2024年1月5日发(作者：全基础的高三数学试卷)

高一期中数学模拟测试

考试时间：120分钟，满分150分

姓名：___________ 得分：___________

一、单选题(每小题5分共40分)

1．若集合A1,2,3,4,5，集合Bx0x4，则图中阴影部分表示（

）

A．1,2,3,4 B．1,2,3 C．4,5 D．1,4

2．若集合AxNx5，，则AB的真子集个数为（

）

A．3 B．4 C．7 D．8

3．已知不等式xm1成立的一个充分非必要B1,4,5,7条件是113x2，则实数m的取值范围是（A．1414142,3 B．2,3 C．,2 D．3,

4．下列各组函数表示同一个函数的是（

）

A．fxx2，g(x)x24x4 B．f(x)x21x1,g(x)x1

C．fx|x|，g(x)x2 D．fx|x|,g(x)xx0

5．既是奇函数又在0,上为增函数的是(

)

A．yx2 B．yx1x C．yx1x D．yx1x

6．下列命题中错误的是（

）

A．若ab，则11ab B．若ab，则abc2c2

C．若ab，cd，则adbc D．若ba0，m0，则ambmab

7．已知正数x,y满足81xy1，则x2y的最小值是

A．18 B．16 C．8 D．10

8．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x2)f(x)，当x(2,0)时，f(x)2x2，则f(2021)等于（试卷第1页，共5页

）

）

A．2 B．2 C．18 D．18

二、多选题(每小题5分，共20分)

9．下列命题中，真命题是（

）

A．若x、yR且xy2，则x、y至少有一个大于1

B．xR，2xx2

C．ab0的充要条件是a1

bD．若xR，x2m0，则m的取值范围是mm0

10．下列结论正确的是（

）

A．xR,

且x0，使得xC．若x0,y0,则12

x2B．x0R,使得x012x0

x2y2xy

222D．函数yx21x22的最小值为2

11．已知函数f(x)x的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（

）．

A．f(x)为偶函数

C．若x1，则f(x)1

B．f(x)为增函数

xxD．若x1x20，则f122fx1fx2

2a,ab2212．对任意两个实数a，b，定义mina,b，若fx2x，gxx2，下列关于函数b,abFxminfx,gx的说法正确的是（

）

A．函数Fx是偶函数

B．方程Fx0有两个实数根

C．函数Fx在2,0上单调递增，在0,2上单调递减

D．函数Fx有最大值为0，无最小值

三、填空题(每小题5分共20分)

13．已知不等式ax2bxc0的解集为2,4，则不等式cx2bxa0的解集为___________.

214．已知fxx2x，gxax2a0，对任意的x11,2，存在x21,2，使得gx1fx2，则a的取值范围是________。

试卷第2页，共5页

15．已知集合Ax,ykxyk1，Bx,yxky2k，其中k为实数，当AB，则k满足的条件是_________.

16．定义在R上的偶函数f(x)axb的图象如图所示，则实数a、b、c的大小关系是__________．

2xc

四、解答题(共70分)

∣x240.

∣1x3}，Bx17．（10分）设全集UR，集合A{x（1）求U(AB)；

∣xa0}，满足BCB，求实数a的取值范围。 （2）若集合C{x

18．（12分）已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x.

（1）求f(1)，f(2)的值；

（2）求f(x)的解析式；

（3）画出yf(x)的简图；写出yf(x)的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）

试卷第3页，共5页

19．（12分）已知定义在1,1上的奇函数fx（1）求函数fx的解析式；

（2）求证：函数fx在区间0,1上是增函数．

20．（12分）某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益P与广告费x满足P22x4，在网络媒体上投放广告的收益Q与广告费x满足Q1x2，设在报刊上投放的广告费为x(单位：万元)，总收益为2axb满足1x212f.

25fx(单位：万元).

(1)当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；

(2)试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大?

试卷第4页，共5页

21．（12分）已知a、b、c、d均为正实数．

2222（1）求证：abcdacbd；

2a2b21（2）若ab1，求证：+。

1a1b3

22．（12分）已知函数fx满足f(xy)f(x)f(y)(x,yR)，当x0时，f(x)0，且f(1)2.

（1）求f(0),f(1)的值；并证明fx为奇函数；

（2）判断fx的单调性；

（3）当x1,时，不等式f(x2a)f(ax3)2恒成立，求实数a的取值范围.

