2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期数学竞赛模拟试题

2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期数学竞赛模拟试题一、单选题（每小题5分，共40分）1logaa0a21.设实数a0，则“22”是“”的（A.充分不必要条件件【正确答案】A【分析】由2a2，可得a1，由logaa条件的定义即得.【详解】由2a2，可得所以a1；由logaaB.必要不充分条件）D.既不充分也不必要条C.充分必要条件1100a，可得或，再利用充分条件、必要a122110loga，可得aloga1，22a10a1∴或，11a1a122∴a1或0a1；210”的充分不必要条件.2因此“2a2”是“logaa故选：A.和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是2.若函数fxxax2，xR在区间3，2（）A.,3311B.D.6,4C.3,22【正确答案】B4,3上的单调性即可，结合题设条【分析】易知fx为R上的偶函数，因此只需考虑函数fx在0，

a2，3，进而求得a的取值范围.2a【详解】由题意知函数fx为偶函数，对称轴为x，2件分析可得函数的对称轴须满足上为增函数，在1，2上为减函数，所以fx在3，故须满足故选：B.本题主要考查二次函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和转化思想，属于常考题.3.A.a2，3，解之得a6,4.24sin40tan40（3）B.2C.232D.221【正确答案】A【分析】先通过切角化弦后再通分，再利用二倍角公式，同角三角函数关系及诱导公式即可求出结果.sin404sin40cos40sin402sin80sin40【详解】方法一：4sin40tan404sin40=cos40cos40cos40sin80sin80sin40sin802cos60sin20sin80sin204sin40tan40==cos40cos40cos40sin5030sin5030sin80sin203sin504sin40tan40==3cos40cos40cos40sin404sin40cos40sin402sin80sin40方法二：4sin40tan404sin40=cos40cos40cos4031333cos10sin10cos10sin102cos10sin301022224sin40tan40===cos40cos40cos40313cos10sin10223cos404sin40tan40==3cos40cos40故选：Af(x1)f(x2)(2a)x1,x1，满足对任意x1≠x2，都有4.如果函数f(x)＝>0成立，那么实数a的取xxxa,x112值范围是（）

A.(0，2)【正确答案】DB.(1，2)C.(1，＋∞)D.,2232a0【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由a1求解.2a11a【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有所以函数f(x)是R上的增函数，f(x1)f(x2)>0成立，x1x22a0所以a1，2a11a解得3a2，2）故选：D5.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（A.fxC.fx2xlnx1x21B.fxD.fx2xlnx|x|x21【正确答案】B【分析】根据函数的定义域和奇偶性进行判断即可.【详解】首先由函数的图象可知：函数是偶函数，定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,).

A：因为fx2xfx，所以函数不是偶函数，不符合题意；lnxB：因为x0x1且x0，所以定义域符合图象；lnx02xfx，所以函数是偶函数；因为fxlnxC：x210x1，所以函数的定义域不符合图象；D：x210x1，所以函数的定义域不符合图象，最后可以确定只有B符合题意，故选：B6.已知关于x的方程A.1ax有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是x2B.(-¥,0)(0,1)C.(1,+¥)D.(0,+¥)【正确答案】C【分析】【详解】由题意，问题可转化为y只需保证x0时，y即ax1在(,0)有2个根，也即是ax22ax10(a0)在(,0)有2根，x21与ya|x|的图象有2个交点即可，x21与ya|x|的图象有3个交点，显然a0，x202a0，解得a1所以a10a

xex,x0，若gxfxax有四个不同的零点，则a的取值范围为（7.已知函数fxlnx,x0）1A.0,e【正确答案】AB.,1e1C.1,eD.e,【分析】讨论x0、x0，应用导数研究单调性，要使g(x)0有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a的范围即可.【详解】由题意知：gxfxax有四个不同的零点，xexax,x0∴g(x)，则g(x)0有四个不同的解，lnxax,x0当x0时，g(x)x(exa)0，其零点情况如下：1）当a0或a1时，有x0；2）当0a1或a1时，x0或xlna；当x0时，g(x)1a，则有如下情况：x1）当a0时g(x)0，即g(x)单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；11上g(x)0，g(x)单调递增，在x上g(x)0，g(x)单调递减，而x0aa11有g(x)，x有g(x)，所以只需g()lna10，得a时，g(x)必有两个零ae当a0时，在0x2）点.∴综上，有0a1时，g(x)在x0、x0上各有两个零点，即共有四个不同的零点.e

