2024年4月17日发(作者：重庆初中小升初数学试卷)

2023-2024学年江苏省南通市高三高考前练习数学模拟试题

一、单选题

x

1

．已知集合

A

x

|ln

x

0

，Bx

|2

2

，则

AB

（



）

1

D

．

0,

2

A

．

,1

【正确答案】D

B

．

0,1

1



C

．



,

2



【分析】由指数函数与对数函数的性质分别求集合，再求交集即可.

【详解】因为

y

ln

x

,

y

2

x

在定义域上均为单调增函数，

故由题意可得

ln

x

0

ln1

0

x

1,2

2

2

x

x

1

2

1

，

2

1



即

A

0,1

,

B



,

，所以

AB

2



1

0,

.

2

故选：D

log

2

x

,

x

0

f

(

x

)

，则

2

．已知函数

sin

x

,

x

0

A．

2

【正确答案】C

B．1

f

π

f

（

6

C．-1

）

D．2

【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.

π



π

【详解】由条件可得

f



sin

0.5

，则

6



6

f

π

f

f

0.5

log

2

0.5



1

.

6

故选：C.

3

．若

A．2

【正确答案】A

【分析】利用已知条件先求出

z

，根据复数的意义，分别写出

A,B

坐标，再利用两点间的距离公

式计算即可.

【详解】由

所以

z

z

3

i

z

3

i

z

i

，

z

i

z

3

i

，复数

z

与

z

在复平面内对应的点分别为

A,B

，则

AB

（

z

i

）

B．

22

C．3D．4

2

1

i

，

1

i

所以

z1i

，

故

z

与

z

在复平面内对应的点分别为

A

1,1

,B

1,1

，

所以

AB

故选：A.

11

2

1

1

2

，

2

4．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶

壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

A．0.25升

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为

a

1

,a

2

,a

9

，由题意可得

B．0.5升C．1升

）

D．1.5升

a

1

a

2

a

3

0.5,a

7

a

8

a

9

2.5

，所以

3

a

2

0.5,3

a

8

2.5

a

2

a

8

1,

a

5

故选：B

a

2

a

8

0.5

，

2

5．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲

x

2

y

2

线有如下性质：A，B分别为双曲线

C

:

2

2

1(

a

0,

b

0)

的左、右顶点，从C上一点P（异于A，

ab

B）向实轴引垂线，垂足为Q，则

A．

3

3

PQ|

2

AQQB

为常数．若C的离心率为2，则该常数为（

1

3

）

B．

3

C．D．3

【正确答案】D

b

2

x

2

y

2

2

Px,y

C

:



1(

a

0,

b

0)

y

x

1

b

2

.则

【分析】设

11

，由题结合可得

1

22

2

ab

a

b

2

2

，后由离心率结合

c

2

a

2

b

2

可得答案.

AQ

QB

a

2

b

2

【详解】设

P

x

1

,y

1

，则

Q

x

1

,0

，又由题得

A

a

,0

,

B

a

,0

,

y

2

x

b

2

1

a

b

2

2

2

x

1

a

2

2

2

PQ

y

b

2

..则

a

1



2

AQ

QBx

1

a

x

1

a

x

1

2

a

2

a

2

1

2

PQ

2



cc

2

a

2

b

2

b

2

则

e



2

2

4



4

2

3

.

2

a

aaa

故选：D



1



3









AMADANAB

ABCD

6．在平行四边形中，

，，则

DMDN

AB4

，

AD2

，

CMCN9

，

24

（）

B．

1

C．

15

8

A．

1

D．

3

【正确答案】B















【分析】将

CM

、利用平面向量数量积运算性质结合

CMCN9

CN

、

DM

、

DN

用

AB

、

AD

表示，





可求得

ABAD

的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得

DMDN

的值.



1



3



【详解】在平行四边形

ABCD

中，

AB4

，

AD2

，

AMAD

，

ANAB

，

24



1





1



CMCDDMABAD

CNCBBNADAB

则，，

2

4





1





1



1



2

9



1



2

CM

CN



AB

AD



AB

AD

AB

AB

AD

AD

所以，



24482





1





8

19



9





4

2

ABAD

2

2

6

ABAD

9

，可得

ABAD

，

4828

3





1





3



DMAD

，

DNANADABAD

，

2

4





1



2

1



3



3



381

DM

DN



AD

AB

AD



AB

AD

AD



2

2

1

.

