北京市朝阳区2022届高三二模数学答案

2024年3月19日发(作者：衡水一中高中数学试卷答案)

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学 参考答案

2022.5

一、选择题：（本题满分40分）

题号

答案

1

B

2

B

3

A

4

A

5

C

6

A

7

D

8

C

9

D

10

D

二、填空题：（本题满分25分）

题号

答案

11 12 13

AB



（答案不唯一）

6

14

52

45

15

①④

x1

5

三、解答题：（本题满分85分）

（16）（本小题13分）

解：由题可知，

f(x)cos

2



x3sin



xcos



xm



311

sin2



xcos2



xm

222

π1

sin(2



x)m

．

62

选择①②：

（Ⅰ）因为

T

2π



π

，所以



1

．

2



11

，所以

m

．

22

又因为

f(0)1m

π

所以

f(x)sin(2x)

．

6

当

2x

πππ

2kπ

，

kZ

，即

xk

π



，

kZ

时，

f(x)1

.

623

所以函数

f(x)

的最小值为

1

．

..................................................................... 9

分

π

（Ⅱ）令

sin(2x)0

，

6

则

2x

π

kπ

，

kZ

，

6

k

ππ



，

kZ

．

212

1

所以

x

当

k1,2

时，函数

f(x)

的零点为

5π11π

,

，

1212

由于函数

f(x)

在区间

[0,t]

上有且仅有1个零点，

所以

5π11π

≤t

．

1212

所以

t

的取值范围是

[

选择①③：

（Ⅰ）因为

T

5π11π

,)

．

................................................................... 13

分

1212

2π



π

，所以



1

．

2



33



，

22

又因为函数

f(x)

的最大值为

m

所以

m0

．

π1

所以

f(x)sin(2x)

．

62

当

2x

πππ

2kπ

，

kZ

，即

xk

π



，

kZ

时，

623

π

sin(2x)1

，

6

所以函数

f(x)

的最小值为

1

π1

（Ⅱ）令

sin(2x)0

，

62

11



．

..................................................... 9

分

22

则

2x

π7π11

2kπ+π

，

kZ

，或

2x2kπ+π

，

kZ

，

6666

π

5

，

kZ

，或

xk

π+π

，

kZ

．

26

所以

xk

π+

π5π

当

k0

时，函数

f(x)

的零点分别为

,

，

26

由于函数

f(x)

在区间

[0,t]

上有且仅有1个零点，

所以

π5π

≤t

．

26

π5π

所以

t

的取值范围是

[,)

．

....................................................................... 13

分

26

（17）（本小题14分）

解：（Ⅰ）连接

A

1

D

，设

A

1

DAD

1

O

，连接

OE

,

EF

,

B

1

C

．

在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，因为

A

1

B

1

∥CD

，且

A

1

B

1

CD

，

2

所以四边形

A

1

B

1

CD

是平行四边形．

所以

A

1

D∥B

1

C

,且

A

1

DB

1

C

．

因为

E

，

F

分别是

CC

1

,

B

1

C

1

的中点，

所以

FE∥B

1

C

,且

FE

1

B

1

C

．

2

在矩形

A

1

ADD

1

中,

O

是

A

1

D

的中点，

所以

AO

FE

．

1

1

∥FE

,且

AO

所以四边形

AOEF

是平行四边形．

1

所以

A

1

F∥OE

．

因为

A

1

F

平面

AED

1

,

OE

平面

AED

1

,

所以

A

1

F∥

平面

AED

1

． .................................................................................. 5分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz

，

则

D(0,0,0)

，

A(2,0,0)

，

D

1

(0,0,4)

，

E(0,2,2)

，

H(2,2,1)

,

N(0,1,0)

.

所以

AD

1

(2,0,4)

，

D

1

E(0,2,2)

．

设平面

AED

1

的一个法向量为

m(x,y,z)

，





mAD

1

0,



2x4z0,

则



即



2y2z0.





mD

1

E0,



令

z1

，则

x2

，

y1

．

所以

m(2,1,1)

．

因为

NH(2,1,1)

，

所以

NH=m

.

所以

NH

平面

AED

1

.