故选：A.关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.8.已知ae0.02，b=0.01，c=ln1.01，则（A.c>a>b【正确答案】CB.b>a>c）C.a>b>cD.b>c>a【分析】根据指数函数的性质判断a,b，构造函数f(x)ex1x，由导数确定单调性得f(0.01)f(0)，再由对数性质得b,c大小，从而得结论．．【详解】由指数函数的性质得：e0.02e12110.01，e3设f(x)ex1x，则f(x)ex10在x0时恒成立，所以f(x)在(0,)上是增函数，f(x)是连续函数，因此f(x)在[0,)上是增函数，所以f(0.01)f(0)，即e0.0110.010，即e0.011.01，所以0.01ln1.01，所以abc．故选：C．二、多选题（每小题5分，共20分）9.若0a1，bc1，则（）B.cacbabbA.1c1ba1【正确答案】logba【分析】运用不等式的性质，对四个选项逐一分析bb【详解】对于A，bc1，1，0a1，则1，故A错误；cc对于B，若cac，则bcabcbca，即acb0，这与bc1矛盾，故B错误；baba对于C，0a1，a10，bc1，则ca1ba1，故C错误；对于D，bc1，logcalogba，故D正确.

故选：AD.本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题．10.下列式子等于cosx的是（6）x56x23C.3cosxsinx2x22cosD.1122【正确答案】CD【分析】根据诱导公式，即可判断A，B不正确；根据三角恒等变换，即可判断C正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D正确，由此即可得到答案.【详解】cosx56cosxcosxcosx，故A不正确；6662sinx3sinxcosxcosx，故B不正确；62663cosxsinx31cosxsinxcosx，故C正确；2226x2cos21cosxcosx，故D正确.61226故选：CD.11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x(0,1]时，f(x)1x，则（A.f(x)是周期函数C.f(x)的图象关于直线x3对称【正确答案】ACDB.f(x)在（－1，1)上单调递减D.f(x)的图象关于点（2，0)对称）【分析】对于A，利用周期的定义判断，对于B，根据题意求出f(x)在x[1,0)的解析式，然后判断，对于C，利用函数的周期和奇函数的性质可得f(x3)f(3x)，从而可求得其对称轴，对于D，利用函数的周期和奇函数的性质可得f(x)f(4x)0，从而可求得其对称中心

【详解】对于A，因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以f(x22)f(x2)，f(0)0，所以f(x4)[f(x)]f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以A正确，对于B，当x[1,0)时，x(0,1]，则f(x)1(x)1x，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)1x，所以f(x)1x，所以当x[1,0)时，f(x)1x为减函数，且当x0时，f(x)1，当x(0,1]时，f(x)1x为减函数，且当x0时，f(x)1，所以f(x)在（－1，1)上不是单调递减，所以B错误，对于C，因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x6)f(x2)f(x)f(x)，所以f(x36)f[(x3)]，即f(x3)f(3x)，所以f(x)的图象关于直线x3对称，所以C正确，对于D，因为f(x4)f(x)f(x)，所以f(x4)f(x)0，所以f(x44)f[(x4)]0，所以f(x)f(4x)0，所以f(x)的图象关于点f(x)的图象关于点（2，0)对称，所以D正确，4,0对称，即2故ACDx2x1，则下列结论正确的是（12.已知函数fxexA.函数fx存在两个不同的零点B.函数fx既存在极大值又存在极小值C.当ek0时，方程fxk有且只有两个实根D.若xt,时，fxmax【正确答案】ABC）5，则t的最小值为22e【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】对于A，由fx0，得x2x10，∴x15，故A正确；2x1x2，x2x2对于B，fxexex当x,12,时，fx0，当x1,2时，f¢(x)>0，∴fx在,1，2,上单调递减，在-1,2上单调递增，()∴f1是函数的极小值，f2是函数的极大值，故B正确；y0，对于C，当x时，根据B可知，函数的最小值是f(1)e，再根据单调性可知，当ek0时，方程f(x)k有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)是函数的单调递减区间，但当x时，y0，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合A{x|1x3}，B{x|2mx1m}，若AB，则实数m的取值范围是________.【正确答案】0,1m；B【分析】根据AB可讨论B是否为空集：B时，2m