2019-2020学年重庆一中七年级(下)月考数学试卷(3月份) 解析版

2023年12月5日发(作者：2019孝昌八上数学试卷)

2019-2020学年重庆一中七年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（共12小题）

1．下列事件中，随机事件是（ ）

A．一个数的绝对值为非负数

B．两数相乘，同号得正

C．两个有理数之和为正数

D．对顶角不相等

2．在球的体积公式V＝πR3中，下列说法正确的是（ ）

A．V、π、R是变量，为常量

C．V、R是变量，、π为常量

3．下列说法正确的是（ ）

A．直线外一点到这条直线的垂线段叫这点到这条直线的距离

B．同位角相等，两直线平行

C．同旁内角一定互补

D．一个角的补角与它的余角相等

4．一个盒子里装有红、黄、白球分别为3、4、5个，这些球除颜色外都相同，从袋中任抽一个球，则抽到黄球的概率是（ ）

A． B． C． D．

B．V、R是变量，π为常量

D．V、R是变量，为常量

5．下列各式计算正确的是（ ）

A．（x+y）2＝x2+y2

C．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2

B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3

D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2

6．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，当输入x＝7时，输出的值为（ ）

A．28 B．42 C．52 D．100

7．若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少60°，那么这两个角的度数是（ ） A．60°、120°

C．30°、30°或60°、120°

B．都是30°

D．30°、120°或30°、60°

8．已知x2﹣2（m﹣3）x+16是一个完全平方式，则m的值是（ ）

A．﹣7 B．1 C．﹣7或1 D．7或﹣1

9．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（ ）

A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）

C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）

B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）

D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）

10．一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设从开始工作的时间为t，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

11．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，摆第1个图案需要4个圆点，摆第2个图案需要7个圆点，摆第3个图案需要10个圆点，摆第4个图案需要13个圆点，按照这个规律继续摆放，第12个图摆放圆点的个数为（ ）

A．21 B．35 C．37 D．43

12．如图，AD∥BC，BD为∠ABC的角平分线，DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线，且∠BDF＝α，则以下∠A与∠C的关系正确的是（ ） A．∠A＝∠C+α B．∠A＝∠C+2α C．∠A＝2∠C+α D．∠A＝2∠C+2α

二．填空题（共6小题）

13．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为 ．

14．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝ ．

15．如图，已知AB∥CD，BE⊥DE于E，则∠ABE+∠CDE＝ ．

16．如图，一张圆形纸片中，画出7个同样大小的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为一点）随机的停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色部分的概率为 ．

17．甲、乙两小朋友都从A地出发，匀速步行到B地（A、B两地之间为笔直的道路），甲出发半分钟后，乙才从A地出发，经过一段时间追上甲，两人继续向B地步行，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇，乙又立刻掉头向B地以原速度步行（两次掉头时间忽略不计）．甲、乙相距的路程为y（米）与乙出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，当乙到达B地时，甲与B地相距的路程是 米．

18．工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长xcm、宽ycm、高zcm都为整数，且x＞y＞z＞1，x+z＝2y，x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为

cm2．

三．解答题（共8小题）

19．计算：

（1）（2）（a+2b+c）（a﹣2b+c）﹣2ac．

20．如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且BA⊥CA，点D在线段BC上，连接AD，且AC平分∠DAF．证明：∠3＝∠5．

证明：∵BA⊥CA（已知）

∴∠BAC＝∠2+∠3＝90°（① ）

∵∠1+∠BAC+∠4＝180°（平角的定义）

∴∠1+∠4＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°

∵AC平分∠DAF（已知）

∴∠1＝② （角平分线的定义）

∴∠3＝∠4（③ ）

∵a∥b（已知）

∴∠4＝∠5（④ ）

∴∠3＝∠5（⑤ ）

；

21．先化简，再求值．

，其中m＝2，n＝﹣1．

22．新型冠状病毒爆发，教育部部署了“停课不停学”的有关工作，各地都在进行在线教育．小依同学为了了解网课学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，调查课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次调查中一共调查了 名学生，其中“名著阅读”所占的圆心角度数为 ．

（2）请把条形统计图补全．

（3）在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率．

（4）若该校一共有3000名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数．

23．已知：a2+b2﹣4a+8b+20＝0，求：（a+1）（a2+1）（a4+1）（a8+1）﹣的值．

24．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按A→B→C→D→E→F的路径移动，相应的△AHP的面积y（cm2）关于移动路程x（cm）的关系图象如图2，若AH＝2cm，根据图象信息回答下列问题：