因为

m(2,1,1)

，

NA(2,1,0)

．

设

AN

与平面

AED

1

所成角为



，则

sin



|cosNA,m|

|NAm||410|30



．

10

|NA||m|

41411

30

． ............................................. 14分

10

即

AN

与平面

AED

1

所成角的正弦值为

（18）（本小题13分）

解：（Ⅰ）设事件

A

：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入．

所以

P(A)0.750.60.45

． ......................................................................... 3分

3

（Ⅱ）由题意可知，

X

的所有可能取值为

3000

，

5000

，

7500

．

P(X3000)0.250.40.1

，

P(X5000)0.750.40.250.60.45

，

P(X7500)0.750.60.45

．

所以

X

的分布列为

0.1 0.45 0.45

的数学期望

E(X)30000.150000.4575000.455925

．

X

P

3000 5000 7500

所以

X

............................................................................................................................. 10

分

（Ⅲ）选择种植此品种中药材.理由如下：

以第（Ⅱ）问的期望作为决策依据，

则种植10亩中药材年纯收入为

5925105925045000

，

所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材． ..................... 13分

参考1：

选择种植此品种中药材.理由如下：

由（Ⅱ）知种植中药材纯收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，比纯收入

低于45000元的概率要大，所以该农民下一年可以选择在这块土地种植此品种中

药材．

参考2：

不选择种植此品种中药材.理由如下：

由（Ⅱ）知种植中药材收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，纯收入低于

45000元的概率虽只有0.1，但概率小的事件也可能发生，所以该农民下一年可以

不选择在这块土地种植此品种中药材．

（其他解答酌情给分）

（19）（本小题15分）



b1,



2



c

解：（Ⅰ）由题意知





解得

a2

，

b1

．

,

a2





a

2

b

2

c

2

,



x

2

所以椭圆

C

的方程为

y

2

1

． ............................................................... 4分

2

（Ⅱ）设

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

，

x

1

0

，

x

2

0

，

则

k

1



y

1

1

y1

，

k

2



2

，

x

1

x

2

4

若

x

1

x

2

，则

y

1

y

2

或

y

1

y

2

．

当

x

1

x

2

，

y

1

y

2

时，

k

1

k

2

，不合题意，

当

x

1

x

2

，

y

1

y

2

时，

k

1

k

2



1

1

，不合题意．

2

所以直线

AB

的斜率存在，设直线

AB

的方程为

ykxm

．





ykxm,

由



2

得

(12k

2

)x

2

4kmx2m

2

20

，

2





x2y20

16k

2

m

2

4(12k

2

)(2m

2

2)8(2k

2

m

2

1)0

．

2m

2

2

4km

则

x

1

x

2



，

x

1

x

2



，且

m

2

1

．

2

2

12k

12k

因为

k

1

k

2

1

，

所以

y

1

1y

2

1

(kxm1)(kx

2

m1)

1

，即

1

1

，

x

1

x

2

x

1

x

2

所以

(k

2

1)x

1

x

2

k(m1)(x

1

x

2

)(m1)

2

0

，

2m

2

24km

所以

(k1)k(m1)()(m1)

2

0

，

22

12k12k

2

所以

(m1)(m3)0

，

所以

m3

或

m1

（舍）．

所以直线

AB

经过定点

(0,3)

．..................................................................... 15分

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）因为

f(x)xsinxcosx

，

所以

f



(x)sinxxcosxsinxxcosx

．

当

x

(0,

时，

f



(x)

与

f(x)

的变化情况如表所示：

x

f



(x)

f(x)



(0,)

2



2



()

2





单调递增

0



2

单调递减



所以当

x

(0,

时，函数

f(x)

的单调递增区间为

(0,)

，

2



函数

f(x)

的单调递减区间为

()

． ............................................................. 6分

2

（Ⅱ）当

x[,]

时，

f(x)f(x)

，所以函数

f(x)

为偶函数．





所以当

x[,]

时，函数

f(x)

的单调递增区间为

()

，

(0,)

，

2

2

5



函数

f(x)

的单调递减区间为

(,0)

，

()

,

22



所以函数

f(x)

的最大值为

f()f()

．

222

设

h(x)

111

f(x)

，则当

x[,]

时，

h(x)

max



．

2224

对任意

x

1

[,]

，存在

x

2

[0,1]

，使得

h(x

1

)≤g(x

2

)

成立，

等价于

h(x)

max

≤g(x)

max

．

（1） 当

a≤0

时，函数

g(x)

在区间

[0,1]

上的最大值为

g(0)0

，不合题意．

（2） 当

0a1

时，函数

g(x)

在区间

[0,1]

上的最大值为

g(a)a

2

，

则

a

2

≥

1

11

，解得

a≥

或

a≤-

，

22

4

1

所以

≤a1

．

2

（3） 当

a≥1

时，函数

g(x)

在区间

[0,1]

上的最大值为

g(1)2a1

，

15

则

2a1≥

，解得

a≥

，

48

所以

a≥1

.

