高等数学C习题答案-1

2024年1月17日发(作者：阜阳中学小学数学试卷答案)

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高等数学（少学时）习题解答

第一章 函数与极限

习题1-1

1.求下列函数的定义域:

(1)

y1x1x2;

解：x0且1x1；

y3xarctan1x;

解：x0且x3；

(3)

y65xx21ln2x;

解：由65xx20且2x0，得6x1；

(4)

yarccos2x1x2.

解：由12x1x21,xR.

2. 设fx的定义域为0,1，求fxafxaa0的定义域.

解：由0xa1－ax1a0xa1知从而得

ax1a当0a12时，定义域为a,1a；当a12时，定义域为.

|3. 设

(x)sinx|,|x|3,求、、(2)0,|x|64.

3解：(6)sin612；(4)sin(4)22；20

4.判断下列函数的奇偶性:

(1)

f(x)sinxcosx;

解：f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx；非奇非偶；

1

(2)

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(2)

y1xeex;

21x(eex)f(x)；偶函数；

2解：f(x)(3)

y1xxee;

21x(eex)f(x)；奇函数；

2 (4)

ytan(cosx).

解：f(x)tan(cos(x))tan(cosx)f(x)；偶函数.

解：f(x)5.求y2sin3x,x,的反函数.

66y,x2arcisny2；反函数为：y1arcsinx,x1,1

332 解：y2sin3x,sin3x6.对于下列每组函数写出f(g(x))的表达式:

(1)f(x)sinx,g(x)x21;

解：f(g(x))sin(x21)；

1(2)fx01x1x1,gxe.

xx1g(x)11,g(x)1从而得f[g(x)]0,1,g(x)1x0x0

x01,解：f[g(x)]0,1,7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/kg计算基本运费,当超过50kg时，超重部分按0.25元/kg收费.试求上海到该地的行李费y（元）与重量x(kg)之间的函数关系.

解：y500.15(x50)0.25

8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售，若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y表示成一次销量的函数.

2

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解：设一次销售量为x吨，

150xx100fx15000135(x100)100x500

15000135(x100)120(x500)x500

习题1-2

1.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:

(1)

x11n3n;

解：极限是1；

x2n1n4n;

解：极限不存在；

(3)

x2n3n3n1;

解：极限是

23；

xnn11n1n.

解：极限不存在；

2．判断下列各题是否正确，并说明原因.

(1)如果数列xn发散，则xn必是无界数列.

解：错，反例：xn11nn1n

(2)数列有界是数列收敛的充分必要条件.

解：错，必要但不充分条件

3）limnynlimnzna,且当nN时有ynxnzn,则limxxna.

解：对，夹逼定理

4）limsinxxx1.

解：错，极限是0

5）limn(11n)n1.

解：错，极限是e

3

(2)

(4)

（

（

（

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3*.用数列极限的定义证明lim2n2n3n13.

证明：|2n23n13||6n2(3n1)（33n1）||29n3|

0，存在N|2913|,当nN时，有

|2n26n2n23n13||2(3n1)（33n1）||29n3| 既limn3n13.

习题1-3

1.判断下列各题是否正确,并说明原因.

）如果f(x0)=5，但limf(x)xlimxf(x)4，则limf(x)不存在.

xx00xx0 解：错，limxxf(x)=4

02）limxf(x)存在的充分必要条件是xlimf(x)和xlimf(x)都存在.

解：正确

(3)如果在x0的某一去心邻域内,f(x)0,且limxf(x)A,则A0.

x0 解：正确

2.设f(x)x4, x1,f(x),limf(x);2x1, x1,求

limxlim1x1x1f(x)是否存在,为什么?

解：xlim1f(x)5，limx1f(x)1，limx1f(x)limx1f(x)，

lxi1mf(x)不存在.

3.设f(x)x,求limx0f(x).

解：|0x|0xlim0f(x)xxx1；

lim|0x|0x0f(x)xxx1.

 左右极限不相等，极限不存在.

4*.根据函数的定义证明:

(1)

limx33x18,

4

(1

（

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解：0,要使3x183x3,只要x3即可。

3故0,取＝，当0x3时，恒有3x18成立3

所以lim(3x1)8x3 (2)

limsinx0.

xxsinxxx,只要x1即可。故取X21解：0,要使2

，当xX时，恒有*sinxx0成立,所以limx3sinxx0

5. 根据函数极限的定义证明:limf(x)A的充要条件是

xx0xx0limf(x)limf(x)A.

xx0 证明：必要性：0,0,当0|xx0|时，有|f(x)A|。

特别的，当0xx0时，有|f(x)A|成立，

f(x)limf(x)A。 又有0x0x时，|f(x)A|，所以limxx0xx0f(x)limf(x)A，则当0xx01时， 充分性：lim有|f(x)A|成xx0xx0|f(x)A|成立，

立，又有0x0x2时，则取min{1,2}，显然有|f(x)A|成立。

0,当0|xx0|时，所以limf(x)A

xx0

习题1-4

1．判断下列各题是否正确, 并说明原因.

（1）零是无穷小.

解：对，lim00

x（2）两个无穷小之和仍是无穷小.

解：对.

（3）两个无穷大之和仍是无穷大.

解：错，limn，lim(n)，lim[n(n)]0

nnn 5

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（4）无界变量必是无穷大量.

解：错

（5）无穷大量必是无界变量.

解：对

2.当x0时,指出下列函数哪些是无穷小? 哪些是无穷大?

(1)

yx1;

x1解：既不是无穷大也不是无穷小

x(2)

y3;

x1x解：lim30,无穷小

x0x11(3)

yx;

x11解：lim(x)limxlim,无穷大

x0x0x0xx(4)

y解：limsinx;

xsinx=1，既不是无穷大也不是无穷小

x0x1 (5)

yxsin;

x1sinx0,无穷小

解：limx01x(6)ycotx.

解：limcotx,无穷大.

x03. 求下列极限:

(1)

limx2sin;

x01x1x解：limx2sin=limx0x0xsin11sinxlimxlimx0

x0x011xx(2)

lim解：arctanx.

xx1arctaxn0

lim0

xx22xx4.函数yxcosx在,内是否有界?这个函数是否为x时的无穷大?为什么?

arctanx,lim 6



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解：yxcosx在,内无界，M0,在,内总可以找到Mx2k(kZ),使得|y||2kcos(2k)||2k|M，|k|(kZ).

