干货-【考前叮咛】6之4-备战2023高考数学考前必备4(二级结论)_removed

备战2023高考数学考前必备4——二级结论

1：子集的个数问题

nn

若一个集合

A

含有

n

（

nN



）个元素，则集合

A

有

2

n

个子集，有



2



1



个真子集，有



2



1



个非空子集，

n

有



2



2



个非空真子集.

理解：

A

的子集有

2

n

个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则

n

个元素共有

2

n

种选

择，该结论需要掌握并会灵活应用.

对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算

.

计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的，

有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题

.

另外要注意子集､真子集､子集､

非空真子集之间的联系有区别.

2：子集､交集､并集､补集之间的关系

ABAABBABA



C







ð

I

A



BI

（其中

I

为全集）.

I

B

（1）当

A=B

时，显然成立；

（2）当

AÖB

时，

venn

图如图所示，结论正确.

这个结论通过集合的交､并､补运算与集合的包含关系的转换解决问题.

3.均值不等式链

11

+

ab

2



a

+

b

ab



2

a

2

+

b

2

2

（

a>0,b>0

，当且仅当

a=b

时取等号）

4.两个经典超越不等式

（1）对数形式：

x



1+lnx(x>0)

，当且仅当

x=1

时，等号成立．

（2）指数形式：

e

x



x

+1(

x



R

)

，当且仅当

x=0

时，等号成立．

进一步可得到一组不等式链：

e

x

>

x

+1>

x

>1+ln

x

（

x0

且

x



1

）

1

x

2

x

n

e



x

x

n

+1

，

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：

e

=1+

x

++



++

n

!



n

+1



!2!

x

n

+1

x

2

x

3

n

x

e

x



x

+1



x



R



, ln



1+

x





x



x

>-1



，

ln



1+

x



=

x

-+-



+



-1+

ox

n

+1

，截取片段：

当且仅当

x=0



n

+123



时，等号成立；进而：

lnx



x-1



x>0



，当且仅当

x=1

时，等号成立．

1.

奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，

若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0．

2.函数周期性问题

【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有

f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则

f(0)=0．已知定义在R上的函数f(x)，若对任意x∈R，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，

则称f(x)是周期函数，T为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数

有关的结论如下：

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a．

(2)

如果

f(x+a)=

1

(a≠0)

，那么

f(x)

是周期函数，其中的一个周期

T=2a

．

f



x



(3)

如果

f(x+a)+f(x)=c(a≠0)

，那么

f(x)

是周期函数，其中的一个周期

T=2a

．

(4)

如果

f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0)

，那么

f(x)

是周期函数，其中的一个周期

T=6a

．

3.不同底的指数函数图像变化规律

当底数大于

1

时，底数越大指数函数的图像越靠近

y

轴；当底数大于

0

且小于

1

时，底数越小，指数函数的

图像越靠近

y

轴

.

即如图

1

所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：

0cd1ba

，即图

1

中由

y

轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.

2