用构造法求数列的通项公式汇总

2024年3月27日发(作者：职高数学试卷学科网)

用构造法求数列的通项公式汇总

徐红洁 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算

可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数

列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，

根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公

式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构

造新数列的方法：一． 利用倒数关系构造数列。例如：中，若求an+4,即＝４，｝是等

差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ an }的通项。练习：1)数列

{ an }中，an≠0，且满足求an2)数列{ an }中，求an通项公式。3)数列{ an }中,求an、

二． 构造形如的数列。例：正数数列{ an }中，若 解：设 练习：已知正数数列{ an }中，,

求数列{ an }的通项公式。三． 构造形如的数列。例：正数数列{ an }中，若a1=10,且求

an、解：由题意得：，即 、

即练习：（选自2002年高考上海卷）数列{ an }中，若a1=3,,n是正整数，求数列

{ an }的通项公式。四． 构造形如的数列。例：数列{ an }中，若a1=6,an+1=2an+1, 求

数列{ an }的通项公式。解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1）设 bn= an+1,

则bn =2 bn-1则数列{ bn }是等比数列，公比是2,首项b１= a１+1＝7,，构造此种数

列，往往它的递推公式形如：。如：an+1＝c an+d,设可化成

an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系数法得：

(c-1)x＝d∴

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x=、又如：Ｓn+an=n+2, 则 Ｓn-1+an-1=n+1,二式相减得：Ｓn－Ｓn-1 +a n

－a n-1 =１，即a n +a n－a n-1 =１，∴2 an－an-1=１，an =an-1+、如上提到bn

= an ＋d = an –1练习：1、数列{ an }满足an+1=3an+2, 求an2、数列{ an }满足Ｓ

n+an=2n+1,求an五． 构造形如的数列。例：数列{ an }中，若a1=１，a２=3,an+2

+4 an+15an=0得：

an+2 － an+1 =5,首项b１= a2- a1＝2,∴an＋１ －an=2•(-5)n-1即a２ －a１

=2•(-5)a３ －a２=2•(-5)２a４ －a３=2•(-5)３┄an －an－１=2•(-5)n-2以上各式相加

得：an －a１=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：an －a１=2•，即，

（n当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn = an＋１ －an，然后

用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1通过求出数列｛bn｝前n-1项和的方

法，求出数列{ an }的通项公式。1)

当递推公式中形如:an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1)

; an+1=a n+qn +an+b 等情形时，可以构造bn = an＋１－an ,得: bn = an+b；

bn = qn; bn =qn +an+b。求出数列前n-1项的和Tn-1, Tn-1=; Tn-1=；Tn-1=+即：

an －a１=; an －a１=; an －a１=+从而求出 an =a１+; an= a１+;an =a１++。

2）当递推公式中形如: an+1=a n+；an+1=a n+；an+1=a n+等情形可以构造bn =

an＋１－an ,得:：bn =；bn =；bn =即bn =；bn =；bn =从而求出求出数列前n-1

项的和Tn-1,Tn-1=；Tn-1=；Tn-1=即：

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an －a１=; an －a１=; an －a１=从而求出 an =a１+; an= a１+;an =a１+ 练

习：1）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an、2）数列{ an }中，若

a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an、3)

数列{ an }中，若a1=2，，求通项an、六． 构造形如的形式。例：数列{ an }中，

若a1=1，，求an、解：由得：

∴， ， ，…用累乘法把以上各式相乘得：

∴。当递推公式形如：；；等形式，我们可以构造。可得: ;;、然后用叠乘法得：。令

数列{bn}的前n-1项的积为An-1,则 ；;从而得到：；； ；；。练习：1）数列{ an }中，

若a1=2，，求an、七． 构造形如的形式。例：数列{ an }中，a1=2，Sn=4an-1+1，

求an、解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2 an

=4an-1-4an-2an1=2（an-1-an-2）设bn=an+1-2an，当递推公式形如

Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1)

等形式时，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),我们构造

bn=an+1-2an; bn=an+1-an,由等比数列知识得bn=(a2-a1)2n-1; bn=(a2-a1)(p-1)n-

1从而得到an+1=2an+(a2-a1)2n-1;an+1=an(a2-a1)(1-q)n-1由类型四求出an。总

之 ，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。当

然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去

构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。

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