试卷第5页，共5页

参考答案

1．C

集合A1,2,3,4,5，Bx0x4，

又图中阴影部分所表示为CUBA，

又CUBx|x4或x0

∴CUBA4,5

2．A

由题知，AxNx50,1,2,3,4,5，B1,4,5,7，所以AB4,5.

AB的真子集有3个，为，4，5.

3．B

由题意，不等式xm1，解得m1xm1，

11因为不等式xm1成立的一个充分非必要条件是x，

321m114143则，解得m，即实数m的取值范围是,．

2323m1124．C

对于A,

g(x)x24x4(x2)2x2,与fxx2对应关系不相同,故不是同一个函数.

x21对于B,

f(x)定义域是{x|x1},g(x)x1定义域是xR,定义域不同,故不是同一函数.

x1对于D,

fx|x|定义域是xR,g(x)xx0定义域是{x|x0},定义域不同,故不是同一函数.

对于C,

g(x)x2|x|,fx|x|,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故二者是同一个函数.

5．D

由奇函数的性质可知，对于A中，函数yx2为偶函数，不符合条件；对于B中，函数yfx为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数yx递增，不符合题意；对于D中，函数yx且yx6．A

对A，若ab，若a1,b1，则x111xx1为奇函数，但在0,1上单调递减，1,上单调x111，满足fxxfx，则函数yx是奇函数，xxx1在0,上单调递增，符合题意，故选D．

x11，故A错误，符合题意；

ab答案第6页，共7页

对B，若ab，由1ab0，可得，故B正确，不符合题意；

c2c2c2对C，若ab，cd，则dc，则adbc，故C正确，不符合题意；

对D，若ba0，m0，则bmam0，则abbmabam，即bamabm，则故D正确，不符合题意.

7．A

811

xyama，bmb8116yx16yxx2yx2y1010218

xyxyxy当且仅当故选A

8．B

16yx，即x12，y3时，x2y取得最小值18

xy因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)，即f(x)f(x4)，所以函数f(x)的周期为4，f(2021)f(45051)f(1)，因为f(x)在R上是奇函数，

所以f(1)f(1)2(1)22，即f(2021)2，

9．AD

对于A选项，若x、y全都不大于1，即x1且y1，则xy2，与条件矛盾，假设不成立，A对；

对于B选项，当x1时，2xx2，B错；

a对于C选项，当ab0时，满足ab0，但无意义，C错；

b对于D选项，xR，x2m0，则mx10．BC

解：当x0时，x10，A不对；

x2max0，D对.

当x1时，x212x，故B正确；

x2y2xy2x2y22xy(xy)2x2y2()0由可得，22442xy，当且仅当xy时取等号，C正确

2因为tx222，

1所以yt在[2，)上单调递增，

t所以y5，故D错误．

211．BCD

答案第7页，共7页

将点(9,3)代入函数f(x)x得：24，则11，所以f(x)x2，

2显然f(x)在定义域[0,)上为增函数，所以B正确.

f(x)的定义域为[0,)，所以f(x)不具有奇偶性，所以A不正确.

当x1时，x1，即f(x)1，所以C正确.

若x1x20时，

x1x2x1x2fx1fx22x1x2f2222=x1x22x1x2x1x2

42222

=2x1x2x1x24即fx1fx22x1x2420.

xxf12成立，所以D正确.

212．ABD

a,abmina,b解：因为，所以Fxminfx,gx,

b,ab22x2时，fxgx，Fxminfx,gxgxx2；

2x2或x2时，fxgx，Fxminfx,gxfx2x.

故Fxminfx,gx的图象如图所示：

Fx03有两个实数根x2或x2，由图可知，函数Fx是偶函数，故A正确；故B正确；函数Fx在2,0上单调递减，在0,2上单调递增，故C错误；函数Fx有最大值为0，无最小值，故D正确.

113．xx或x21

4因为不等式ax2bxc0的解集为2,4，

所以a<0且2和4是ax2bxc0的两根.

答案第8页，共7页

b24b6aa所以可得：，

cc8a24a所以cx2bxa0可化为：8ax26axa0，

因为a<0，所以8ax26axa0可化为8x26x10，

即2x14x10，解得：x11或x，

2411所以不等式cx2bxa0的解集为xx或x.

