2024年4月9日发(作者：小生初分班数学试卷湖南)
第十七章—勾股定理
一、勾股定理
1.
概念：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么
a
2
+b
2
=c
2
.
2. 公式变形：
①：a
2
=c
2
-
b
2
,b
2
=c
2
-a
2
②:
c=
a
2
b
2
,a=
c
2
b
2
,b=
c
2
a
2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定
理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称
为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾
三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直
角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股
定理常见方法如下：
方法一：
4S
S
正方形EFGH
1
4ab(ba)
2
c
2
S
正方形ABCD
，
2
，化简可证．
D
H
E
F
b
A
c
G
a
C
B
1
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四
个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
1
S4abc
2
2abc
2
2
222
222
S(ab)a2abb
大正方形面积为 所以
abc
b
a
b
c
a
b
c
c
c
b
a
a
1
11
S
梯形
(ab)(ab)
S
梯形
2S
ADE
S
ABE
2abc
2
2
22
，化简得证 方法三：，
A
a
D
b
c
c
E
a
b
C
B
3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适
用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一
特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在
ABC
中，
C90
，则
ca
2
b
2
，
bc
2
a
2
，
ac
2
b
2
②知道直角三
角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些
实际问题.
2
5.勾股定理的常见类型：
（1）勾股定理在实际问题中的应用
一般情况下，遇到高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造
直角三角形、运用勾股定理求解。
例题：
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为
（1）已知a=12，b=5，求c；
（2）已知a=3，c=4，求b；
（3）已知c=10，b=9，求a.
2. 在△ABC中，∠C=90°，AB=c.
（1）如果∠A=30°，求BC,AC；
（2）如果∠A=45°，求BC,AC；
3. 在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1,BC=2.8.求：
（1）△ABC的面积；
（2）斜边AB；
（3）高CD.
3
c.
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,AC=2.求斜边AB的长。
5.在△ABC中，∠C=90°。
⑴已知AC=6，BC=8．求AB的长 ⑵已知AB=17，AC=15，求BC的长。
6.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑
物的高度是多少米？
7.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水
部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，
并求水池的深度AC.
4
二、勾股逆定理
1.概念：如果三角形三边长
a
，
b
，
c
满足
a
是直角三角形，其中
c
为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重
要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这
一定理时，可用两小边的平方和
a
2
2
b
2
c
2
，那么这个三角形
b
2
与较长边的平方
c
2
作比较，若它
2
们相等时，以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是直角三角形；若
a
时，以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是钝角三角形；若
a
b
，
c
为三边的三角形是锐角三角形；
2
b
2
c
2
，
b
2
c
2
，时，以
a
，
②定理中
a
，
b
，
c
及
a
2
b
2
c
2
只是一种表现形式，不可认为是唯一的，
2
如若三角形三边长
a
，
b
，
c
满足
ac
2
b
2
，那么以
a
，
b
，
c
为三边的
三角形是直角三角形，但是
b
为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于
两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
2.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
a
2
b
2
c
2
中，
a
，
b
，
c
为正整数时，称
a
，
b
，
c
为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如：3,4,5；6,8,10；
5,12,13；8,15,17；7,24,25；9,40,41.
3．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角
形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角
5
三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以
便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造
直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
3．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断
一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平
方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与
第三边的平方比较而得到错误的结论．
4.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密
不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角
形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解
C
C
C
30°
决．常见图形：
A
B
A
DB
B
D
A
5.互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的
两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫
做它的逆命题。
例题：
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
6
（2）a=13，b=14，c=15.
2. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=7，b=24，c=25；
（2）a=
41
，b=4，c=5；
（3）a= ，b=1，c=；
（4）a=40，b=50，c=60.
3. 小明向东走80米后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走
100m回到原地。小明向东走80m后向那个方向走的？
4. 在△ABC中，AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求AC.
5. （1）若△ABC的三边a，b，c，且a+b=4，ab=1，c=
14
，试说明
△ABC是直角三角形。
（3）△ABC的三边a，b，c满足a
2
+b
2
+c
2
+50=6a+8b+10c.试判断△ABC
的形状。
7
5
4
3
4
6. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且
CF=CD.求证∠AEF=90°.
练习题
一、填空题
1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
图(1)
2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，
杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
C
D
E
O
B
F
A
第3题图
1
4
3．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，
AC和BC的距离分别等于 cm
8
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另
一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则
这棵树高_____________________米。
D
B
A
C
第4题图
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台
阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B
点最短路程是_____________.
A
20
3
2
B
二、选择题
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
2．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
3．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已
知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
E
D
A
20m 30m
150°
第6题图
B
C
F
第7题图
7．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重
合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
8．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
9
9. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
（A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
B
C
A
三、计算
1、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，
两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠
站的距离之和最小。问最小是多少？
B
A
l
2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直
角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板
顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不
能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直
角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时
AP的长；若不能，请你说明理由.
10
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