2024年4月2日发(作者：鼓楼区数学试卷泄密)

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复数

【知识梳理】

一、复数的基本概念

1、虚数单位的性质

i

叫做虚数单位，并规定：①

i

可与实数进行四则运算；②

i

2

1

；这样方程

x

2

1

就有解了，

解为

xi

或

xi

2、复数的概念

（1）定义：形如

abi

(a，b∈R)的数叫做复数，其中

i

叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数

所成的集合

C

叫做复数集。复数通常用字母

z

表示，即

zabi

(a，b∈R)

对于复数的定义要注意以下几点：

①

zabi

(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中

bi

表示

b

与虚数单位

i

相乘

②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式

（2）分类：

满足条件(a，b为实数)

a＋bi为实数?b＝0

复数的分类 a＋bi为虚数?b≠0

a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0

例题：当实数

m

为何值时，复数

(m5m6)(m

2

3m)i

是实数？虚数？纯虚数？

二、复数相等

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等

注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小

例题：已知

(xy3)(x4)i0

求

x,y

的值

三、共轭复数

abi

与

cdi

共轭

ac,bd(a,b,c,dR)

zabi

的共轭复数记作

zabi

，且

zza

2

b

2

四、复数的几何意义

1、复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

x

轴叫做实轴，

y

轴叫做虚轴。显然，实轴上的点

都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义

复数

zabi

与复平面内的点

Z(a,b)

及平面向量

OZ(a,b)

(a,bR)

是一一对应关系（复数的

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实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）

相等的向量表示同一个复数

例题：（1）当实数

m

为何值时，复平面内表示复数

z(m

2

8m15)(m

2

5m14)i

的点

①位于第三象限；②位于直线

yx

上

（2）复平面内

AB(2,6)

，已知

CD//AB

，求

CD

对应的复数

3、复数的模：

向量

OZ

的模叫做复数

zabi

的模，记作

z

或

abi

，表示点

(a,b)

到原点的距离，即



z

abia

2

b

2

，

zz

若

z

1

abi

，则

z

1

z

2

表示

(a,b)

到

(c,d)

的距离，即

z

1

z

2

z

2

cdi

，

例题：已知

z2i

，求

z1i

的值

五、复数的运算

（1）运算法则：设z

1

＝a＋bi，z

2

＝c＋di，a，b，c，d∈R

①

z

1

z

2

abicdi(ac)(bd)i

②

z

1

z

2

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

③

(ac)

2

(bd)

2

z

1

(abi)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i



z

2

(cdi)(cdi)(cdi)c

2

d

2

（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给

出的平行四边形OZ

1

ZZ

2

可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝

－.

六、常用结论

（1）

i

，

i1

，

ii

，

i1

求

i

，只需将

n

除以4看余数是几就是

i

的几次

例题：

i

675

n

234

（2）

(1i)

2

2i

，

(1i)

2

2i

（3）

(

13

3

13

3

i)1

，

(i)1

2222

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x

2

＋x＋1＝0没有解.( )

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )

(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )

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