2024年4月2日发(作者：自贡2018中考数学试卷)

2012年美国数学邀请赛（AIMEⅡ）第二试试题

1.求方程

20m12n2012

的正整数解

m,n

的组数.

2.设

a

1

,a

2

,a

3



与

b

1

,b

2

,b

3

,

是拥有相同公比的两个等比数列，且

a

1

27,b

1

99,a

15

b

11

,

求

a

9

.

3.一个大学的数学科学学院有数学、统计学和计算机科学三个专业，每个专业有两个男教授和

两个女教授. 现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男女各三人，求

组成这个委员会所有可能的不同方法数.

4.设

A,B,C

三人骑单车的速度分别为

8.6m/s,6.2m/s,5m/s

.他们同时在一个长方形区域的东

北角开始骑车（长方形区域两边长分别为南北向与东西向，且东西向的边比南北向的边要

长）.

A

先向西沿着区域的边骑车；

B

先向南沿着区域的边骑车；

C

先沿着直线向区域南边上

一点

D

骑去.

A,B,C

同时第一次到达

D

点，且区域的长、宽、

D

点到区域东南角距离三者的比

为

p:q:r

，

p,q,r

为正整数，且

p,q

1

，求

pqr

的值.

5.在右图中，外边的正方形

S

边长为40，里面边长为15的正方形

S\'

的边与

S

的边都平行，且中心重合.从

S

的每一边中点向两个最接近的

S\'

的顶点连线，

得到一个星状的图像内切于

S

.裁出这个星状图形，以

S\'

为底面折成一个四棱

锥，求这个四棱锥的体积.

6.设复数

zabi,

b0,z5

，且满足点

(12i)z

3

到点

z

5

的距离最大，令

z

4

cdi

，求

cd

的值.

7.设

S

是在二进制中刚好有8个“1”的正整数从小到大排列而成的序列，

N

是

S

中的第1000

个数.求

N

被1000除的余数.

20i

z5i

2

w

8.设

z,w

是复数，满足

.求

zw

的最小可能值.

w

12i

410i

z

9.设

x,yR

且满足

sinxcosx1sin2xcos2xp

3,,

，求

pq

的值.

p,qN

且

(p,q)1

，

sinycosy2sin2ycos2yq

10.设

nN

,n1000

，求所有满足存在

xR

，使得

nx[x]

的

n

的个数.

11.令

f

1

(x)

23m

，当

n2

时，

f

n

(x)f

1

(f

n1

(x))

.已知

xR

满足

f

1001

(x)x3

，且

x

33x1n

（

m,n

为互质的正整数），求

mn

的值.

12.对于一个正整数

p

，定义正整数

n

为“

p

安全”：当且仅当

n

与任意

p

的整数倍的差的绝

对值大于2.例如，满足“

10

安全”的正整数集合为

3,4,5,6,7,13,14,15,16,17,23,

.求同时

满足“

7

安全”，“

11

安全”，“

13

安全”不超过10000的正整数个数.

13.正

ABC

的边长为

111

，

AD

1

E

1

,AD

1

E

2

,AD

2

E

3

,AD

2

E

4

是与

ABC

全等的不同的三角

形，

BD

1

BD

2

11

求

CE

k

的值.

k1

4

2

14.在一个9人的集合中，每个人刚好与其它两人握手.求不同的握手方案的安排数（当一个人

在一个安排中与另外一个人握手但在另一个安排中不握手，则称为两种不同的安排）.

15.

ABC

内接于圆

，且

AB5,BC7,AC3

，

A

的内角平分线交边

BC

于点

D

，交圆

于

m

另一点

E

.设以

DE

为直径的圆为

，两圆相交于

E,F

两点.若

AF

2

（

m,n

为互质的正整数），

n

求

mn

的值.


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