1

综上所述，

a

的取值范围是

[,)

． ............................................................ 15分

2

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）当



(2,0,2,1)

时，

T(



)(2,2,1,1)

，

T

2

(



)(0,1,0,1)

，

T

3

(



)(1,1,1,1)

，

T

4

(



)(0,0,0,0)

；

当



(2,0,2,2)

时，

T(



)(2,2,0,0)

，

T

2

(



)(0,2,0,2)

，

T

3

(



)(2,2,2,2)

，

T

4

(



)(0,0,0,0)

． ........................................................ 4分

（Ⅱ）因为



(x

1

,x

2

,x

3

,x

4

)

，所以

T(



)(|x

1

x

2

|,|x

2

x

3

|,|x

3

x

4

|,|x

4

x

1

|)

，

又因为

T

2

(



)(1,1,1,1)

，所以



|x

1

x

2

||x

2

x

3

|1,





|x

2

x

3

||x

3

x

4

|1,



|xx||xx|1,



3441





|x

4

x

1

||x

1

x

2

|1.

因为

x

i

{0,1}(i1,2,3,4)

，

6

当

x

1

0

时，

|x

4

x

1

||x

1

x

2

||x

4

x

2

|1

，

当

x

1

1

时，

|x

4

x

1

||x

1

x

2

||(1x

4

)(1x

2

)||x

2

x

4

|1

．

同理，当

x

2

0

或

1

时，都有

|x

1

x

2

||x

2

x

3

||x

1

x

3

|1

；

当

x

3

0

或

1

时，都有

|x

2

x

3

||x

3

x

4

||x

2

x

4

|1

；

当

x

4

0

或

1

时，都有

|x

3

x

4

||x

4

x

1

||x

3

x

1

|1

．



|x

1

x

2

||x

2

x

3

|1,





|x

1

x

3

|1,



|x

2

x

3

||x

3

x

4

|1,

所以



等价于



|xx|1.



24



|x

3

x

4

||x

4

x

1

|1,





|x

4

x

1

||x

1

x

2

|1

所以

x

1

x

3

，

x

2

x

4

．

当

x

1

0,x

2

0

时，经检验



(0,0,1,1)

符合题意，

当

x

1

0,x

2

1

时，经检验



(0,1,1,0)

符合题意，

当

x

1

1,x

2

0

时，经检验



(1,0,0,1)

符合题意，

当

x

1

1,x

2

1

时，经检验



(1,1,0,0)

符合题意．

所以



的所有可能结果为

(0,0,1,1)

，

(0,1,1,0)

，

(1,0,0,1)

，

(1,1,0,0)

． ...... 10分

（Ⅲ）存在正整数

n

使得

T

n

(



)(0,0,0,0)

，

且

n

的所有取值为

nN



n≥6

.理由如下：

若



(x

1

,x

2

,x

3

,x

4

)A

满足

x

1

x

2

x

4

x

3

，

则

T(



)(x

1

x

2

,x

2

x

3

,x

4

x

3

,x

1

x

4

)

，

T

2

(



)(|x

1

x

3

2x

2

|,x

2

x

4

,|x

1

x

3

2x

4

|,x

2

x

4

)

．



设

a|x

1

x

3

2x

2

|

，

b|x

1

x

3

2x

4

|

，

则

T

3

(



)(|x

2

x

4

a|,|x

2

x

4

b|,|x

2

x

4

b|,|x

2

x

4

a|)

．

设

c||x

2

x

4

a||x

2

x

4

b||

，

则

T

4

(



)(c,0,c,0)

，

T

5

(



)(c,c,c,c)

，

T

6

(



)(0,0,0,0)

．

所以，对满足

x

1

x

2

x

4

x

3

的任意



(x

1

,x

2

,x

3

,x

4

)A

，都有

T

6

(



)(0,0,0,0)

．

当正整数

n7

时，

T

n

(



)(0,0,0,0)

.

当



(6,3,1,2)

时，

T







(3,2,1,4)

，

T

2







(1,1,3,1)

，

T

3







(0,2,2,0)

，

T

4







(2,0,2,0)

，

T

5







(2,2,2,2)

，

T

6







(0,0,0,0)

.

7

所以

n

的所有取值为

{nN



|n6}

． ............................................................. 15分

8