24114．0,

2因为g(x1)ax12(a0)在[1,2]上为增函数，所以g(x1)ming(1)2a，g(x1)maxg(2)2a2，所以g(x1)在[1,2]上的值域为[2a,2a2]，

2因为f(x2)x22x2在[1,2]上的最小值为f(1)1，最大值为f(1)3，所以f(x2)的值域为1,3，

又对任意的x11,2，存在x21,2，使得gx1fx2，则fx2的值域包含gx1的值域，即a2,2a21,3，则1a22a23，解得0a1，

215．k1

因为AB，

kxyk1

有解， 所以方程组xky2k22消去y可得：1kxkk，即1k1kxk1k

所以：1k0，即k1，

16．bca

∵定义在R上的偶函数f(x)∴fxf(x)，

∴axbaxb2，

x2cxcaxb，

x2c∴a0，

由图象可得f0∴bc0，

∴bca，

17．（1）Ub1且f(x)0，

c(AB)x∣x2或x3；（2）a2.

答案第9页，共7页

【详解】

∣x240x∣x2或x2，A{x∣1x3}， （1）∵Bx∣2x3， ∴ABx∴U(AB)x∣x2或x3；

∣xa0x∣xa，BCB，∴CB， （2）∵Cx∴a2.

x22x,x018．（1）f(1)1，f(2)0；（2）f(x)2；（3）图象答案见解析，增区间是(,1),(1,).

x2x,x0【详解】

解：（1）当x0时，f(x)x22x，所以f(1)1，

又f(2)f(2)0.

（2）因为yf(x)是定义在R上的奇函数，

当x0时，f(x)x22x；

当x0时，x0，f(x)(x)22(x)x22x，

所以f(x)f(x)x22x，

x22x,x0.

所以f(x)2x2x,x0x22x,x0（3）因为f(x)2，

x2x,x0由此作出函数f(x)的图象如图：

结合图象，知f(x)的增区间是(,1),(1,).

19．（1）f(x)【详解】

x；（2）证明见解析.

1x2（1）解：定义在(1,1)上的奇函数f(x)axb，

1x2答案第10页，共7页

f(0)0，b0，1a2122，f，152514a1，f(x)x；

1x2（2）证明：设x1，x2(0,1)且x1x2

1x22x1x21x12x1x21x1x2x1x2fx1fx2

221x121x221x121x221x11x20x11，0x21且x1x2x1x20，0x1x21fx1fx20

故函数fx在区间0,1上单调递增.

20．（1）16万元；（2）当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．

【详解】

(1)当x18时，此时在网络媒体上的投资为12万元，

1所以总收益f182218412216 (万元).

2(2)由题知，在报刊上投放的广告费为x万元，则在网络媒体上投放广告费为30x万元，

x4依题意得，解得4x26，

30x4所以fx22x41130x2x22x13，4x26

22121令tx，则t2,4，所以yt22t13=t2222217.

当t22，即x8万元时，y的最大值为17万元．

所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．

21．

（1）a2b2c2d2acbda2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2

2a2d22abcdb2c2adbc0，

2222因此，abcdacbd；

22（2）ab1，则ab23，

22a11b11a11b114

a2b2+1a1ba1b1a1b1111111a1b11

a1b13a1b1答案第11页，共7页

1a1b11a1b1121221，

3b1a13b1a131a2b21当且仅当ab时，等号成立，故+.

21a1b322．（1）f(0)0，f(1)2；证明见解析；（2）f(x)在R上为增函数；（3）a232.

【详解】

解：（1）令xy0，得f(00)f(0)f(0)，得f(0)0，

令x1,y1，得f(0)f(1)f(1)，得f(1)2；

令yx，得f(0)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，

所以f(x)为奇函数.

（2）令x1x2，所以x2x10，

所以fx2fx1fx2x1x1fx1

fx2x1fx1fx1

fx2x1，

因为x2x10，所以fx2x10，

所以fx2fx10，

即f(x)在R上为增函数.

22（3）因为fxaf(ax3)2，即fxaxa32，

2又f(1)2，所以fxaxa3f(1)，

又因为f(x)在R上为增函数，

所以x2axa31在x[1,)上恒成立；

得x2(x1)a20在x[1,)上恒成立，

当x1时，不等式为30，此时aR，

x22当x(1,)时，不等式可化简为a在x(1,)上恒成立，

x1x223(x1)2232， 因为x1x1x22当x13时，取最小值232，

x1所以a232，

综上，a的取值范围为a232

答案第12页，共7页


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