2它不是x时的无穷大，取xn2k(kZ)，k时xk，但此时

2|y||(2k)cos(2k22)|0

5.求函数fx42x2的图形的渐近线.

解：x2,x2.

习题1-5

1.求下列极限:

(1)

limx25x3;

2x解：limx254x2x35239

(2)

limx4x4x216;

解：limx411x

4x216limx4x45(3)

lim2x1xx1x1;

解：lim2x1xx1x1lim(2x1)x1x1(x1)(2x1x)2

(4)

limx11x21x2;

解：limx11x21x2(10)(20)2

(5)

limx21xx2x1;

7

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211解：limx1x2xx2x1limx1

111xx2x2(6)

limxxx43x21;

1解：limx2x1xxx43x21=limx0

x231x43(7)

limx2x2x2x22;

32解：limx2x2(x2)x2x22=limxx2x22=

x2(8)

limx3x1

limx2解：x3x1=

(9)

lim13x11x1x3;

解：lim11xxx11x321x3=lim3x1(1x)(1xx2)1

(10)

limxx23x1.

解：limxx23x1=

2. 求下列极限:

(1)

limsinxx0x;

解：limsinxx0x=limsinx.

x0x8

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tan3x;

x0xtan3xsin3x1解：lim=lim.33

x0x03xcos3xx1cos2x(3)

lim;

x0xsinx1cos2x2sin2x解：lim=lim2

x0xsinxsinx (4)

limln;

x0x(2)

lim解：limlnx0sinxsinxlnlimln10

xx0x1(5)

lim12xx;

x0解：lim12xx01x=lim(1x0x1.22x2x)e2

2(6)

lim1.

xxx222解：lim1=

lim(1)xx0xxx2e2

习题1-6

1. 当x0时,

2xx2与x2x3相比, 哪一个是较高阶的无穷小?

x2x3x2(1x)limlim0解：x02xx2x0x(2x)

当x0时，x2x3是较高阶的无穷小。2. 当x1时, 无穷小1x和11x2是否是同阶无穷小?是否是等价无穷小?

21(1x2)(1x)(1x)1lim1当x1时，(1x2)等价于1x， 解：lim2x1x11x2(1x)21所以(1x2)等价于1x.

2 9

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x23. 证明: 当x0时, 有secx1~.

2secx11/cosx12(1cosx)1证明：lim2

limlimx0x/2x0x0cosxx2/2x24sin2limx0x2x21x2

1。所以当x0时，secx1~cosx24. 利用等价无穷小的性质求下列极限:

(1)

lim 解：lim(2)

limsin3x;

x0tan5xsin3x3x3lim

x0tan5xx05x5tanxsinx.

3x0sinx1x(x2)tanxsinxtanx(1cosx)12解：lim

limlimx0x0x02sin3xsin3xx3

习题1-7

1．判断下列各题是否正确，并说明原因.

（1）f(x)在其定义域(a,b)内一点x0处连续的充分必要条件是f(x)在x0既左连续又右连续.

解：正确，连续定义。

（2）f(x)在xx0连续，g(x)在xx0不连续，则f(x)g(x)在x0一定不连续.

解：正确。

（3）f(x)在x0处连续，g(x)在x0处不连续，则f(x).g(x)在x0一定不连续.

解：错误，不一定。

x2,0x1,2.讨论fx 的连续性, 并画出其图形.

2x,1x22解：

f(10)limx1;f(10)lim(2x)1

x1x1又f(1)1,f(x)在x1处连续。总之，f(x)在[0,2]上连续。

10

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3.指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续.

⑴

yx21x23x2,x1,x2;

解：

limx21(x1)(x1)x1x23x2limx1(x1)(x2)2x1为可去间断点,补充定义:yx12即可.

limx21(x1)x2x23x2limx2(x2),x2为无穷间断点.(2)

yx1x1,3xx1x1.

解：xlim1yxlim1(x1)0

xlim1yxlim1(3x)2

x1为其跳跃间断点。

x33x24.求函数

fxx3x2x6的连续区间, 并求limx0fx,

xlim3fx.

解：由x2x60得：x12,x23

连续区间为（－，－3）（－3，2）（2，＋）limx0f(x)12

(x3)(x21)x2xlim3f(x)xlim3(x3)(x2)xlim13x2855.求下列极限：

⑴

limx0x22x5;

解：limx0x22x50

⑵

limsin23;

43解：3limsin24sin2=1

⑶

limarcsin1x2.

x12

11

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解：limarcsin1x2=limarcsinx12x123

23ex,x0,6.设 函 数fx应 怎 样 选 择a，可使

fx在,内 连 续。

ax,x0解：f(0)a，f(00)limex1

x0a1时，f(x)在（－，＋）内连续.

7.证明方程x53x10在1与2之间至少有一个根.

证明：设f(x)x53x1，则显然f(x)在[1,2]上连续，

f(1)15310,f(2)253210，

由零点定理可以得到，f(x)x53x1在1与2之间至少有一个根。

8. 证明:若fx在a,b上连续，ax1x2xnb, 则在x1,xn上必有, 使

f证明：f(x)在x1,xn连续，最大值M与最小值m，使mf(x)M,i1,2,...,nfx1fx2fxn.

nnmf()nM，即mii1nf()ii1nnM

由介值定理，x1,xn使f()f(x1)f(x2)...f(xn)n

习题1-8

1．熟悉MATLAB的窗口操作：利用“demo”命令演示MATLAB的使用方法．

2．通过上机练习，熟悉数组的各种输入方式，了解各种数组运算符的含义．

3．某零售店9种商品的进价（元）、售价（元）及一周的销售量如表1-6所示，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；求这一周该9种商品的总收入和总利润．

表1-6

货号

单件进价

单件售价

销量

货号

单件进价

1

7.15

11.10

568

6

12.03

2

8.25

15.00

1205

7

16.85

3

3.20

6.00

753

8

17.51

4

10.30

16.25

580

9

9.30

5

6.68

9.90

395

12

班级 姓名 学号

单件售价

18.25 20.80 24.15 15.50

销量

2104 1538 810 694

111的图形，由此总结幂函数的性质．

x,x2,x3,x6,x9,x30,,2,xxx5．在极坐标系中画出心形线ra(1cost)，阿基米德螺线rat，对数螺线reat，三叶玫瑰线racos3t的图形．

