数学建模习题3

2024年4月4日发(作者：数学试卷大小约是多少)

数学建模（I）习题

习 题 3

1．一个包裹从100米高的气球上掉下，当时，气球的上升速度为2米/秒，请根据以下两种

情况计算包裹落到地面上约需多少时间：

（1）空气阻力不计

（2）空气阻力与包裹的速度成正比，阻力系数为0.05。

2．大气压强

p

可用对海拔高度

h

的变化率

dpdh

与

p

成正比来建模，且位于海平面的压强

为

1013

毫巴（大约每平方英尺

14.7

磅），位于海拔高度

20

公里处的压强为

90

毫巴。

(a)

解初始值问题:微分方程：

dpdhkp

（

k

是一个常数）

初始条件：

pp

0

（当

h0

）

得到通过

h

表示

p

的表达式。根据海拔高度—压强的给定数据确定

p

0

和

k

的值。

（

b

）在海拔高度

h50

公里处大气压强是多少?

（

c

）在海拔高度是多少公里处大气压强等于900毫巴？

3．在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正比。例如，



-醣蛋

白内酯变成葡萄糖酸，当时间

t

以小时为单位时，化学反应方程式是

dy

0.6y

dt

如果当

t0

时，有



-醣蛋白内酯100克，那么一小时后还剩下多少？

4．从惠蒂尔峡谷的油井中抽走了一定数量的石油，会使加利福尼亚的石油产量每年以10%

的比率减少。试问什么时候加利福尼亚的石油产量将降到当前值得五分之一？

5．一个放电的电容器，电压的改变率和终端电压成正比，并且时间

t

以秒为单位时，其满

足的方程是

dV1

V

dt40

解此方程，用

V

0

表示当

t0

时的

V

值。试问经过多长时间电压将降落到初始值得10%？

6．粗糖的加工过程中，有一个步骤称为转化，这一步骤将改变粗糖的分子结构。反应一旦

开始，粗糖量的改变速率和粗糖量成正比，如果1000公斤粗糖在10 小时后只剩下100公

斤，那么再过14小时还剩下多少？

7．在海洋表面下方

x

英尺处的光的强度

L(x)

满足微分方程

dL

kL

dx

潜水者根据经验知道，在加勒比海潜水到18 英尺深时光线强度大约降低到水面上的一半。

当光线强度降到水面光线强度的十分之一以下时，人们必须使用人工照明才能工作。试问大

约在多深处，没有人工照明仍可以工作？

8．假设在温度是20摄氏度的房间里，一杯90 摄氏度的饮料10 分钟之后冷却到60 摄氏

度。应用牛顿冷却定理回答以下问题：

（

a

）再经过多久后这杯饮料会冷却到35 摄氏度？

（

b

）如果这杯饮料不是放在房间里，而是放在温度是-5 摄氏度的冰箱里，则要多久时间

这杯饮料才能从90摄氏度冷却到35摄氏度？

9．一个煮熟的鸡蛋开始温度为98

C

，放入一盆18

C

的水里5分钟后温度降为38

C

，

假定水温一直未变，那么，再过几分钟，鸡蛋的温度可降低到20

C

？

10．一根金属杆从寒冷的室外拿到温度保持在

18C

的机房里。10 分钟后金属杆的温度上

升到

0C

，再过10 分钟后到

10C

。应用牛顿冷却定理估计这根杆的初始温度。

11．一幅油画据说是Vermeer(1632-1657)画的，它应该仅包含不超过原有96.2%的碳，然而

却包含了99.5%。试问此膺品大约是什么年代画的？

12．某人每天由饮食获取2500卡热量，其中1300卡用于新陈代谢，此外每公斤体重每天

需支付16卡热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂。已知以脂肪形式储存的热量利用率

为100%，每公斤脂肪含热量为10000卡，问此人的体重将如何随时间而变化？

13．为了鼓励采购100（单位）某货物的买主，商家销售部门用连续打折的办法促销，以购

货数量

x

（单位），决定所售货物的单价

p(x)

，（即单价

p(x)

是购货数量的函数）。假定折

扣降价速率为每单位降价0.01 美元，又假设购买100（单位）该货物的单价是











p(100)20.09

美元。

（

a

）通过解如下初值问题求

p(x)

：

微分方程：

dp1

p

dx100

初始条件：

p(100)20.09

（

b

）求10（单位）该货物的单价

p(10)

和90（单位）的单价

p(90)

。

（

c

）商家的收入是用

r(x)xp(x)

来计算的。如果销售部门问你：这样打折扣是否会出现

如下情况，售出100（单位）货物的收入比售出90（单位）货物的收入还要少，你会怎样回

答他们。

（d）试证明：当

x100

时商家的收入

r

达到最大值。

14．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化

中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还

需要多长时间？

15. 生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×

10

）

而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少

（2）何时将是世界人口增长最快的时候？

16. 某厂有一设备分成两部分（部件1和部件2），其中部件1保持恒温

T

1

，部件2保持恒

9

温

T

2

，两部件间的距离为S，由一根细金属杆相连（一头连部件1另一头连部件2）。金属

杆暴露在温度为

T

3

的空气中，求金属杆上的温度分布，（

T

3

T

2

T

1

）。（注：即求温度函

数

T(x)

，

0xS

，其中x为金属杆离部件1的距离）

17．设病人体内现有的癌细胞数量约为

10

个，医生推测其肿瘤的增倍时间约为20周，请

为该病人设计一套放疗方案，并说明你制定此方案的理由。

18. 1825年，德国数学家Gompertz也提出了一个有上限的种群增长模型

11

dNM

rln()N

（r和M为两个正常数）

dtN

dN

rdt

N(lnMlnN)

该方程等价于

试分析Gompertz模型所描述的种群的增长规律并与Malthus模型比较，（提示：Gompertz

的方程式是变量可分离的方程）。

19. 若用Gompertz模型来描述肿瘤的生长，请用模型计算出肿瘤的倍增时间。

20. 上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了以下数据：

表3.4

时间

体积

0 6 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

0.004 0.031 0.061 0.074 0.103 0.152 0.210 0.339 0.520 0.813 1.269 1.558

请用此实例来检验§3.4中的各个模型。

21. 理想单摆周期的近似公式为

T2



l

，现将一个摆长l为1米的单摆从

g9.8

每秒

g

每秒米的A处移到B处，发现周期T增加了0.001秒，求B处的重力加速度。

22． 大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你

会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取

值的敏感性。

23．一名跳伞员从高空跳下，其下落速度满足：

此跳伞员落地时的极限速度。

24．某公司的一间容积为90

m

的会议室里正在开会。开始时会议室里没有一氧化碳（CO），

由于有人抽烟，会议室里每分钟将增加0.006

m

含4%一氧化碳的烟雾。与此同时，会议室

的通风设备每分钟也抽换0.006

m

的空气，求约经过多长时间，会议室里的一氧化碳含量

将达到0.01%。

25．某猎场生活着一种供狩猎用的动物。据估计，若动物数量x少于a时该动物有可能绝灭，

若动物数量超过b时，该动物会因为环境无法供养它们而减少。

（1）你觉得可用怎样的微分方程了描述该种群的增长。

3

3

3

dv

gkv

2

。经查资料，

k0.05

，求

dt

（2）有人建立了如下的微分方程：

dx

rx(bx)(xa)

（比例系数r为常数）

dt

讨论此方程解的性质：如果初始时动物数量

x

0

a

，结果会怎样，

x

0

a或x

0

a

结果又

会怎样；方程的平衡点有几个，它们的稳定性如何？