浅谈构造法在高中数学中的应用

2024年3月27日发(作者：南陵高考数学试卷真题)

浅谈构造法在高中数学中的应用

陕西省泾阳县云阳中学--------------刘盈博

我们在解题时经常会遇到一些看似形式简单，入手做却难以找到

合适的切入点的题目，让人束手无策，这时如果能根据题目的特征，

对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系

纽带，使解题另辟新径、便可水到渠成，这便是构造法思想。

所谓“构造法”，就是根据题设的特点，用已知条件中的元素和

关系式构造一种新的数学形式，如方程，函数，数列等，以找到一条

绕过障碍的新途径，从而使问题得到解决的这样一种方法。它的实质

其实是一种重要的数学化归手段，在数学解题中有着重要的作用。用

构造法解题，常使数学解题由难变易，但它却没有通用的构造法则。

下面通过几个实例说明构造法的应用。

一． 构造导数

【

例

lim

1

】

求证：

x0

sinx

x

1

\'

证明：设

f

(x)

sinx

则

f

(x)

cosx

x0

lim

sinx

x

lim

sin(0x)sin0

(0x)0

x0

f

(0)

cos01

\'

等式得证。

二． 构造函数

【

例2

】

证明不等式：

e

x

1x

x

(x0)

证明：设

f

(x)

ex1

(xR)

则

f

(x)

e

\'x

1

令

f

(x)

0

解得：

\'

即

e10

x

x

x0

所以，函数

f

(x)

ex1

是

[0,)

上的单调递增函数。

故有，当

x0

时

，

f

(x)

f

(0)

x0

即，

ex1e010

所以，

e

x

1x

(x0)

三． 构造数列

【

例3

】

已知数列

{a

n

}

中，

a

1

3

，

a

n1

3a

n

4(nN)

，求

{a

n

}

*

的通项公式。

解：根据递推公式可令

a

n1





3(a

n





)

对比已知条件可得，



2

a

n1

2

所以，

a2

n

3

因此，数列

{a

n

2}

是一个以

a

1

21

为首项，3为公比的

等比数列

故，

a

n

213

四．构造方程

【

例

2

4

】

已知实数a、b、c满足

a8b

，

cab16

，求证：

ab

。

n1

即

a

n

3

n1

2

证明：

因为

a8b

，

cab16

2

即

ab8

，

abc16

2

b

是该方程所以构造方程

x8x(c16)0

,其中

a

、

的两个根。

22

则

x8x(c16)(x4)c0

故必有

x4

且

c0

即方程有两个相等的实数根-4

所以，

ab4

从以上几例可以看出，构造法要用好需要足够的知识经验为基

础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为依托，极其富有技

巧性和创造性的解题方法。同时构造法对培养学生思维的灵活性，提

高学生分析问题的创新能力，开拓思维空间，启迪智慧有着不可低估

的作用。

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