4．画出6．利用MATLAB求下列极限：

（1）limsecx111ntanx；（2）；（3）lim(12)．

lim(sinx)2x0nxnnx27．利用求极限命令说明x0时，sin(x3)与sin3x是等价无穷小，并画图比较它们收敛到0的速度．

8．某顾客向银行存入本金p元，n年后他在银行的存款额是本金及利息之和．设银行规定年复利率为r，试计算连续复利情况下顾客的最终存款额（连续复利即银行连续不断地向顾客付利息）．

r解：设n年后的最终存款额为Pn，则PnlimP(1)mnPenr

mm

第二章 导数与微分

习题2-1

1.设质点作变速直线运动，在t时刻的位置为st3t25t，求下列各值：

（1）质点从1秒到1t秒这段时间内的平均速度；

s(1t)s(1)3(1t)25(1t)(35)3t1 解：tt（2）质点从t0秒到t0t秒这段时间内的平均速度；

解：s(t0t)s(t0)3t6t05

t（3）质点在1秒时的瞬时速度；

解：当t=0时，1

（4）质点在t0秒时的瞬时速度.

解：6t05

2.下列各题中均假定fx0存在，按导数定义观察下列极限，指出这些极限表示什 13

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,并将答案填在括号内.

⑴

limfx0xfx0x（

f\'(x0) ）；

x0⑵

limfxx（

f\'(0) ）， 其中f,且f0存在.

x000⑶

limfx0hfx0h（

2f\'(x0) ）.

h0h3. 求下列函数的导数：

⑴

yx4;

解： y4x3

⑵

y3x2;

解： y213x3

⑶

y1x;

13解：y2x2

⑷

yx35x.

解： y16115x5

4.求曲线ycosx上点3,12处的切线方程和法线方程.

解：y\'sinx,y\'(3133)2，所以切线方程为y22(x3)化简得3x2y(133)0，法线方程为y1223(x3)

化简得3x23y(3)0

14

么

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5.曲线yx2上哪一点处的切线与直线y4x1平行,求过这一点的切线方程.

解：y2x,2x4所以x2，当x2时，y4，

所以过点（2，4）的切线方程与直线y4x1平行，切线方程是：

y44(x2)，y4x4。

12xsin ,x0,6.讨论函数fx 在点x0处的连续性与可导性.

x x00 ,

1解：因为f(0)0,limx2sin0f(0)（有界量乘以无穷小）

x0x所以函数在x0处连续

f(0x)f(0)limx0x0x所以函数在x0处可导.

因为lim7.设fxx2sin1xlimxsin10

x0xxsinx, x0,讨论a,b取何值时,fx在点x0处可导.

axb, x0,解：要使得fx在点x0处可导，则必有f00f(00)，而

f00lim(axb)bsinx0a；f00lim1

x0x0x0x0所以a1，又因为fx在点x0连续，既左连续又右连续，所以b0

8.设QQT表示重1单位的金属从0C加热到TC时所吸收的热量，当金属从TC升温到TTC时，所需热量为QQTTQT，Q与T之比称为T到TT的平均比热，试解答下列问题：

（1）如何定义在TC时金属的比热Y；

解：TC时金属的比热既T0时的平均比热，YlimQ(TT)Q(T)

T0T （2）当QTaTbT2（其中a,b均为常数）时，求比热Y.

15

班级 姓名 学号

YQ(TT)Q(T)a(TT)b(TT)2aTlimbT2解：T0TlimT0T

a2bT

习题2-2

1. 求下列函数的导数：

（1）yx33x24x5;

解：y\'3x26x4

（2）y4x57x42x12;

解：y\'20x628x52x2

（3）y5x32x3ex;

解：y\'15x22xln23ex

（4）y2tanxsecx1;

解：y\'2sec2xsecxtanx

（5）ylnx2lgx3log2x;

解：y\'1x2xln103xln2

6）y1ex（1ex;

解：x(1exye)(1ex)ex2ex(1ex)2(1ex)2

7）y4x2（1x;

解：

22y8x(1x)4x8x4x(1x)2(1x)2

（8）yarctanxarccotx;

解：

y111x21x20

（9)

yarcsinxarccosx；

解：y11(arccosx)2[arccosx

1x2arcsinx(1)]1x221x2(arccosx)2（10）yx2lnxcosx.

解：y\'2xlnxcosxx21xcosxx2lnxsinx

16

班级 姓名 学号

2xlnxcosxxcosxx2lnxsinx

2.已知sin12cos,求dd.

4解：因为ddsincos12sin

所以d21222d242422284

3. 求下列函数的导数：

1）y2x54;

解：

y8(2x5)3

2）ye3x2;

解：y6xe3x2

3）ya2x2;

解：

yxa2x2

4）ylogax2x1

;

解：y2x1x2x1lna

5）ycos43x;

解： y3sin(43x)

6）yln1x2

;

解： y2x1x2

7）ylncosx;

解： y(cosx)cosxtanx

8）ytanx2

;

解：y2xsec2(x2)

9）yarcsin12x;

解：y1x2

x10）yarctanex.

17

（（（

（（

（

（

（

（

（

班级 姓名 学号

解：y(ex)ex1(ex)21e2x

4.求下列函数的导数：

2（1）yarcsinx2;

2arcsinx 解：y2arcsinx22(arcsinx2)

4x2（2）yearctanx;

arctanx11earctanx 解：ye(1x2x)2x(1x)

（3）ylnlnlnx ;

解：y1ln(lnx)111lnxx)xlnxln(lnx)

（4）ylncos1x;

解：ysec1x(sin1111x)(x2)x2tanx

（5）yesin21x；

解：ysec1x(sin1x)(111x2)x2tanx

（6）ysinnxcosnx.;

解：ynsinn1xcosnxsinnx(nsinnx)

nsinn1xcosn(1)x

(7)

ysin2xsinx2；

解：y2sinxcosxsin(x2)sin2xcos(x2)2x

sin2xsin(x2)2xsin2xcos(x2)

（8）ychshx；

解：ysh(shx)chx

（9）ythlnx；

解：y1ch2(lnx)x

（10）yarsh1x2

解：y2xx42x22

18

班级 姓名 学号

5.设fx可导，求下列函数的导数dy（1）yfx2dx：

;

解：dy2xf\'(x2dx)

（2）yfsin2xfcos2x.

