高一数学课前预习的知识点

2024年4月12日发(作者：哈尔滨哈三中2020数学试卷)

高一数学课前预习的知识点

课前预习能提高听课的针对性。预习中发现的难点，就是听课的重点;对预

习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，新的知识有所了解，以

减少听课过程中的盲目性和被动性，有助于提高课堂效率。以下是小编给大家

整理的高一数学课前预习的知识点，希望大家能够喜欢!

向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB，以 OA、OB 为邻边作平行四边

形 OACB，则以O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和，这种计算法则叫做

向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量 a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，- (-a)=a，零向量的

相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)= (-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，

| λa|= | λ | |a|，当 λ>0 时， λa 的方向和 a 的方向相同，当 λ<0 时， λa 的方

向和 a 的方向相反，当 λ=0 时， λa=0。

设 λ 、 μ是实数，那么：

(1) ( λ μ)a= λ (μa) (2) ( λ μ)a= λaμa(3) λ (a±b)= λa± λb(4) (- λ)a=-

(λa)= λ (-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量 a、b，那么|a||b|cos θ 叫做 a 与b 的数量积或内积，记

作 a?b， θ是 a 与 b 的夹角， |a|cos θ (|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在

a 方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为 0。

a?b 的几何意义：数量积 a?b 等于a 的长度|a|与 b 在a 的方向上的投影

|b|cos θ 的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都

应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应

用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函

数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根

式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数 f(x)与其反函数 f-1(x)的定义域和值域间的关

系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采

用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方

法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式 a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些

函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把 y=f(x)变形为关于x 的一元二次方程，利用“△≥0”求

值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域

的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方

法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如

果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求

函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式

就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是 16，无最小值.再如函数的值域是(- ∞ ，-

2]∪ [2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如 x>0

时，函数的最小值为 2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上

常常表现为“工程造价最低” ，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实

问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

形，这些面围成的几何体叫做棱锥。

棱锥的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥

的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影

是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形

底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影

为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂

直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。