所以，



282832

4

故选：B.

CN2NC

1

，

7．正四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2,AA

M是

A

1

D

1

的中点，点N在棱

CC

1

上，

1

3

，

则平面AMN与侧面

BB

1

C

1

C

的交线长为（

A．

3

【正确答案】C

B．

）

C．

210

3

13

2

D．

213

3

【分析】根据线线平行，结合比例即可求解

NP

为平面AMN与侧面

BB

1

C

1

C

的交线.

【详解】取

BC

,

B

1

C

1

的中点为

H

,

Q

，连接

BQ,C

1

H

，则

AM//BQ//C

1

H

,且

AMBQ=C

1

H

，

在平面

BB

1

C

1

C

中，过点

N

作

NP//C

1

H

交

BC

于

P

，则

NP

为平面AMN与侧面

BB

1

C

1

C

的交线，

且

NP:C

1

H2:3

,

由于

C

1

HCH

2

CC

1

2

1

2

3

2

=

10,

NP

故选：C

210

,

3

8．已知

f

x

ln

A．

abc

【正确答案】B

1



2

1

x

2

1x

，若

a

f

ln

，

b

f



，

c

f

tan

则（

2

3

3

）

B．

bac

C．

c

D．

bca

【分析】先判断

f

x

的奇偶性和单调性，通过奇偶性把

a

，

b

，

c

转化在同一单调区间，利用单

调性比较即可.

【详解】由题意

f

x

ln

故

f

x

为偶函数，

当

x0

时，

x

2

1x

2

2x1

，故

x

2

1x1

，

x

2

1

x

ln

1

x

2

1

x

ln

x

2

1

x

f

x

，

x1x

0

，

所以

f

x

ln

x1x

ln

x1x

，

所以

0x

2

1x1

，

ln

2

2

2

故当

x0

时，

f

x

单调递增，

2



3

a

f

ln

f

ln

，

3



2

33

131

3



3

因





，所以

2ln<1

3ln

，即

ln

，

322

22

2



2

π

设函数

g

x

tanxx

，

x

0,

2

1

π

gx

g

x



1

0



，故在区间

0,

上单调递增，

2

2

cos

x

23

所以

g

x

g

0

0

，

11

1

所以

g



0

，即

tan

，

22

2

所以

0

1311

ln



tan

，

3222

1



1



3



所以

f



f

ln

f

tan

，即

bac

，

2



3



2



故选：B

二、多选题

9．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查

的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样

本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是（）

A．若男、女样本量分别为

64

，

36

，则总样本的平均值为171.4

B．若男、女样本量分别为

64

，

36

，则总样本的方差为36

C．若男、女的样本量都是

50

，则总样本的平均值为170

D．若男、女的样本量都是

50

，则总样本的方差为61

【正确答案】ACD

【分析】根据平均数、方差公式计算可得.

【详解】若男、女样本量分别为

64

，

36

，

则总样本的平均值为

总样本的方差为

175

64

165

36

171.4

，

64

36

64

36

22

36

175

171.4



36

165

171.4

59.04

100



100

175

50

165

50

170

，

50

50

故A正确，B错误；

若男、女的样本量都是

50

，则总样本的平均值为

总样本的方差为

50

50

22

36

175

170



36

165

170

61

，

100



100

故C、D正确；

故选：ACD.

10．已知O为坐标原点，过抛物线

C:y

2

2px(p0)

的焦点F（2，0）作斜率为

3

的弦AB，其

中点A在第一象限，则（

A．

AOFBOF

C．

AB

）

B．

AOB90

D．

AF3FB

16

3

【正确答案】BD

【分析】求出抛物线方程，写直线方程，求得

A,B

坐标，对A由

A,B

不关于

x

轴对称知不成立；

AF

uuruuur

AB

对B由

OA×

判断；对D求判断.