解：dyf\'(sin2x)2sinxcosxf\'(cos2dxx)2cosxsinx

sin2x[f\'(sin2x)f\'(cox2x)]

6.求下列方程所确定的隐函数y的导数dydx:

（1）x3y39xy0;

解：方程两边关于x求导得：

3x23y2dydx9y9xdydx0

dy3yx2所以dxy2ax

(2)

y1xey;

解：方程两边关于x求导得：

dyeyxeydydxdx

所以

dydxey1xey

（3）xylnxy；

解：方程两边关于x求导得：

dylnxy()y1(yxdy)

dxxydx1dyy1

dx(1x)lnxy()（4）xy= exy.

解：方程两边关于x求导得：

dyexydxyxexy

2227.求曲线x3y3a3在点224a,4a处的切线方程和法线方程.

求导得：211解：方程两边关于x32dy3x3y3dx0

19

班级 姓名 学号

所以

dyx3y，从而：

1dxxy3切线斜率

kdy1dx1，法线斜率

k213(22a,a)4411，

k1222a(xa)，即xya0；

44222法线方程为yaxa，即xy0。

44所以切线方程为y

8.用对数求导法求下列函数的导数dy:

dxx（1）y;

1x 解：方程两边同时求导得：

xx)()[x(ln|x|ln|1x|)]1x

xxx1()(ln)1x1x1xx5（2）y5.

52x211解：ln|y|[ln|x5|(x22)]

55y1112xx51112xy()

所以5252y5x525x225x525x2x2y(exlnx1xxxsint9.求由参数方程所确定的曲线在t处的切线方程和法线方程.

4ycos2tdy2sin2t,y|22

解：

tdxcost4当t2,y00,所以切线方程是：22xy20 时，x024法线方程是：2x4y10

10*.注水入深8m，上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3min.当水深为5m时,其表面上升的速率为多少？

解：设水面高度为h米，水面圆半径是r米，上顶半径R4m，、

20

班级 姓名 学号

由相似三角形得r4h1118,r2h，所以V3r2h12h3，

V1dhdh16t4h2dt4且h5，所以dt250.204（m/min）

11*.一人以2m/s的速度通过一座高为20m的桥,在此人的正下方有一小船以43m/s的速度与桥垂直方向前进，求5s末人与小船的分离速度.

解：设时间为t秒，则在t秒内船走过路程43t,人走过路程是2t，

又因为是空间的，所以人船相距S216529t24004t29t2400，

所以S529t2400，分离速度vdSdt，代入t=5得到v2621。

习题2-3

1.求下列函数的二阶导数：

（1）y2x2lnx；

解：y\'4x1x，y\'\'41x2

（2）yetsint；

解：y\'etsintetcostet(costsint)

y\'\'et(cotssitn)et(tsintcost)e

2t（3）ylnx1x2

；

112x 解：y\'21x2x1x21x2x1x2x2111x2

y\'\'12(1x232)x2x3

(1x22)（4）y1x2arctanx.

解：

y2xarctanx1

y2xarctanx2x1x2

设yexcosx,求y4.

解：逐项求导得：y(4)2ex(sinxcosxcosxsinx)4excosx

21

2.

班级 姓名 学号

3.求下列函数的n阶导数的一般表达式：

（1）yln1x；

解：y(n)(1)n1(n1)!(1x)n

（2）ysin2x .

解：y(n)2nsin(2xn2)

（3）y1x21；

解：y(n)(1)n(n1)!xn2

（4）ysin2x .

解：y(n)2n1sin(2x(n1)2)

d24.求由方程ytanxy所确定的隐函数yyx的二阶导数ydx2.

解：两边同时关于x的导数，得到ysec2(xy)1sec2(xy)，

y2sec2(xy)tan(xy)(1y)2yse2c(xy)

2cs2c(xy)co3t(xy)。

5.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2ydx2:

（1）x1t2,ytt3;

解：x2t,x2，y13t2,y6t

d2y13t2

dx24t3

(2)

xacost,yasint.

解：xasint,xacost，ybcost,ybsint

d2

ydx2ba2sin3t

习题2-4

1.已知yx3x，求当x02,x分别为1，0.1，0.01时的y,dy.

22

班级 姓名 学号

解：

y[(xx)3(xx)](x3x)(3x21)x3xx2x3

dy(3x21)x，

所以当x02,x=1时，y18,dy11

当x02,x=0.1时，y1.161,dy1.1

当x02,x=0.01时，y0.11061,dy0.11

2.求下列函数的微分:

（1）yxsin2x；

解：dysin2xdxxdsinxsin2xdx2xcos2xdx

(sinx2x2coxs2d

x)（2）yln1x2；

解：dyd[ln(1x)]22ln(1x)dln(1x)

2ln(1x)2ln(1xd(1x)1xx1dx)

（3）yexcos3x

；

解：dycos(3x)dexexdcox(3x)

cos(3xe)xdxexsinx(3dx

)

ex(sin(3x)cosx(3d

x)（4）yarcsin1x2.

解：dydarcsin1x211(1x2)d1x2

23

班级 姓名 学号

xx1x2dx

3.求由下列方程所确定的隐函数yyx的微分dy：

（1）y1xey；

解：两边同时求导：

eyey，dydx

yexey 则y1xey1xeyyy （2）xy2x2y0.

解：两边同时求导：

2xyy2

y(x2xy)(2xyy)，所以dy2dx

x2xy224. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

（1）

d2xC2dx; （2）d32x2C3xdx

（3）dsinxCcosxdx （4）d1dx;;（6）d1xcosxCsinxdx;

2xedx; ;

（5）dln(1x)Ce2xC2（7）

d2xC1dx;; （8）dxtan3x3Csec23xdx.

5.计算三角函数值cos29的近似值.

解：因为

cos29cos(301)

所以

cos29cos30sin30180310.87476

221806.计算根式665的近似值.

24

班级 姓名 学号

解：因为65(65)(641)

51111所以(65)64(64)6222.0052

663267.当x较小时，证明下列近似公式：

（1）tanxx

;

解：(tanx)\'secx，tanxx00

(tanx)\'x01，所以

tanxx

（2）ln1xx.