（1）图1中AB＝ cm．

（2）图2中m＝ ；n＝ ．

（3）当△AHP的面积y为2时，求对应的x的值．

25．阅读下列材料：

数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意：

（1）常常需要将对象进行恰当分类．

（2）使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．

正整数N的末尾为5称为“威武数”，那么N的平方数为M称为“平武数”．

例：152＝225（2＝1×2），

252＝625（6＝2×3），

352＝1225（12＝3×4），

452＝2025（20＝4×5），

552＝3025（30＝5×6），

……

由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：

①“平武数”的末两位数字是25；

②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）

（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”M一共有 个．

（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M都满足以上特点．

（3）已知“平武数”M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出“平武数”M的值．

26．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．

（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： ＝ + ；

（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 2019-2020学年重庆一中七年级（下）月考数学试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．下列事件中，随机事件是（ ）

A．一个数的绝对值为非负数

B．两数相乘，同号得正

C．两个有理数之和为正数

D．对顶角不相等

【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义依次分析题目中的事件即可解决．

【解答】解：A、一个数的绝对值为非负数是必然事件，不符合题意；

B、两数相乘，同号得正是必然事件，不符合题意；

C、两个有理数之和为正数是随机事件，符合题意；

D、对顶角不相等是不可能事件，不符合题意；

故选：C．

2．在球的体积公式V＝πR3中，下列说法正确的是（ ）

A．V、π、R是变量，为常量

C．V、R是变量，、π为常量

B．V、R是变量，π为常量

D．V、R是变量，为常量

【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．

【解答】解：在球的体积公式V＝πR3中，V，R是变量，，π是常量，

故选：C．

3．下列说法正确的是（ ）

A．直线外一点到这条直线的垂线段叫这点到这条直线的距离

B．同位角相等，两直线平行

C．同旁内角一定互补

D．一个角的补角与它的余角相等

【分析】分别按照“点到直线的距离”的概念、平行线的判定定理及两角互补与互余的定义分析即可．

【解答】解：选项A：点到直线的距离是指：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即距离是“数”，而不是垂线段这个“物”，故A错误；

选项B：“同位角相等，两直线平行”是平行线的判定定理之一，故正确；

选项C：两直线不平行，则同旁内角不互补，故C错误；

选项D：设这个角为α，则其补角为：180°﹣α；其余角为：90°﹣α

当180°﹣α＝90°﹣α时，得180°＝90°，矛盾，故D错误．

综上，只有选项B正确．

故选：B．

4．一个盒子里装有红、黄、白球分别为3、4、5个，这些球除颜色外都相同，从袋中任抽一个球，则抽到黄球的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．

【解答】解：∵布袋中装有红、黄、白球分别为3、4、5个，共12个球，从袋中任意摸出一个球共有12种结果，其中出现黄球的情况4种可能，

∴得到黄球的概率是：故选：B．

5．下列各式计算正确的是（ ）

A．（x+y）2＝x2+y2

C．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2

B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3

D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2

＝．

【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式逐一判断即可．

【解答】解：A．（x+y）2＝x2++2xy+y2，故本选项不合题意；

B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故本选项不合题意；

C．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣n2+2mn﹣m2，故本选项不合题意；

D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2，正确．

故选：D．

6．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，当输入x＝7时，输出的值为（ ） A．28 B．42 C．52 D．100

【分析】在理解题意的基础上，把x＝7代入式子求值，其结果与40作比较，小于40则重新代入2x﹣4中计算，直到结果大于40就是输出结果．

【解答】解：当x＝7时，2x﹣4＝10

∵10＜40

∴将x＝10继续代入2x﹣4＝16

∵16＜40

∴将x＝16继续代入2x﹣4＝28

∵28＜40

∴将x＝28继续代入2x﹣4＝52

∵52＞40

∴输出结果是52

故选：C．

7．若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少60°，那么这两个角的度数是（ ）

A．60°、120°

C．30°、30°或60°、120°

B．都是30°

D．30°、120°或30°、60°

【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少60°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．