OB<0

判断；对C求

FB

【详解】抛物线方程为

y

2

8x

，设直线

AB

的方程

y3

x2

，代入

y

2

8x

得

3x

2

20x120

，

220

设

A

x

1

,y

1

,B

x

2

,y

2

，则

x

1

6,

x

2

,

x

1

x

2

,

x

1

x

2

4,

y

1

y

2



64

x

1

x

2



16

，

33

对A：显然

A,B

不关于

x

轴对称，故

AOFBOF

，A错误；



对B：

OAOBx

1

x

2

y

1

y

2

0

，所以

AOB90

，B正确；

对C：

AB

1

3

x

1

x

2

32

，C错误；

3

对D：

AF

y

1

FBy

2

x

1

3

，D正确.

x

2

故选：BD

11．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m

的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水

桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计

算时间，则（）

A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m

B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点

C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒

D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面

【正确答案】ABC

π



π



π

【分析】建立平面直角坐标系，设

d

A

sin

t

B

，结合题目条件求出

d

4sin

t

2

，

6



15



15

再对四个选项一一作出判断.

【详解】以

O

为坐标原点，平行于水面为

x

轴，垂直于水面为

y

轴建立平面直角坐标系，

如图，则

OC2

m，则

sin

AOx

sin

OAC

21π

，故

AOxOAC

，

426

2π

筒车按逆时针方向每分钟转2圈，故筒车转1圈的时间为30秒，即

解得

π

rad/s

，

15

30

，

ππ

62

10

因为，故当

t10

秒时，筒车第一次到达最高点，此时

d246

，故B正确；

π

15

同理可得，当

t25

秒时，筒车第一次到达最低点，此时

d2

，

π

设

d

A

sin

t

B

，

15

A

B

6

A

4

则

，解得

，

B

2

A

B



2

π

故

d

4sin

t

2

，又当

t0

时，

d0

，

15

1π

故

4sin

20

，解得

sin



，取



，

26

π



π

故

d

4sin

t

2

，

6



15

ππ

A选项，当

t5

时，

d

4sin

2

4

，

36

即当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m，A正确；

π



π

C选项，令

4sin

t

2

4

，

6



15

ππ5π

当

t

时，盛水桶第二次距离水面4m，解得

t15

，

1566

故盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒，C正确；

π

7πππ11π

π

t

D选项，令

4sin

t

2

0

，解得

，

20t30

，

6

61566

15

故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D错误.

故选：ABC

BAD

12．在边长为2的菱形ABCD中，

π

，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A\'BCD，

3

使得

A

BC

A．

EF

π

．设E，F分别为棱BC，A\'D的中点，则（

2

）

3

3

3

1

B．直线A\'C与EF所成角的余弦值为

C．直线A\'C与EF的距离为

2

【正确答案】AC

D．四面体A\'BCD的外接球的表面积为

4π

【分析】对于A项，取CD中点G，构建BD、

A

C

的中位线，将EF放在直角三角形

EFG

中，

根据勾股定理求出EF长度；

对于B项，确定

A

C

平行线FG，与EF在同一个三角形中，求出FG与EF夹角余弦值即可；

对于C项，根据线面平行判定定理确定

A

C//

平面

EFG

，求出线面距离即为异面直线距离，作出

平面EFG的垂线HN，通过勾股定理求解；

A

DC

均为直角三角形，根据直角三角形性对于D项，通过三角形边长符合勾股定理确定

A

BC、

质确定外接球球心及半径，即可计算外接球表面积.

【详解】设菱形ABCD中，AC与BD交于点O，取CD中点G，连接EG、FG，得到如下图所示

四面体

A

BCD

.

在菱形ABCD中，

ABAD2

，

BAD

BD

AB



3

.

2

2

2

π

，则

△ABD

为等边三角形，所以

BD2

，

3

CO

AO

在空间四边形

A

BCD

中，

A

BBC2

，

A

BC

π

，则

A

C

2

A

B

2

BC

2

22

.

COBD

，

COBD

，因为ABCD是菱形，所以

AOBD

、即在空间四边形

A

BCD

中，

A

OBD

、

则

BD

平面

A

OC

，所以

A

CBD

.

1

对于A项：因为E、F、G分别为BC、

A

D

、CD，所以

GE//BD

且

GE

=

BD

1

，

2

FG//A

C

且

FG

=

1

A

C

2

，因为

A

CBD

，所以

FGEG

，则

EFFG

2

EG

2

3

，故A

2

项正确；

对于B项：因为

FG//A

C

，所以直线

A

C

与EF所成角为

EFG

，

又因为

FGEG

，所以

cos

EFG

项错误；

对于C项：因为

FG//A

C

，

FG

平面

EFG

，所以

A

C//

平面

EFG

，设

EG

与OC交于点H，

因为

△BCD

为等边三角形、

COBD

，所以CO为

△BCD

的中线，又因为EG为

△BCD

中位线，

所以H为

EG

中点.