解：(ln(1x))\'1，ln(1x)1xx00

[ln(1x)]\'

x01，所以

ln(1x)x。

习题２-5

1．用“diff”命令求下列导数：

（1）ysinx2lnx3log2x，求y；

1sintdx，求；

1costdt（3）yxsinx．

（2）x2．求高阶导数：

（1）yxxx，求y；

2（2）yxsin2x的50阶导数．

3．某人高1.8米，他在水平路面上以每秒1.6米的速度走向一街灯，若此街灯在路面上方5米，当此人与灯的水平距离为4米时，人影端点移动的速率为多少？

解，如图：

以DE，BC分别表示人高和灯高，设DE=x，AB=y表示人和人影端点到灯的yx1825ADDE既yx， 水平距离，则,y516ABBCdy25dxdxdy25于是,又1.6，所以1.62.5(m/s)

dt16dtdtdt16 25

班级 姓名 学号

4．已知f(x)sinx，完成以下任务：

)的值；

180（2）用一次多项式拟合f(x)，并求出f()的值；

180（3）用多项式求导法求f(x)（分别取n3,4,5），并在同一坐标系中画出各图形；

（1）直接求f(x)，画出图形，并求出f(（4）对照（1）和（3）的图形，能得出什么结论？

第三章 中值定理与导数的应用

习 题 ３-１

51.验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间,上的正确性.

66解：y()y(511)ln,ycosxctgx.

662sinx5ylnsinx在区间[,]上满足罗尔定理的条件

66.

令y0,得x2,2.

2.验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间0,1上的正确性.

解：函数y4x35x2x2在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，

则y(1)y(0)y()(10)，又因为y()1221010，

所以1,2513[0,1]且有y(1,2)y(1)y(0)0

123.对函数fxsinx及Fxxcosx在区间0,确性.

解：fxsinx及Fxxcosx在区间0,0,2内有：F(x)1sinx0，

上验证柯西中值定理的正2上连续，在0,2内可导，在2所以fxsinx及Fxxcosx满足柯西定理的全部条件，有

f(/2)f(0)f()

F(/2)F(0)F() 26

班级 姓名 学号

4.证明恒等式：arcsinxarccosx2

1x1.

11x2解：取函数f(x)arcsinxarccosx，则f(x)11x20,(1x1).

则f(x)c(c为常数).取x0则f(0)arcsin0arccos0同理f(1)f(1)arcsin1arccos12， 所以c2

2，所以

arcsinxarccosx2

1x1

n15.若方程a0xnaxanx10有一个正根xx0，证明方程1a0nxn1a1n1xn2an10必有一个小于x0的正根.

证明：取函数fxa0xa1xnn1an1x。

f(x)在[0,x0]上连续，在(0,x0)内可导，且f(0)f(x0)0,由罗尔定理知至少存在一点0,x0使f\'()0,

即方程a0nxn1a1(n1)xn2an10必有一个小于x0的正根。

6.证明方程xx10只有一个正根.

证明：设

f(x)x5x1在[0,1]上连续，且f(0)10,f(1)10，由零点定理，在（0,1）f(x)x5x1至少存在一个正根。

假设f(x)x5x1存在两个正根1,2(12)，有f(1)f(2)0，

显然f(x)x5x1在(1,2)上连续可导，则由罗尔定理得到：存在(1,2)，使得f()5410，这是矛盾的。

所以方程xx10只有一个正根。

7.证明：若函数fx在,内满足关系式fxfx，且f01，则55fxex.

f(x)f(x)exf(x)exf(x)f(x),因F(x)0,

证明：取F(x)exe2xexfxx则F(x)C，又F(0)1,故Fx1,即x1,故fxe.

e

习 题 3－2

1.用洛必达法则求下列极限：

27

班级 姓名 学号

(1)limln1x；

x0x解：limln1xx0x=lim1x01x1

exex(2)limx0sinx；

limexexexexexx0sinxlimex解：=x0sinxlimx0cosx2

(3)limsin3xx4x；

tan解：limsin3x3cos3xtan4x=limxx4sec24x34

(4)limlnsinxx2；

22x解：limlnsinxcotxcsc2x1xlimlim

2(2x)2x24(2x)x288xmam(5)limxaxnana0

解：limxmamxaxnanlimmxm1xanxn1mnamna0.

(6)limtanxx2tan3x；

解：limtanx=limsec2xcos3xx2tan3xx3sec2lim(1)3

23xx2cosx1(7)limx0xcotx；

解：x1xlim0xcotxxlim0tanxlimx0sec2x1

(8)

lim2x1(x211x1)；

解：lim2x1(x211x1)=lim1x1x1x212

x(9)lim1ax；

xxa解：limax1x=limxexln(1x)ea

28

班级 姓名 学号

(10)limxx0sinx.

解：设yxsinx则lnysinxlnx，

则limlnylimx0lnxsinxlim10，

x0x0cscxx0cosxsinx所以limx=e01

xsinx存在，但不能用洛必达法则得出.

xx(xsinx)\'1cosx解：由于lim不存在，

limxx(x)\'12.验证极限lim故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：limxxsinxsinxlim1101

xxx11x1xxe,x0,

fx12e, x03.讨论函数

在点x0处的连续性.

(1x)解：limf(x)limx0x0e1x1xex0xlim1ln1(1x)xe

x(1x)2x1ln(1x)1limxxex0ex0limln(1x)xx211lim1xex02xex0lim

e12f(0)f(00)，则f(x)在x0处是连续的

习 题 3－3

1.判定函数fxarctanxx的单调性.

1x210，等号当且仅当在x0时成立，所以

解：f(x)1x21x2fxarctanxx在(,)上单调递减。

2.确定下列函数的单调区间：

(1)y2x6x18x7；

29

32

班级 姓名 学号

解：y(x)6x212x186(x1)(x3)

令y(x)0得x11,x23，所以在(,1]上单调递增；

在(1,3]上单调递减；在在(3,]上单调递增。

(2)y2x1x

（x0)

解：y(x)212x21x2x2，令y(x)0得x12/2,x22/2，

所以在(0,2/2]上y单调递减；在(2/2,]上y单调递增。

(3)ylnx1x2；

解：y10　，所以1x2ylnx1x2在(,)上单调递增。yxsin2x.

12cos2解：yxsin2x　　0x2，yx　　0x2

xsin2x　　0x12cos2x　　2x令y0得x3512，x26而导数不存在的点是x32，

函数的单调增区间为0,3,2,565,单调减区间为3,2,6,

3.证明下列不等式：

(1)当x0时，1x21x；

证明：设f(x)1x21x，因为f(x)11221x12(111x)0所以f(x)在(0,)上单调递增，又因为f(0)0，

所以f(x)f(0),x(0,)，既1x21x。

(2)当0xx32时，tanxx3；

证明：设f(x)tanxxx33，则f(0)0，

f(x)sec2x1x2(tanxx)(tanxx)，

当0x2时，tanxx0，同(1)题可证tanxx0，

30

(4)

班级 姓名 学号

所以f(x)0，f(x)在(0,)上单调递增，既f(x)f(0),x(0,)

22x3tanxx。

3(3)当x4时，2xx2.

