x-
3
）
这里
=1 ∴周期T=2
3
1
例5：求：y=2（
2
sinx-
2
cos3x）-1
3
1
解：∵y=2（
2
sinx-
2
cos3x）-1
=2sin（3x-
6
）-1
2
这里
=3 ∴周期为T=
3
3
x
例6：求y=tg（1+
5
）的周期
3
3
5
解：这里
=
5
，∴周期为：T=
/
5
=
3
（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin
x、cos
x、tg
x的形式，
再确定它的周期。
例7：求f（x）=sinx·cosx的周期
1
解：∵f（x）=sinx·cosx=
2
sin2x
这里
=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=
例8：求f（x）=sin
2
x的周期
1cos2x
2
解：∵f（x）=sin
2
x=
而cos2x的周期为
，∴f（x）=sin
2
x的周期为T=
注：以上二题可以运用定义求出周期。
例9：求y=sin
6
x+ cos
6
x的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
∵y=sin
6
x+ cos
6
x
=（sin
2
x+ cos
2
x）（sin
4
x-sin
2
x·cos
2
x+ cos
4
x）
=( sin
2
x+ cos
2
x)
2
-3 sin
2
x·cos
2
x
=1-3 sin
2
x·cos
2
x
3
=1-
4
sin
2
2
x
53
=
8
+
8
cos4
x
而cos4
x的周期为T=
2
4
=
2
,
2
∴y= sin
6
x+ cos
6
x的周期为T=
例10：函数y=3sin
2
x-2
3
sinx·cosx+5cos
2
x的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
∵y=3sin2x-2
3
sinx·cosx+5cos
2
x
=3-2
3
sinx·cosx+2cos
2
x
=3-
3
sin2x+cos2x+1
3
1
=4+2(
2
cos2x-
2
sin2x
=4+2cos(2x+
3
)
2
3
22
2
∴y=3sinx-2sinx·cosx+5cosx的周期为T=
3．定理法：
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f
1
(x)+f
2
(x)，而f
1
(x)的周期为T
1
, f
2
(x)的
周期为T
2
，则f(x)的周期为T=P
2
T
1
=P
1
T
2
，其中P
1、
P
2
N，且（P
1
、P
2
）=1
事实上，由
T
1
P
1
T
2
P
2
（既约分数），得T= P
2
T
1
=P
1
T
2
∵f（x+ P
1
T
2
）=f
1
（x+ P
1
T
2
）+f
2
（x+ P
1
T
2
）
=f
1
（x+ P
2
T
1
）+ f
2
（x+ P
1
T
2
）
= f
1
（x）+ f
2
（x）
=f（x）
∴P
1
T
2
是f（x）的周期，同理P
2
T
1
也是函数f（x）的周期。
例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解：∵y=tg6x的周期为T
1
=
6
，tg8x的周期为T
2
=
8
T
1
P
1
4
由P
1
T
2
= P
2
T
1
，得
T
2
=
P
2
=
3
，取P
1
=4，P
2
=3
∴y=tg6x+ctg8x的周期为T= P
1
T
2
=
2
。
例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期
2
解：∵sin2x的周期为T
1
=
，sin3x的周期为T
2
=
3
而
T
1
T
2
3
=
2
，即是T=2T
1
=3T
2
，
∴y=sin2x+sin3x的周期为T=2T
1
=2
xx
例13：求函数y=cos
3
+sin
4
的周期
xx
解：∵cos
3
的周期为T
1
=6
，sin
4
的周期为T
2
=8
T
1
6
3
T8
4
，即是T=4T=3T 而
2
12
xx
∴y=cos
3
+sin
4
的周期为T=3T
2
=24
。
xx
类似，y=sin
5
-2sin
3
的周期为T=30
，y=tg3
+2ctg2
的周期为T=
。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问
题，运用有关知识，就可以解决。
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