大一(下)高等数学(C)差分方程

2024年1月17日发(作者：202海南高考数学试卷)

大一（下）高等数学（C）差分方程

基本知识点：

一、基本概念。

1、差分。设函数yxf(x)，x0,1,2,,n,，则称yxyx1yxf(x1)f(x)为函2yx(yx)(yx1yx)yx1yx数yx的一阶差分。称(yx2yx1)(yx1yx)为函数yx二阶差分。称yx22yx1yx3yx(2yx)为三阶差分。

2、差分方程。

①含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程，称为差分方程。例如：

F(x,yx,yx1,yxn)0G(x,yx,yx,,yn)0n；

②差分方程中含有未知函数的下标最大值与最小值之差，称为差分方程的阶。差分方程不同形式之间可以相互转化。

③如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，称这函数为差分方程的解。满足初始条件的解称为特解。如果差分方程中含有任意相互独立的常数的个数等于差分方程的阶，则称此为差分方程的通解。

3、差分的性质。设a,b,c是常数，yx,zx是函数，则有以下结论：

①(c)0;②(cyx)c(yx)二、一阶差分方程。

1、形如yx1P(x)yxf(x)为一阶差分方程；

；③(ayxbzx)a(yx)b(zx)。

(a0)称为一阶常系数非齐次线性差分方程，若f(x)0则称为一阶2、形如yx1ayxf(x)，常系数齐次线性差分方程。

3、一阶常系数齐次线性差分方程的解。

(a0)，此方程的特征方程为x1ax0a，a称为特征方程的设yx1ayx0，根，齐次方程的通解为yxCax，。

(C为任意常数）4、一阶常系数非齐次线性差分方程的解。

(a0)，求通解的步骤为： 设yx1ayxf(x)，(a0)，求出通解第一步：取其对应的一阶常系数齐次差分方程yx1ayx0，；

yxCax，(C为任意常数）

1

第二步：若f(x)Pm(x)x(为常数，Pm(x)为m次多项式），可设此方程的特解为yx*xsQm(x)x(其中：当a或为对应的齐次方程的特征方程的根时，s1；当a时，s0;Qm(x)与Pm(x)是同幂次同类型的多项式)；

第三步：将特解代入方程，对比方程两边，解出有关系数；

第四步：方程通解为yxyxyx*。

三、函数的差分就是微分的延续，其本质上没区别，就是函数变量上的区别：微分的变量是连续的，而差分的变量是离散型的。差分及差分方程的有关原理可以比照微分及微分方程的有关原理进行理解。

四、注意：因为差分的变量是离散型的，在差分方程的解题过程中，要注意未知函数的下标一定不要忘记。

一、填空题

1、设yx2x23，则yx4x2，2yx4。

解：根据差分定义有，yxyx1yx[2(x1)23](2x23)4x2；

2yx(yx)(4x2)[4(x1)2](4x2)4。

2、3yxyx5改写成未知函数不同时期值的符号的差分方程为yx33yx24yx12yx5。

解：根据差分定义有，

yxyx1yx，2yx(yx)(yx2yx1)(yx1yx)yx22yx1yx，

3yx(2yx)(yx22yx1yx)yx22yx1yx(yx3yx2)2(yx2yx1)(yx1yx)yx33yx23yx1yx；

所以3yxyx5yx33yx24yx12yx5。

2

3、下列为差分方程的有(A)：

(A)2yxyxx，(B)2yxyx22yx1yx，（C）2yx2yx3x。

解：根据差分方程定义有(A)是差分方程；(B)是二阶差分的定义；(C)是一般函数，因为函数的下标是同一时期的，不是不同时期的函数值。故，选(A)。

4、yn2yn1n2为3阶差分方程。

解：根据差分方程的阶的定义有，(n2)(n1)3，为三阶差分方程。

5、已知y1xx3，y2xex，y3x是方程yx2a1(x)yx1a2(x)yxf(x)的三个特解，则该方程的通解为yxC1exC2x3x。

解：此方程为二阶常系数非齐次线性差分方程，

y3s(x)，因为y1、y2、y3是方程的三个特解，代入方程得：设y1h(x)，y2r(x)，h(x2)a1(x)h(x1)a2(x)h(x)f(x)(1)(2)(1)得：