证明：两边取对数，等价得到xln22lnx；

设f(x)xln22lnx，同上可证f(x)在(4,)上单调递增，

既2xx2。

4.试证方程sinxx只有一个实根.

证明：显然sinxx有实根，x0就是方程的根。下证实根具有唯一性。

f(x)sinxx,xR

使得f(x)0成立的点是2k(kN)，这是些孤立奇点，f(x)cosx10，不够成区间，所以f(x)单调递减，从而零点唯一。

5.判定下列曲线的凹凸性：

(1)yx1(x0)；

x11,y(x)0，所以函数在正半轴上是凹的。

23xx(2)yxarctanx.

解：

y(x)1x11x22x2解：y(x)arctanx,y(x)0

21x1x2(1x2)2所以yxarctanx在定义域R上都是凹的。

6.求下列曲线的拐点及凹或凸的区间：

(1)yx35x23x5；

520解：y(x)3x210x3,y(x)6x100，解得

x,y，又因为

32755(,)上y(x)0是凸区间，(,)上y(x)0是凹区间，

33520所以(,)是函数的拐点。

327(2)yxe；

解：f(x)xexex(1x)ex，

xf(x)ex(1x)ex(x2)ex,f(2)0，

31

班级 姓名 学号

所以凸区间是(,2]，凹区间是[2,)，拐点是（2，2e2）。

7.问a、b为何值时，点1,3为曲线yax3bx2的拐点？

解：y(x)3ax22bx,y(x)6ax2b，因为1,3是拐点，

所以y(1)6a2b0，又因为点1,3在曲线上，所以

y(1)ab3，解得a392,b2。

8.求出曲线y136xx的各种渐近线.

32解：水平渐近线y1；垂直渐近线x3。

9.描绘函数yx46x28x7的图形.

解：函数定义域为(,),无奇偶性。

y(x)4(x33x2)45(x2)(x1)25，

y(x)125(x21)，分段讨论函数性质，画图略。

习 题 3－4

1.求下列函数的极值：

(1)y2x33x2；

解：y(x)6x26x0得x10,x21，此函数没有不可导点，

极小值是y(1)1，极大值是y(0)0。

(2)yxln1x；

解：y(x)11x1x1x得x0，所以存在极小值y(0)0

(3)

yxlnx；

解：定义域(0,)连续，y12x(lnx2)，驻点：xe2，

当　0xe2时，y0；当e2x时　,y0

32

班级 姓名 学号

函数有极小值y(e2)(4)yexcosx；

2

e),yexcosxsinx2exsinx 解：定义域(，45令y0得驻点：x12k,x22k(k0,1,2)，

44242k2所以极大值是y(x1)，极小值是y(x2)ee22(5)yx；

解：函数定义域(0，)，y1x52k4。

1lnx1xx，令y0得　xe

2x

当0xe时　y0;当ex时　y0，

故函数当xe时有极大值y(e)(6)yxtanx.

1ee

解：y1sec2x0，所以函数没有极值。

2.试问a为何值时，函数fxasinxsin3x在x值还是极小值？

解：yacosxcos3x,当x133处取得极值？它是极大3时，ya10则a2，

2根据f(x)的正负性可得f()3。

33.求下列函数的最大值、最小值：

(1)yx48x22，1x3；

解：y4x316x4x(x24)4x(x2)(x2)

驻点是x10，x22y(1)5，y(0)2，y(2)14，y(3)11

故在1，3上ymaxy(3)11，yminy(2)14

(2)yx1x，5x1.

13　驻点：x

解：y1421x3315而y(5)65，　y()，y(1)1

4424 33

班级 姓名 学号

35故最大值为y()，最小值为y(5)65。

444.求函数y2x36x218x27在1，4上的最大值,最小值？

解：y6(x3)(x1)在1，4上的唯一驻点：x3

而y(1)5，　y(3)27，　y(4)13

故在1，4上函数有ymaxy(1)5,yminy(3)27。

5.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

解：设垂直于墙壁的巨型长为x，则另一边长为20-2x，小屋面积是：

Sxyx(202x),0x20，

204x0得到唯一驻点x5，从而y10，这时面积S50平方米。

Sx

6.某公司每件产品的价格是1500元，一年生产x件产品的总成本是1000000.015x2

假设产品当年都能售出，求此公司的最大年利润.

解：设生产x件产品的利润是S,则

S1500x(1000000.015x2)，

15000.03x0得到唯一驻点x50000，

Sx 所以最大年利润是S(50000)37400000

7.一银行的统计资料表明,存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方.现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱.试问为得到最大利润,银行所支付给存户的利率应定为多少?

解：假设银行支付给存户的年利率是r(0

Skr2 (k0为比例系数)

把这笔钱以12%的年利率贷出一年后可得款额为(10.12)S, 而银行支付给存户的款额为(1r)S, 银行获利为A(10.12)S-(1r)S，

dAk(0.24r3r2)0

dr

则r0.08又因为r0.08是 (0,1) 中唯一的极值点，故取8%的年利率付给存户银行可获得最大利润。

习 题 3－5

1.试证明方程x3x6x10在区间0,1内有唯一的实根，并用二分法求这32个根的近似值，使误差不超过0.01.

解：0.180.19

2.试证明方程x5x10在区间1,0内有唯一的实根，并用切线法求这个根5 34

班级 姓名 学号

的近似值，使误差不超过0.01.

解：0.200.19

3.求方程x3x10的近似根，使误差不超过0.01.

解：0.320.33

习题3—6

2xxyy3,1．解方程组

2x4x30.2．某地区现有人口200万，10年前为100万，又知平均每年净迁入人口8万，问10年来人口的平均增长率是多少?