FG

EF

2

3

6

6

，直线

A

C

与EF所成角的余弦值为，故B

3

3

1

作

OMA

C

于点M、

HNA

C

于点N，则

HN//OM

且

HNOM

、

HNFG

，又因为

BD

平

2

面

A

OC

、

GE//BD

，

所以

GE

平面

A

OC

,

HN

平面

A

OC

，所以

GEHN

，则

HN

平面

EFG

，即HN为

A

C

到平

面

EFG

距离.

A

C

如下图所示，在等腰

A

OC

中，

OM

OC



1

，则点H到直线

A

C

距离为

2

2

2

11

HNOM

，

22

即直线

A

C

与平面

EFG

距离为

2

，又因为

EF

平面

EFG

，所以直线

A

C

与EF的距离为

2

，故

C项正确；

11

对于D项：因为

A

C22

、

A

BBCCDA

D2

，

A

DC

均为直角三角形，取

A

C

中点P，所以

A

BC、

由直角三角形性质可得

BPDP

1

A

CA

PCP

2

，

2

则P点为四面体

A

BCD

的外接球球心，外接球半径

R2

，则外接球表面积为

S4πR

2

8π

，

故D项错误.

故选：AC.

三、填空题

2

13．

x

3x

2

的展开式中含

x

3

项的系数为___________．

x

4

【正确答案】3

【分析】利用二项展开式的通项公式直接求解.

2

r

2

【详解】

x

展开式的通项公式为

T

r

1

C

4



x

x

4

4

4

r

x

C

2

r

4

r

4

r

1

x

r

3

r

4

2

.

2

要求

x

3x

2

的展开式中含

x

3

项，只需

r4

，

x

4

4

4

则

3x

C

4

1

x

4

2

3

4

4

2

3x

3

，

所以展开式中含

x

3

项的系数为3.

故3

22

14．已知圆

C

1

:

xa

y1

1

与圆

C

2

:xy3

交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为

60

，

22

则

AB

___________．

【正确答案】

3

【分析】根据题意，由条件两圆方程作差可得直线

AB

方程，然后再求得圆心

C

2

0,0

到直线

AB

的

距离，再由勾股定理即可得到结果.

22

【详解】因为圆

C

1

:

xa

y1

1

与圆

C

2

:xy3

交于A，B两点，

22

则两圆方程相减可得

2axa

2

2y12

，

即直线

AB

方程为

2ax2ya

2

30

，

又因为直线AB的倾斜角为

60

，则斜率

k3

，

又因为

k



2

a



a

，即

a3

，则

a3

，

2

所以直线

AB

方程为

23x2y60

，

圆心

C

2

0,0

到直线

AB

的距离为

2

d

6

23

2

2

2

3

2

，

3

所以

AB

23



3

.

2

故答案为.

3

π

15．已知

sin

cos

sin

,sin

cos



sin2

,

0,

，则

cos

___________．

2

【正确答案】

417

17

【分析】根据

sin

cos

,sin

cos

的关系，即可平方得

12sin2

sin

2

，结合同角关系以及二

倍角公式即可求解.

【详解】由

sin

cos

sin

平方得

12sin

cos

sin

2

，结合

sin

cos

sin2

得

12sin2

sin

2

1sin

2

=2sin2

，

π

所以

cos

2

=2sin2

4sin

cos

，由于

0,

，所以

cos

0

,

2

所以

故

sin

11417

，

=

cos

2

+

sin

2

cos

2

+

cos

2

1

cos

cos

41617

417

17

四、双空题

16．已知函数

f

x

,g

x

的定义域均为

R

，

f

x

是偶函数，

g

x1

1

是奇函数，且

g

x2

f

x

4,f

4

3

，则

g

1

_____；

【正确答案】

1

2023

k

1

g

k

_____．

2021

【分析】①利用

g

x1

1

是奇函数，求出

g

1

即可；②结合

f

x

是偶函数，

g

x1

1

是奇


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