【解答】解：∵两个角的两边分别平行，

∴这两个角相等或互补．

设其中一角为x°，

若这两个角相等，则x＝3x﹣60，

解得：x＝30，

∴这两个角的度数是30°和30°；

若这两个角互补， 则180﹣x＝3x﹣60，

解得：x＝60，

∴这两个角的度数是60°和120°．

∴这两个角的度数是30°和30°或60°和120°．

故选：C．

8．已知x2﹣2（m﹣3）x+16是一个完全平方式，则m的值是（ ）

A．﹣7 B．1 C．﹣7或1 D．7或﹣1

【分析】利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．

【解答】解：∵x2﹣2（m﹣3）x+16是一个完全平方式，

∴﹣2（m﹣3）＝8或﹣2（m﹣3）＝﹣8，

解得：m＝﹣1或7，

故选：D．

9．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（ ）

A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）

C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）

B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）

D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）

【分析】原长方形的边长减少xcm后得到的新长方形的边长为（10﹣x）cm，和（6﹣x）cm，周长为y＝2（10﹣x+6﹣x），自变量的范围应能使长方形的边长是正数，即满足x＞0，6﹣x＞0．

【解答】解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，

∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x （0＜x＜6）．

故选：A．

10．一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设从开始工作的时间为t，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．

【解答】解：由题意，随着抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．

故选：D．

11．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，摆第1个图案需要4个圆点，摆第2个图案需要7个圆点，摆第3个图案需要10个圆点，摆第4个图案需要13个圆点，按照这个规律继续摆放，第12个图摆放圆点的个数为（ ）

A．21 B．35 C．37 D．43

【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第12个图摆放圆点的个数．

【解答】解：观察图形可知：

摆第1个图案需要4个圆点，即3×1+1＝4；

摆第2个图案需要7个圆点，即3×2+1＝7；

摆第3个图案需要10个圆点，即3×3+1＝10；

摆第4个图案需要13个圆点，即3×4+1＝13；

按照这个规律继续摆放，

第12个图摆放圆点的个数3×12+1＝37．

故选：C．

12．如图，AD∥BC，BD为∠ABC的角平分线，DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线，且∠BDF＝α，则以下∠A与∠C的关系正确的是（ ） A．∠A＝∠C+α B．∠A＝∠C+2α C．∠A＝2∠C+α D．∠A＝2∠C+2α

【分析】由角平分线定义得出∠ABC＝2∠CBD，∠ADC＝2∠ADF，又因AD∥BC得出∠A+∠ABC＝180°，∠ADC+∠C＝180°，∠CBD＝∠ADB，等量代换得∠A＝∠C+2α，故答案选B．

【解答】解：如图所示：

∵BD为∠ABC的角平分线，

∴∠ABC＝2∠CBD，

又∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

∴∠A+2∠CBD＝180°，

又∵DF是∠ADC的角平分线，

∴∠ADC＝2∠ADF，

又∵∠ADF＝∠ADB+α

∴∠ADC＝2∠ADB+2α，

又∵∠ADC+∠C＝180°，

∴2∠ADB+2α+∠C＝180°，

∴∠A+2∠CBD＝2∠ADB+2α+∠C

又∵∠CBD＝∠ADB，

∴∠A＝∠C+2α，

故选：B．

二．填空题（共6小题）

13．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为 1.25×107 ．

﹣【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大﹣数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：数据0.000000125用科学记数法表示为1.25×107．

﹣故答案为：1.25×107．

﹣14．已知：m﹣n＝6，mn＝1，则m2+n2＝ 38 ．

【分析】根据完全平方公式（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn即可解题．

【解答】解：∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，

∵36＝m2+n2﹣2，

∴m2+n2＝38，

故答案为38．

15．如图，已知AB∥CD，BE⊥DE于E，则∠ABE+∠CDE＝ 270° ．

【分析】作FE∥AB，然后根据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠BEF+∠FED+∠EDC的度数，再根据BE⊥DE，即可得到∠ABE+∠CDE的度数，本题得以解决．

【解答】解：过点E作FE∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥FE∥CD，

∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠FED+∠EDC＝180°，

∴∠ABE+∠BEF+∠FED+∠EDC＝360°

∵BE⊥DE，

∴∠BEF+∠FED＝90°，

∴∠ABE+∠CDE＝270°，

故答案为：270°． 16．如图，一张圆形纸片中，画出7个同样大小的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为一点）随机的停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色部分的概率为 ．

【分析】设小圆的半径为r，得出大圆的半径是3r，根据圆的面积公式先求出7个小圆的面积和一个大圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径就是3r，

