2024年3月19日发(作者：小学数学试卷调查)

北京市朝阳区2022届高三二模数学试题

一、单选题

1

．集合

A

1,2,3,4

,B{xx2}

，则

AIB

（

）

A

．

{1,2}

【答案】

B

【分析】交集即是求解两集合的公共部分，进而确定选项

.

【详解】

QA

1,2,3,4

,B{xx2}

集合

A

与集合

B

的公共元素为：

3,4

，

B

．

{3,4}

C

．

{2,3,4}

D

．

{1,2,3,4}

AIB

3,4

.

故选：

B.

2

．在复平面内，复数

A

．第一象限

【答案】

B

【详解】试题分析：

z

象限

考点：复数运算

点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数，复数

abi

对应的点为

a,b

i

对应的点位于

1i

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

i

1

i

i

1

i11

11



i

对应的点为

,

在第二

1

i

1

i



1

i

222

22

x

2

3

．已知双曲线

C:

2

y

2

1(a

0)

的一条渐近线方程为

yx

，则

C

的离心率为（

）

a

A

．

2

【答案】

A

【分析】根据已知渐近线确定双曲线参数，进而求其离心率

.

【详解】由题设双曲线渐近线为

y



1

x

，而其中一条为

yx

，

a

B

．

3

C

．

2D

．

5

所以

a1

，则

ca

2

b

2

2

，故

C

的离心率为

2

.

故选：

A

34

4

．已知角

的终边经过点

P

,

，则

sin2

（

）

55

7

24

7

A

．

B

．

C

．

25

25

25

D

．

24

25

试卷第1页，共18页

【答案】

A

【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求

sin2

.

43

4324

【详解】由题设

sin

,cos



，而

sin2

2sin

cos

2



(

)



.

5525

55

故选：

A

5

．过点

(1,2)

作圆

x

2

y

2

5

的切线，则切线方程为（

）

A

．

x1

B

．

3x4y50

C

．

x2y50

D

．

x1

或

x2y50

【答案】

C

【分析】讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程

.

【详解】由圆心为

(0,0)

，半径为

5

，

斜率存在时，设切线为

yk(x1)2

，则

d

|2

k|

1

5

，可得

k

，

2

1

k

2

1

所以

y(x1)2

，即

x2y50

，

2

斜率不存在时

x1

，显然不与圆相切；

综上，切线方程为

x2y50

.

故选：

C

6

．

“

mn0

”

是

“

(mn)

log

2

mlog

2

n

0

”

的（

）

A

．充分而不必要条件

B

．必要而不充分条件

C

．充分必要条件

必要条件

【答案】

A

【分析】首先根据不等式的性质，求解出

(mn)

log

2

mlog

2

n

0

，进而根据逻辑关

系进行判断即可

.

【详解】对于

(mn)

log

2

mlog

2

n

0

等价为：

D

．既不充分也不

m

n

0m

n

0



或



log

2

m

log

2

n

0

log

2

m

log

2

n

0

m

nm

n



即：

或

log

2

m

log

2

n

log

2

m

log

2

n

解得：

mn0

或

0mn

，

“

mn0

”

是

“

(mn)

log

2

mlog

2

n

0

”

的充分不必要条件

.

故选：

A.

试卷第2页，共18页

7

．已知

l

，

m

是两条不同的直线，

,

是两个不同的平面，下面正确的结论是（

）

A

．若

l//

,m//

，则

l//m

C

．若

l

,lm

，则

m//

【答案】

D

【分析】根据线面、面面的位置关系，由平面的基本性质判断线线、线面关系

.

【详解】

A

：

l//

,m//

，则

l,m

可能平行、相交或异面，错误；

B

：

m//

,

，则

m,

可能相交、平行或

m

，错误；

C

：

l

,lm

，则

m,

平行或

m

，错误；

D

：

l

,m

，则

l//m

，又

m

，故

l

，正确

.

