九章算术中通分的描述

2024年4月14日发(作者：高考数学试卷老高考)

九章算术中通分的描述

《九章算术》卷1曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之；重有分者

同而通之。

置全步及分母子，以最下分母偏乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左；命通

分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分

乘之为实。实如法而一，得从步。

对于以上两段术文，数学史家多有论述。然而，对于两术关键算法“同而通之”和“通

而同之”的异同，却论述不多。数学史界通常认为两者完全等价。

《九章算术》中的通分是一种化分数为整数的算法。

其一，通分和通分内子算法的统一。各家对通分内子的算法程序并无异议。然而，从

大量的中国古算书中，可以明显地看到：通分内子之后得到的是整数。例如《九章算术》

开方术中有“通分内子为定实”，《周牌算经》中也有大量通分内子的例子。那么，如果认

为两种算法中的“通”是相同的算法，则必然得到上述结论。

其二，《九章算术》通分术主要运用于分数除法。这是中国古代数学和近代数学不同之

处。在没有认识到“除一个数等于乘这个数的倒数”之前，从算理上讲，分数除法除数（法）

或被除数（实）是分数，最终必然要将两者（法、实）化为整数进行计算。

其三，在此意义下，可以解释或解决一些过去有所争论的问题。如：“同而通之”与

“通而同之”在算法程序上的不同，《九章算术》环田题密率术的本意，以及《算数书》与

《九章算术》的关系。