7个小圆的面积是：7•r2π＝7πr2，

大圆的面积是：（3r）2π＝9πr2，

则蚂蚁停留在涂有颜色部分的概率为＝；

故答案为：．

17．甲、乙两小朋友都从A地出发，匀速步行到B地（A、B两地之间为笔直的道路），甲出发半分钟后，乙才从A地出发，经过一段时间追上甲，两人继续向B地步行，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇，乙又立刻掉头向B地以原速度步行（两次掉头时间忽略不计）．甲、乙相距的路程为y（米）与乙出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，当乙到达B地时，甲与B地相距的路程是 40 米．

【分析】设甲的速度为am/min，乙的速度为bm/min，由第一次相遇时，图象上的数据求得a与b的关系，再根据“当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇”求得两人的速度和a+b，进而求得两人的速度a与b，再求得第二次相遇时间，由图象知7.5min时，乙到达B地，求得此时甲与B地相距的路程．

【解答】解：设甲的速度为am/min，乙的速度为bm/min，

由函数图象知，当x＝1.5min时，y＝0m，即两人第一次相遇，根据题意得，

（1.5+0.5）a＝1.5b，

∴b＝a，

∵当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇，

∴a+b＝70÷＝140，

∴a+a＝140，

∴a＝60（m/min），b＝80（m/min），

于是，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙出发的时间为：1.5+70÷（80﹣60）＝5（min），

∴两人第二次相遇时的时间为：5+0.5＝5.5（min），

根据函数图象知，当x＝7，5min时，乙到达了B地，

此时，两人相距：（80﹣60）×（7.5﹣5.5）＝40（m），

∴甲与B两地的距离为：40m．

故答案为：40．

18．工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长xcm、宽ycm、高zcm都为整数，且x＞y＞z＞1，x+z＝2y，x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为 956

cm2．

【分析】根据x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439可得（x+1）（y+1）（z+1）＝440，再根据题意可得（x+1）+（z+1）＝2（y+1），进一步得到x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5，解方程求得x，y，z，再根据最优化处理时，最大的表面被重叠，依此可求表面积．

【解答】解：∵x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，

∴x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1＝440，

∴（x+1）（y+1）（z+1）＝440， ∵x+z＝2y，

∴（x+1）+（z+1）＝2（y+1），

∵z+1≥3，y+1≥4，x+1≥5，

其中5+11＝2×8，

∴x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5，

解得x＝10，y＝7，z＝4，

最优化处理时，最大的表面被重叠，

表面积为（7×10×2+4×7×12+4×10×12＝956（cm2）．

故答案为：956．

三．解答题（共8小题）

19．计算：

（1）（2）（a+2b+c）（a﹣2b+c）﹣2ac．

【分析】（1）分别根据幂的定义，负整数指数幂的运算法则，绝对值的定义以及任何非0数的0次幂等于1计算即可；

（2）根据平方差公式和完全平方公式化简即可．

【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣3+1

＝1

（2）原式＝（a+c）2﹣（2b）2﹣2ac

＝a2+2ac+c2﹣4b2﹣2ac

＝a2﹣4b2+c2．

20．如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且BA⊥CA，点D在线段BC上，连接AD，且AC平分∠DAF．证明：∠3＝∠5．

证明：∵BA⊥CA（已知）

∴∠BAC＝∠2+∠3＝90°（① 垂直的定义 ）

∵∠1+∠BAC+∠4＝180°（平角的定义）

∴∠1+∠4＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°

∵AC平分∠DAF（已知）

； ∴∠1＝② ∠2 （角平分线的定义）

∴∠3＝∠4（③ 等角的余角相等 ）

∵a∥b（已知）

∴∠4＝∠5（④ 两直线平行，内错角相等 ）

∴∠3＝∠5（⑤ 等量代换 ）

【分析】根据题意和图形可以将题目中的证明过程补充完整，从而可以解答本题．

【解答】证明：∵BA⊥CA（已知）

∴∠BAC＝∠2+∠3＝90°（①垂直的定义）

∵∠1+∠BAC+∠4＝180°（平角的定义）

∴∠1+∠4＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°

∵AC平分∠DAF（已知）

∴∠1＝②∠2（角平分线的定义）

∴∠3＝∠4（③等角的余角相等）

∵a∥b（已知）

∴∠4＝∠5（④两直线平行，内错角相等）

∴∠3＝∠5（⑤等量代换）．

故答案为：垂直的定义；∠2；等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．

21．先化简，再求值．

，其中m＝2，n＝﹣1．

【分析】直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项，利用整式的除法运算法则计算，把已知数据代入得出答案．