故选：

D

8

．

ISO216

是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了

A

，

B

系列的

纸张尺寸．设型号为

A0,A1,A2,A3,A4,A5,A6

的纸张的面积分别是

a

0

,a

1

,a

2

,a

3

,a

4

,a

5

,a

6

，

它们组成一个公比为

2

的等比数列，设型号为

B1,B2,B3,B4,B5,B6

的纸张的面积分别是

1

B

．若

m//

,

，则

m

D

．若

l

,m

,m

，则

l

b

1

,b

2

,b

3

,b

4

,b

5

,b

6

已知

b

i

2

a

i

1

a

i

(i

1,2,3,4,5,6)

，则

A

．

2

【答案】

C

1

a

4

的值为（

）

b

5

B

．

2

2

C

．

2

D

．

2

2

【分析】利用

a

i

是等比数列以及

b

i

a

i

1

a

i

，令

i5

求解即可

.

2

【详解】

Q

b

i

a

i

1

a

i

，令

i5

，

b

5

2

a

4

a

5

又

Qa

0

,a

1

,a

2

,a

3

,a

4

,a

5

,a

6

组成一个公比为

2

的等比数列，

b

5

2

a

4

a

5

a

4

a

4

11

2

a

4

，

22

1

又

a

4

0,b

5

0

，

a

4

2

.

b

5

故选：

C.

uuuruuuur

9

．已知

M

为

VABC

所在平面内的一点，

|MB||MC|1

，且

uuuruuuruuuuruuuruuuur

uuruur

1

AB

MB

MC,MB

MC



，则

CACB

（

）

2

A

．

0

【答案】

D

试卷第3页，共18页

B

．

1C

．

3

D

．

3

【分析】由向量加减、数乘的几何意义知

M

为

AC

中点，根据已知求得

C

6

、

uuruur

AC2

、，由向量数量积的定义求

BC3

CACB

即可

.

uuuruuuuruuuuruuuur

uuuruuuruuuur

【详解】由

ABMBMC

，则

ABBMAMMC

，

所以

A,M,C

共线，即

M

为

AC

中点，如下图：

uuuruuuur

uuuruuuur

1

1

又

|

MB

||

MC

|1

且

MBMC

，即

cosBMC

，而

BMC(0,

)

，

2

2

所以

BMC

2

，故

C

，则

BC3

，

AC2

，

6

3

uuuruuuruuuruuur

所以

CACB|CA||CB|cosC3

.

故选：

D

10

．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量

P

（单位：

mg/L

）与时间

t

（单位：

h

）间的关系为

P

P

0

e

kt

，其中

P

0

，

k

是正的常数．如果在前

10h

污染物减少

19%

，那么再过

5h

后污染物还剩余（

）

A

．

40.5%

【答案】

D

【分析】根据给定的函数模型及已知可得

e

5k

0.9

，再计算

5h

后污染物剩余量

.

10k

【详解】由题设，

(1

19%)P

0

P

0

e

，可得

e

5k

0.9

，

B

．

54%

C

．

65.6%

D

．

72.9%

再过

5

个小时，

P

(1

19%)P

0

e

所以最后还剩余

72.9%

.

故选：

D

5k

(0.81

0.9)P

0

0.729P

0

，

二、填空题

11

．抛物线

y

2

4x

的准线方程为

__________.

【答案】

x=

1

试卷第4页，共18页

【分析】抛物线

y

2

2px

的准线方程为

x

【详解】抛物线

y

2

4x

的准线方程是

x=

1

.

故答案为：

x=

1

.

p

，由此得到题目所求准线方程

.

2

12

．在

(xx)

5

的展开式中，

x

3

的系数是

_________

．（用数字作答）

【答案】

5

【分析】写出二项式的通项公式，判断含

x

3

的

r

值，进而求其系数

.

【详解】由

T

r

1

Cx

r5

r

5

(x)

Cx

rr

5

5

r

2

，

433

当

r4

时

T

5

C

5

x5x

，故

x

3

的系数是

5.

故答案为：

5

13

．已知

VABC

的三个角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，则能使

组

A

，

B

的值是

________

．

【答案】

AB

cosAb

成立的一

cosBa

π

（答案不唯一）

6

【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式得到等式，进而写出一组值即

可

.

