2024年3月27日发(作者：数学试卷结构评估方案模板)

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列

可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，

之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用

例1:（06年福建高考题）数列

a

n

中,a

1

1,a

n1

2a

n

1则a

n

n1

( )

A．

2

B．

21

C．

21

D．

2

解法1：

a

n1

2a

n

1

nnn

a

n1

12a

n

22(a

n

1)

又

a

1

12

a

n1

1

2

a

n

1

a

n

1

是首项为2公比为2的等比数列

a

n

122

n1

2

n

,a

n

2

n

1

,所以选C

解法2

归纳总结：若数列

a

n

满足

a

n1

pa

n

q(p1,q

为常数），则令

a

n1

p(a

n

)

来构

造等比数列，并利用对应项相等求

的值，求通项公式。

例2：数列

a

n

中，

a

1

1,a

2

3,a

n2

3a

n1

2a

n

，则

a

n

。

解：

a

n2

a

n1

2(a

n1

a

n

)

a

2

a

1

2

a

n

a

n1

为首项为2公比也为2的等比数列。

（n>1）

a

n

a

n1

2

n1

，

n>1时

a

n

(a

n

a

n1

)(a

n1

a

n2

)



(a

2

a

1

)a

1

2

n1

2

n2



21

12

n

2

n

1

12

- 1 -

显然n=1时满足上式

a

n

2

n

1

小结：先构造

a

n1

a

n

等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，

例3：已知数列

a

n

中

a

1

5,a

2

2,a

n

2a

n1

3a

n2

,(n3)

求这个数列的通项公式。

解：

a

n

2a

n1

3a

n2

a

n

a

n1

3(a

n1

a

n2

)

又

a

1

a

2

7,

a

n

a

n1

形成首项为7，公比为3的等比数列，

则

a

n

a

n1

73

n2

………………………①

又

a

n

3a

n1

(a

n1

3a

n2

)

，

a

2

3a

1

13

，

a

n

3a

n1

形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列

则

a

n

3a

n1

(13)(1)

n2

………………………②

①

3

②

4a

n

73

n1

13(1)

n1

a

n

7

n1

13

3(1)

n1

44

小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列

的通项公式。

例4：设数列

a

n

的前项和为

S

n

,若2a

n

2

n

S

n

成立，(1)求证：

a

n

n2

n1

是等比数列。

(2) 求这个数列的通项公式

证明：(1)当

n1,ba

1

2(b1)a

1

,a

1

2

又

ba

n

2

n

(b1)S

n

………………………①

ba

n1

2

n1

(b1)S

n1

………………………②

②—①

ba

n1

ba

n

2(b1)a

n1

n



a

n1

ba

n

2

n

当

b2

时，有

a

n1

2a

n

2

n

a

n1

(n1)2

n

2a

n

2

n

(n1)2

n

2(a

n

n2

n1

)

- 2 -


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公式,通项,构造,比较级,求解