解：100(1x)10810200

3．分别用二分法和牛顿迭代法求方程x5x10在[0,1]的实根，要求误差不超过103，并比较两种方法哪一种速度更快？

4．分别求出yarctanx在x0点和x1点的7阶泰勒展开式．

5．求y(x)的极值．

6．一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少元时可获得最大收入？

x180x解：设租金为x元/月，则总所入R(x20)(50)(x20)(68)，

1010xR(x)70,令R(x)0得x350，

5

R(350)0,所以x350是唯一极值从而是最大值点。

点 此时R10890元

习 题 4－1

1． 求下列不定积分：

⑴1xxdxx2；

dx1解：2=2C

xx35

班级 姓名 学号

⑵dx5x；

解：dx5455x=4xC

⑶dxx2x；

3 解：dxx=-2x23x2C

(1x)2 ⑷xdx；

(1135x)2解：42xdx=2x23x25x2C

⑸x23x2dx；

11解：x23x2dx=311x3C

⑹3x43x21x21dx；

解：3x43x21x21dx(3x21x21)dxx3arctanxC

⑺(2ex3x)dx；

解：(2ex3x)dx2exdx31xdx2ex3ln|x|C

⑻ex(1exx)dx；

解：ex(1exx)dx=ex2xC

36

班级 姓名 学号

⑼(321x21x2)dx；

解：

(31x221arsinxCx2)dx=3arctanx2

⑽3xexdx；

解：3xexdx(3e)xdx(3e)x3xln(3e)Cexln31C

23x ⑾52x

3xdx；

xx 解：23523xdx5(2)x=2x3ln2ln3C

⑿cos2xcosxsinxdx；

解：cos2xcos2cosxsinxxsin2dxxcosxsinxdx(cosxsinx)dxsinxcosxC

⒀11cos2xdx；

解：11cos2xdx12cos2xdx12tanxC

⒁cos2xcos2xsin2xdx；

解：cos2xcos2xsin2cos2xsin2xdxxcos2xsin2xdx(11sin2xcos2x)dxcotxtanxC ⒂secx(secxtanx)dx；

解：secx(secxtanx)dx(sec2xsecxtanx)dxtanxsecxC

⒃(11x2)xxdx.

解：(114(x27)x2)xxdx=74xC

37

班级 姓名 学号

2． 一曲线通过点(e2,3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程．

解：设该曲线的方程为yfx, 则由题意得yf(x)1x,

所以

y1xdxlnxC.

又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有 3f(e 2)ln e 2C2C, 得

C321.

于是所求曲线的方程为

ylnx1.

习题4－2

1． 在下列各式等号右端的空白处填入适当系数，使等式成立。

⑴

dx1ad(ax) ⑵dx17d(7x3)

⑶xdx1d(x2) ⑷xdx1d(1x222)

⑸x3dx13d(3x42) ⑹11xdx5d(35ln|x|)

x ⑺ex2dx2d(1e2) ⑻119x2dx13d(arctan3x)

(9)

xd(1x2) ⑽1dxd(1arcsinx)

1x2dx1x2 ⑾e2xdx12d(e2x) ⑿sin32dx23d(cos32x).

2． 求下列不定积分：（其中a、b均为常数）

⑴e5xdx；

解：

e5xdx=15e5xC

⑵(32x)3dx；

38

班级 姓名 学号

解：(32x)5dx15162(32x)d(32x)12(32x)C

⑶112xdx；

解：112xdx121112xd(12x)2ln|12x|C

⑷xex2dx；

解：xex2dx12ex2d(x2)1x22eC.

⑸1323xdx；

解：1323xdx=122(23x)3C

⑹sinxxdx；

解：sinttdt2sintdt2costC

x ⑺(sinaxeb)dx；

xx 解：(sinaxeb)dx=1acosaxbebC

⑻tan10xsec2xdx；

解：tan10xsec2xdxtan10xdtanx1tan1111xC

⑼1sinxcosxdx；

解：1sinxcosxdx=ln|tanx|C

⑽1xlnxlnlnxdx；

39

班级 姓名 学号

解：1xlnxlnlnxdx=ln|lnlnx|C

⑾3x3

1x4dx；

解：3x31x4dx3141x4d(1x4)34ln|1x4|C

⑿1exexdx；

解：1exexdx=arctanexC

⒀sinxcosx3sinxcosxdx；

2 解：sinxcosx3sinxcosxdx=32(sinxcosx)3C

⒁sin5xsin7xdx；

解：sin5xsin7xdx=124sin12x14sin2xC

2arccosx ⒂10；

1x2dxarccosx 解：102102arccosxdarccosx12arccosx102arccosx1x2dx210d(2arccosx)2ln10C⒃arctanxx(1x)dx；

解：arctanxx(1x)dx2arctanxdx2arctanxdarctanx(arctanx)2(1x)C

⒄1lnx(xlnx)2dx；

40

班级 姓名 学号

解：⒅1lnx(xlnx)2dx1(xlnx)d(xlnx)21C

xlnx(arcsinx)121x2dx；

1C

arcsinx 解：(arcsinx)12x121x2dx= ⒆1dx；

12x1tdt2xln(12x)C

1t 解：令2xt，1dx=⒇x29dx．

xx29令x3sect9sec2t9dxd(3sect)3tan2tdt

x3sect解：x>3时，

3(1321)dt3tant3tCx93arccosC

2xcostx<-3时，令x= -u，=

x29u293dxdu=

u293arccosC

uxux293arccos3C

x习题4－3

求下列不定积分：

⑴xsinxdx；

解：xsinxdx=xdcosxxcosxcosxdxxcosxsinxC

⑵lnxdx；

41



班级 姓名 学号

解：lnxdx=xlnxxdlnxxlnxdxxlnxxC

⑶arcsinxdx；

解：arcsinxdxxarcsinxxdarcsinxxarcsinxxdx

1x2xarcsinx1x2C

⑷xexdx；

解：xexdx=xdexxexexdxxexexC

⑸x2lnxdx；

解：x2lnxdx13lnxdx313133xlnx3xdlnx

1x3lnx1x2dx1x3lnx1x33339C

⑹excosxdx；

解：因为excosxdxexdsinxexsinxsinxdexexsinxexsinxdx

exsinxexdcoxsexsinxexcoxscoxsdex

exsinxexcosxexcosxdx,

所以

excoxsdx12(exsinxexcoxs)C12ex(sixncoxs)C

⑺xcosx2dx；

解：xcosxdx=2xdsinx22xsinx22sinx2dx2xsinxx224cos2C

⑻xe2xdx；

解：xe2xdx=1xde2x1xe2x1e2xdx1xe2x122224e2xC

42

班级 姓名 学号

⑼ln2xdx；

解：ln2xdx=xln2xx2lnx1dxxln2xx2lnxdx

=xln2x2xlnx2xC

⑽xln(x1)dx；

解：xln(x1)dx=1ln(x1)dx2112122x2ln(x1)2xx1dx

=12x2ln(x1)1114x22x2ln(x1)C

⑾e3xdx；

解：令3xt，e3xdx=3t2etdt3t2det

=3e3x(3x223x2)C

⑿coslnxdx；

解：coslnxdx=xcoslnxxsinlnx1xdxxcoslnxxsinlnxcoslnxdx所以coslnxdx=x2(coslnxxsinlnx)C

⒀(arcsinx)2dx；

解：(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2x2arcsinx11x2dx

x(arcsxi)2n21x2arcsxin2xC

⒁exsin2xdx.