【解答】解：原式＝（m2+4n2﹣4mn﹣2mn﹣5n2+n2﹣4m2）÷3m

＝（﹣3m2﹣6mn）÷3m

＝﹣m﹣2n，

当m＝2，n＝﹣1时，

原式＝﹣2+2＝0． 22．新型冠状病毒爆发，教育部部署了“停课不停学”的有关工作，各地都在进行在线教育．小依同学为了了解网课学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，调查课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次调查中一共调查了 20 名学生，其中“名著阅读”所占的圆心角度数为

54° ．

（2）请把条形统计图补全．

（3）在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率．

（4）若该校一共有3000名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数．

【分析】（1）用喜欢“其它课程“的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用“名著阅读”所占的百分比乘以360°得到扇形统计图中，“名著阅读”所占的圆心角度数；

（2）利用喜欢名著阅读的人数补全条形统计图；

（3）根据概率公式计算；

（4）利用样本估计整体，用3000乘以样本中最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数所占的百分比．

【解答】解：（1）2÷10%＝20，

所以本次调查中一共调查了20名学生，

其中“名著阅读”的人数为20﹣5﹣6﹣4﹣2＝3，

所以在扇形统计图中，故答案为20，54°；

（2）如图，

×360°＝54°； （3）他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率＝（4）3000×＝900，

＝；

所以估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数为900人．

23．已知：a2+b2﹣4a+8b+20＝0，求：（a+1）（a2+1）（a4+1）（a8+1）﹣的值．

【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．

【解答】解：已知等式整理得：（a2﹣4a+4）+（b2+8b+16）＝0，即（a﹣2）2+（b+4）2＝0，

∴a﹣2＝0，b+4＝0，

解得：a＝2，b＝﹣4，

可得a﹣1＝2﹣1＝1，

则原式＝（a﹣1）（a+1）（a2+1）（a4+1）（a8+1）﹣（＝（a2﹣1）（a2+1）（a4+1）（a8+1）﹣（＝（a4﹣1）（a4+1）（a8+1）﹣（＝（a8﹣1）（a8+1）﹣（＝a16﹣1﹣（）b

）4＝216﹣1﹣216＝﹣1．

﹣）b

）b

）b

）b

当a＝2，b＝﹣4时，原式＝216﹣1﹣（24．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按A→B→C→D→E→F的路径移动，相应的△AHP的面积y（cm2）关于移动路程x（cm）的关系图象如图2，若AH＝2cm，根据图象信息回答下列问题：

（1）图1中AB＝ 3 cm．

（2）图2中m＝ 6 ；n＝ 26 ．

（3）当△AHP的面积y为2时，求对应的x的值．

【分析】（1）由图象可得点P在B点时，x＝3，y＝3，由三角形面积公式可求解；

（2）由图象可得点P在点D时，x＝11，y＝m，由三角形面积公式可求解，由点P在直线AH上时，y＝0，即可求解；

（3）由三角形面积公式可求点P到直线AH的距离为2cm，分别在线段AB上，线段EF上，即可求解．

【解答】解：（1）由图象可得：3＝×2×AB，

∴AB＝3cm，

故答案为：3；

（2）由图象可得：0＜x≤3时，点P在AB上运动，3＜x≤5时，点P在BC上运动，5＜x≤11时，点P在CD上运动，11＜x≤17时，点P在DE上运动，17＜x≤30时，点P在EF上运动，