r(x2)a1(x)r(x1)a2(x)r(x)f(x)(2)，由(3)(2)s(x2)a(x)s(x1)a(x)s(x)f(x)(3)12[r(x2)h(x2)]a1(x)[r(x1)h(x1)]a2(x)[r(x)h(x)]0[s(x2)r(x2)]a1(x)[s(x1)r(x1)]a2(x)[s(x)r(x)]0y2y1，y3y2观察此式知，是此方程对应的齐次方程的特解，所以，该方程的通解为yxC1(y2y1)C2(y3y2)y1，即yxC1exC2x3x。

当然，也可以yxC1(y2y1)C2(y3y2)y2或yxC1(y2y1)C2(y3y2)y3。

二、求下列差分方程的通解或特解：

1、yx1yx6x21；

3

解：此方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。右边可设f(x)f1(x)f2(x)6x21，其中f1(x)6x2，f2(x)1；

此方程对应的齐次方程为yx1yx0，通解为yxC；

①方程yx1yxf1(x)6x2，f1(x)是Pm(x)x型（其中1，Pm(x)6x2），则可设此方程的特解为y1x*xsx(b0x2b1xb2)，由于1是齐次方程的特征方程的根，所以s1，则y1x*b0x3b1x2b2x，代入方程有3b06b023b0x2(3b02b1)x(b0b1b2)6x2，对比方程两边有3b02b10b13

bbb0b10122所以，此方程的特解为y1x*2x33x2x；

②方程yx1yxf2(x)1，f2(x)是Pm(x)x型（其中1，Pm(x)1），则可设此方程的特解为y2x*xsxb，由于1a是齐次方程的特征方程的根，所以s1，则y2x*bx，代入方程有b1，所以，此方程的特解为y2*x；

综合①②有，方程yx1yx6x21的特解为yx*y1x*y2x*2x33x22x；

故，方程的通解为yxyxyx*2x33x22xC。

2、yx13yxx，y01；

解：此为一阶常系数非齐次差分方程，其对应的齐次方程为yx13yx0，通解为yxC3x；

方程yx13yxx，f(x)是Pm(x)x型（其中1，Pm(x)x），则可设此方程的特解为yx*xsx(b0xb1)，由于1(a3)，不是齐次方程的特征方程的根，所以s0，则yx*b0xb1，代入方程有2b0xb02b1x，对比方程两边1b2b0＝102，所以，方程的特解为y*x1； 有x24b2b0101b14

4

故，方程的通解为yxyxyx*C3x。

3、yx13yx63x；

解：此为一阶常系数非齐次差分方程，其对应的齐次方程为yx13yx0，通解为yxC3x；

方程yx13yx63x，f(x)是Pm(x)x型（其中3，Pm(x)6），则可设此方程的特解为yx*xsxb，由于3a，是齐次方程的特征方程的根，所以s1，则yx*bx3x，代入方程有b2，所以，方程的特解为yx*2x3x；

x214故，方程的通解为yxyxyx*C3x2x3x(C2x)3x。

4、yx1yx2x3x。

解：此方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。右边可设f(x)f1(x)f2(x)2x3x，其中f1(x)2x，f2(x)3x；

此方程对应的齐次方程为yx1yx0，通解为yxC；

①方程yx1yxf1(x)2x，f1(x)是Pm(x)x型（其中2，Pm(x)1），则可设此方程的特解为y1x*bxsx，由于2不是齐次方程的特征方程的根，所以s0，则y1x*b2x，代入方程有b1，所以，此方程的特解为y1x*2x；

②方程yx1yxf2(x)3x，f2(x)是Pm(x)x型（其中1，Pm(x)3x），则可设此方程的特解为y2x*xsx(b0xb1)，由于1a是齐次方程的特征方程的根，所以s1，则y2x*b0x2b1x，代入方程有2b0xb0b13x，对比方程两3b2b033302边有，所以，此方程的特解为y2x*x2x