解：exsin2xdx=12ex(1cos2x)dx11x2ex2ecos2xdx

exco2sxdx15ex(co2sx2sin2x)C

43

班级 姓名 学号

所以exsin2xdx=112ex10ex(cos2x2sin2x)C

习 题 4-4

一、求下列不定积分:

⑴x3x3dx；

解：x32713x3dx=(x23x9x3)dx3x32x29x27lnx3C.⑵2x3x23x10dx；

解：2x3d(x23x10)x23x10dxx23x10lnx23x10C.

⑶3x31dx；

解：31x2112x131x31dx=(x1x2x1)dx(x12x2x12x2x1)dx

=ln|x1|1x23arctan2xx13C

⑷x(x1)(x2)(x3)dx；

解：x(x1)(x2)(x3)dx=12(4x21x13x3)dx

=12(ln|x2|3ln|x3|ln|x1|)C

⑸1x(x21)dx；

解：1x(x21)dx(1x12x21x2)dxlnx122ln(1x)C.

44

班级 姓名 学号

⑹1sinx2dx；

2cotx1解：1sinx2dx=dx2222sinxx3arctan3C

2cos2⑺1(x21)(x2x1)dx；

解：1x!x(x21)(x2x1)dx=(x2x1x21)dx

12x12x2x1dx112x2x1dx12ln(x21)

12ln|x2x1|12ln(x21)32x13arctan3C

⑻1

3(x1)2(x1)4dx.

2解：令3x1x1u，则xu316uu31,dx(u31)2,代入得

13(x1)2(x1)4dx=32u33x12uC23x1C

(x)3⑼1x1dx；

解：(x)313x1dx=[(x)2x1]dx12x223x2xC

⑽1x4xdx；

解：令xu4，11x4xdx=u2u4u3du4(u111u)du

45

班级 姓名 学号

=2u24u4ln|1u|C2x4x4ln(14x)C

⑾1cosx3dx；

解：11dxd(x2)3cosxdx2

1cos2x2cos2x2(1sec2x2)dtanxx2tan2tan2x12arctan22C

2⑿1sinxcosx1dx；

dx解：dx1sinxcosx12dx(tan2)cos2xxxln|tanx2|C

2(1tan2)1tan2

习 题 4-5

1、利用积分表求下列不定积分：

(1)

dx(x29)2;

解：

dx(x29)2x18(9x2)1x54arctan3C=

(2)

dxsin3x;

解：dx(sinx)3cosx2sin2x1x2ln|tan2|C

(3)

cos6xdx;

解：cos6xdxcos5xsinx65cos3xsinx241524(x2sin2x4)C

(4)

dx25cosx;

46

班级 姓名 学号

x3tan解：dx25cosx121ln|273tanx|C

27(5)

(lnx)3dx;

解：(lnx)3dxxln3x3xln2x6xlnx6xC

(6)

dxx22x1;

解：dx2x1x22x1x2arctan2x1C

(7)

1x1xdx;

解：1x1xdx1x1x2dx11x2dx12d(1x2)1x2

arcsinx1x2c

(8)

x5x22x1dx.

解：(x5)dxx22x112ln|x22x1|32ln|x(21)x(21)|C

习题5-1

1． 按定积分定义证明：bakdxk(ba)．

nn证明：kbf(x)klimba0f()xilimkf()xi(x)

i10i1akf2． 利用定积分的几何意义，说明下列等式：

（1）1201xdx4；

47

班级 姓名 学号

解：101x2dx表示由曲线y1x2、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积，既1圆x2y21的面积的:

4（2）101x2dx11

44sinxdx0．

解：由于ysinx为奇函数，在关于原点的对称区间[,]上与x轴所夹的面积的代数和为零，既：

sinxxd

03．设f(x)及g(x)在[a,b]上连续，证明：

（1）若在[a,b]上，f(x)0，且baf(x)dx0，则在[a,b]上f(x)0；

证明：假如f(x)0不成立，则必有f(x)0,根据f(x)在[a,b]上的连续性，

在[a,b]上存在一点x0，f(x0)0，f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

f(x0) 再由连续性，存在[c,d][a,b],且x0[c,d]，f(x),于是

2f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

f(x)f(x)dx(dc)0

2aacdd0cbcdb 这与条件矛盾，所以在[a,b]上f(x)0.

（2）若在[a,b]上，f(x)0，且f(x)0，则证明：因为f(x)0，所以baf(x)dx0．

baf(x)dx0,假如f(x)dx0不成立，则只有

abbaf(x)dx0，根据结论（1），f(x)0.矛盾，因此baf(x)dx0

4．不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小：

（1）10xdx与x2dx ；

01

3232解：当0x1时，有xx，且xx不恒等于0，

（x2x3）dx0，即

0110x2dxx2dx。

01（2）20xdx与sinxdx．

20解：当0x6时，有sinxx，且xsinx不恒等于0，

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班级 姓名 学号

（1110xsinx）dx0，即

0xdx0sinxdx。

5．估计下列积分的值。

（1）41(x21)dx；

解：因为当1x4时，2x2117,所以

234(x211)dx1730

既6421(x1)dx51

（2）33xarctanxdx．

3解：令f(x)xarctanx，f‘(x)arctanxx1x20，

所以f(x)在[33，3]上单调增加，

minf(x)63,maxf(x)3363（333）3333xarctanxdx（3，

333） 即

93axndx23xarct33

6．证明不等式：21x1dx2．

证明：因为当1x2时，2x215,所以

21221x1dx51

既21x1dx2

习题5-2

1．计算下列各导数：

（1）dx2dx0etdt；

解：dx2tdx0edt=2xex2

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