∴m＝×2×（11﹣2﹣3）＝6，

当点P在线段EF上，且在直线AH上时，y＝0，

∴n＝17+11﹣2＝26，

故答案为：6，26；

（3）∵△AHP的面积y为2，AH＝2cm，

∴点P到直线AH的距离为2cm，

当点P在AB上时，x＝2cm， 当点P在EF上时，x＝25+2＝27cm或x＝25﹣2＝23cm，

∴x＝2或23或27；

25．阅读下列材料：

数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意：

（1）常常需要将对象进行恰当分类．

（2）使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．

正整数N的末尾为5称为“威武数”，那么N的平方数为M称为“平武数”．

例：152＝225（2＝1×2），

252＝625（6＝2×3），

352＝1225（12＝3×4），

452＝2025（20＝4×5），

552＝3025（30＝5×6），

……

由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：

①“平武数”的末两位数字是25；

②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）

（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”M一共有 7 个．

（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M都满足以上特点．

（3）已知“平武数”M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出“平武数”M的值．

【分析】（1）由已知可得352＝1225，452＝2025，552＝3025，652＝4225，752＝5625，852＝7225，952＝9025，满足条件；

（2）设二位数的“威武数”N的十位数字是a，则N＝10a+5，再由M＝（10a+5）2＝100a2+25+100a＝100a（a+1）+25，即可证明；

（3）M分两种情况讨论：当M是四位数时，设M的千位数是x，百位数是y，此时N是两位数，设N的十位数字是z，根据已知可得z2+2＝9x，则当x＝2时，z＝4；当M是五位数时，设万位数字是x，千位数字是y，百位数字是z，由于五位数中3152＝99225，再分两种情况：设N的十位数字是a，当N的首位是1时，可得1+a＝2+x+y+z，（10+a）（10+a+1）＝100x+10y+z，联立求出a＝4；当N的首位是2时，可得2+a＝2+x+y+z，（20+a）（20+a+1）＝100x+10y+z，此时a不存在．

【解答】解：（1）∵352＝1225，452＝2025，552＝3025，652＝4225，752＝5625，852＝7225，952＝9025，

再由“平武数”的特点，

∴四位数的“平武数”共有7个，

故答案为7；

（2）设二位数的“威武数”N的十位数字是a，

∴N＝10a+5，

∴M＝（10a+5）2＝100a2+25+100a＝100a（a+1）+25，

∴M的末尾两位数是25，

∴当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M都满足以上特点；

（3）当M是四位数时，设M的千位数是x，百位数是y，

此时N是两位数，设N的十位数字是z，

∴10x+y＝z（z+1），

∵N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，

∴z+5＝x+y+2+5，

∴z＝x+y+2，

∴z2+2＝9x，

∴当x＝2时，z＝4；

∴M＝2025；

当M是五位数时，设万位数字是x，千位数字是y，百位数字是z，

∵3152＝99225，

∴N的首位两个数字和最大是11，

设N的十位数字是a，

当N的首位是1时，

∴1+a＝2+x+y+z，

∴a﹣1＝x+y+z，

又∵（10+a）（10+a+1）＝100x+10y+z， ∴a2+20a+111＝9（9x+y），

∴a2+20a+111＝（a+10）2+11＝9（9x+y），

∴a＝4，

∴1452＝21025，

∴M＝21025；

当N的首位是2时，

∴2+a＝2+x+y+z，

∴a＝x+y+z，

又∵（20+a）（20+a+1）＝100x+10y+z，

∴a2+40a+420＝（a+20）2+20＝9（9x+y），

此时a不存在；

∴M的值为2025或21025．

26．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．

（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： ∠AHE ＝ ∠KEH + ∠FAH ；

（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；

（2）设∠BEF＝x，用x分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，得关于x的方程，解得x的值，则问题可解；

（3）由（2）可得，∠KHE＝105°，再分4种情况列方程求解即可：①当KH∥EN时；②当kE∥GN时；③当HE∥GN时；④当HK∥GN时．

【解答】解：（1）∵AB∥CD ∴∠KEH＝∠AFH

∵∠AHE＝∠AFH+∠FAH

∴∠AHE＝∠KEH+∠FAH

故答案为：∠AHE；∠KEH；∠FAH；

（2）设∠BEF＝x

∵∠BEF＝∠BAK，∠BEC＝2∠BEF

∴∠BAK＝∠BEC＝2x

∵AK平分∠BAG

∴∠BAK＝∠KAG＝2x

由（1）的结论可得：∠AME＝2x+2x＝4x，∠AHE＝2x+3x＝5x

∵AG⊥BE

∴∠G＝90°

∴∠AME+∠KAG＝2x+4x＝90°

∴x＝15°

∴∠AHE＝5x＝75°；

（3）由（2）可得，∠KHE＝105°，∠BEF＝15°，∠HEK＝45°，∠NEG＝30°，∠ENG＝60°

①当KH∥NG时

5°×t＝60°﹣30°＝30°

∴t＝6

②当KE∥GN时

5°×t＝60°

∴t＝12

③当HE∥GN时

5°×t＝45°+60°＝105°

∴t＝21

④当HK∥EG时，

5°×t＝180°﹣30°﹣30°＝120°

∴t＝24 ⑤当HK∥EN时，5t＝150°

∴t＝30

综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．