22b0b10b312综合①②有，方程yx1yx6x21的特解为yx*y1x*y2x*2xx2x；

5

3232

故，方程的通解为yxyxyx*2xx2xC。

三、某房屋总价200万元，首付20%，其他向银行贷款，贷款年利率为5.39%，20年付清，问平均每月要付多少？共付多少利息？（保留小数点后四位）。

解：设每月要付x元，贷款金额m200(120%)160万元，月利率r5.39%12，第t月应付利息为yt。则：

3232①第一个月应付利息y1mr；

②第二个月应付利息y2(mxy1)ry1rxy1r(1r)y1rx

③第三个月应付利息



y3(m2xy1y2)ry1y1rrxy2rrx(1r)y2rx；

以此类推，yt1(1r)ytrxyt1(1r)ytrx，这是一阶常系数非齐次线性差分方程，对应的齐次方程为yt1(1r)yt0，其通解为：ytC(1r)t；

方程yt1(1r)ytrx，f(t)是Pm(t)t型（其中1，Pm(t)rx），则可设此方程的特解为yt*tstb，由于1(a1r)，不是齐次方程的特征方程的根，所以s0，则yt*b，代入方程有bx，所以，方程的特解为yt*x；方程的通解为ytytyt*C(1r)tx。

由于y1t1mr，所以Cytmrx，故，方程的特解为：

1rmrx(1r)txmr(1r)t1xx(1r)t1；则，n月利息之和为：

1rIy1y2ynmr[1(1r)(1r)2(1r)n1]nxx[1(1r)(1r)2(1r)n1](1r)n1(1r)n1mrnxxrr(1r)n1m(1r)nxmxrn

6

；

(1r)n1mr(1r)nnm(1r)x式子中nxm是利息之和，即Inxm，所以x。

nr(1r)1将m160万元，r1605.39%，n1220240个月代入得：

12①x5.39%5.39%240(1)12121.0907万元；

5.39%240(1)112mr(1r)nn②Inxmn160m240(1r)15.39%5.39%240(1)1212160101.7687万元。

5.39%240(1)112故，平均每月要付1.0907万元，利息总额为101.7687万元。

四、某企业现有资产500万元，以后每年比上一年净增资产20%，但该企业每年要抽出80万元资金捐献给福利事业，问10年后该企业有资产多少万元？

解：设时间为t年，第t年末净资产为yt万元。

依题意有，yt1yt(120%)80yt11.2yt80，此为一阶非齐次线性差分方程，其对应的齐次方程为yt11.2yt0，通解为ytC1.2t；

方程yt11.2yt80，f(t)是Pm(t)t型（其中1，Pm(t)80），则可设此方程的特解为yt*tstb，由于1(a1.2)，不是齐次方程的特征方程的根，所以s0，则yt*b，代入方程有b400，所以，方程的特解为yt*400；方程的通解为ytytyt*C1.2t400。

由于y0t0500，所以C100，故，方程的特解为：

ytytyt*1001.2t400；所以t10时，y101001.2104001019.17万元。

故，10年后该企业有资产1019.17万元。

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五、设Yt，Ct，It分别为t期的国民收入，消费和投资，三者之间有如下关系：YtCtIt，CtYt，Yt1YtIt，其中，，均为常数，且满足01，0，0，已知t0时，YtY0，求Yt，Ct，It。

YtCtIt解：因为CtYtYt1(1)Yt，此为一阶非齐次线性差分YYItt1t方程，其对应的齐次方程为Yt1(1)Yt0，通解为YtC(1)t；

方程Yt1(1)Yt，f(t)是Pm(t)t型（其中1，Pm(t)），则可设此方程的特解为Yt*tstb，由于1(a1)，不是齐次方程的特征方程的根，所以s0，则Yt*b，代入方程有bYt*1－，所以，方程的特解为1－；方程的通解为YtYtYt*C(1)t。

1①由于Ytt0Y0，所以CY0YtYtYt*(Y0，故，方程的特解为：1)(1)t；

11(Y0)(1)t1(Y0)(1)t11ItYt1Yt②由于It，所以；

(Y0)(1)t(1)1③由于CtYtIt，所以Ct(Y0)(1)t；

11因为01，0，0，所以10，则不论t取什么值，(1)t都有意义。故：

①Yt(Y0)(1)t)(1)t(1)； ；②It(Y0111

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③Ct(Y0)(1)t。

11

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