构造法解高中数学代数题归类

2024年3月27日发(作者：高中数学试卷编写方法)

构造法解高中数学代数题归类

构造法解高中数学代数题归类

所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构

造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的

方法。下面将通过构造数与式，构造函数，构造数列等举例来说明构

造法在高中代数部分解题中的应用。

1.构造辅助数与式

在解决某些数学问题时，利用矛盾对立统一性，可以充分揭示条

件与结论的内在联系，探索构造适宜的数与式，来架设解决问题的桥

梁。

[例1] 证明 N=109.1110.1211.1312 (100)

99﹤0.3 [证明] 本题若直接计算十分复杂，且方法不具一般性。根

据题目中数的形似可以构造相应的数：M=

1110.1211.1312…9998 显然 M×N=100

9 又N ﹤M （因为109﹤1110；1110﹤12

11；…） 所以N 2﹤N×M=

1009，从而得N ﹤103=0.3

［例2］对于正数x ，规定f （x ）=

x 1x +, 计算f （

12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13

）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f

（2004）+ f

（2005）+f （2006） = .

［解］ 显然不可能将2006,,2005

1,20061代入求解, 但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶

式)1()(x

f x f +,

则)1()(x f x f +=111111111

1=++=+++=+++x x x x x x

x x x , 从而原式的结果为2006.

2.构造辅助函数

函数在中学数学中占有非常重要的地位,学生们对于函数也很熟悉，

选择构造函数这个学生很熟悉的模型来解决问题, 将会大大提高学生解

决问题的能力。

由于一些代数式之间从形式上,本质上的相同之处,这就启示着我们

在某些数学问题的研究过程中,可构造类似的数学形式,运用构造的数学

形式的内涵来解决问题。

[例3] 已知a 、b 、c 、d 、e 均为实数，且a+b+c+d+e=8……①

a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16……②,求e 的最大值。

[解] 构造以x 为自变量的二次函数

y=4x 2+2(a+b+c+d)x+(a 2+b 2+c 2+d 2) ③

即 y=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2 ④ 因此④的值恒为非负数，

故式③的判别式小于或等于0，即

=4（a+b+c+d ）2-4×4×(a 2+b 2+c 2+d 2)≦0

4(8-e)2-16(16-e 2) ≦0, 0≦e≦

5

16 即e 的最大值为516。 点评：换个角度看问题，换个方面去解

释，换个方向去思考。在数学学习

过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不

但

对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。

3.构造辅助方程

方程作为中学数学的重要内容之一,它与代数式,函数,不等式等知识

密切不可分。依据方程理论,能使许多的问题得以转化从而得到解决,这

对学生的数学