【详解】由正弦定理得：

a2RsinA,b2RsinB

，

Q

cosAb

cosAsinB

，

，

cosBsinA

cosBa

sinAcosAsinBcosB

，

sin2Asin2B

，

QA

0,π

,B

0,π

AB

π

（答案不唯一）

.

6

故答案为：

AB

π

（答案不唯一）

.

6

14

．如图，在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

，中，

E

，

F

，

G

分别为棱

A

1

A,A

1

B

1

,A

1

D

1

上的点

（与正方体顶点不重合），过

A

1

作

A

1

H

平面

EFG

，垂足为

H

．设正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为

1

，给出以下四个结论：

试卷第5页，共18页

①

若

E

，

F

，

G

分别是

A

1

A,A

1

B

1

,A

1

D

1

的中点，则

A

1

H

3

；

6

②

若

E

，

F

，

G

分别是

A

1

A,A

1

B

1

,A

1

D

1

的中点，则用平行于平面

EFG

的平面去截正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

，得到的截面图形一定是等边三角形；

③

VEFG

可能为直角三角形；

④

1111



22

．

A

1

E

2

A

1

F

2

AGAH

11

其中所有正确结论的序号是

________

．

【答案】

①④

【分析】

①

等体积法

V

A

1

EFG

V

E

A

1

FG

判断；

②

根据正方体的性质画出平行于平面

EFG

的可能截面情况；

③

由正方体性质，通过定两点，移动另一点判断

VEFG

的内角变化趋

④

设

aA

1

E,bA

1

F,cA

1

G,hA

1

H

，利用等体积法，结合正余弦定理、三角势即可；

形面积公式、锥体体积公式化简即可判断

.

【详解】

①

由

V

A

1

EFG

V

E

A

1

FG

11

123

A

1

E

A

1

F

A

1

G

，而

S

V

EFG

()

2

sin60

，

648

228

11

3

所以

A

1

HS

V

EFG

，可得

A

1

H

，正确；

348

6

②

根据正方体的性质平行平面

EFG

的平面有如下情况：

当截面在面

AB

1

D

1

与面

BDC

1

之间时为六边形，在面

AB

1

D

1

左上或面

BDC

1

右下时为等边

三角形，错误；

③

E,F

分别在

A

1

A,A

1

B

1

上不为顶点任意点，当

G

从

A

1

到

D

1

过程

EGF

递减，即小于

90

，

同理知：

GEF,EFG

也小于

90

，

VEFG

不可能为直角三角形，错误；

试卷第6页，共18页

④

若

aA

1

E,bA

1

F,cA

1

G,hA

1

H

，又

V

A

1

EFG

V

E

A

1

FG

，即

A

1

EA

1

FA

1

GA

1

HGEGFsinEGF

，

所以

abc

h(a

c)(b

c)

1

(

2222

a

2

c

2

b

2

c

2

a

2

b

2

2(a

2

c

2

)(b

2

c

2

)

)

2

，

则

abcha

2

b

2

a

2

c

2

b

2

c

2

，即

a

2

b

2

c

2

h

2

(a

2

b

2

a

2

c

2

b

2

c

2

)

，

所以

1111

1111





，即

22

，正确；

A

1

E

2

A

1

F

2

AGAH

h

2

a

2

b

2

c

2

11

故答案为：

①④

【点睛】关键点点睛：

①④

应用等体积法计算或转化，

②

由正方体性质及平面的基本

性质作出截面判断；

③

根据正方体的性质，动点分析三角形的内角变化趋势

.

三、解答题

15

．已知函数

f(x)cos

2

x3sin

xcos

xm(

0,mR)

．再从条件

①

、条件

②

、条件

③

这三个条件中选择能确定函数

f(x)

的解析式的两个作为已知．

(1)

求

f(x)

的解析式及最小值；

(2)

若函数

f(x)

在区间

0,t

(t0)

上有且仅有

1

个零点，求

t

的取值范围．

条件

①

：函数

f(x)

的最小正周期为

；

1

条件

②

：函数

f(x)

的图象经过点

0,

；

2

3

条件

③

：函数

f(x)

的最大值为．

2

注：如果选择的条件不符合要求，得

0

分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按

第一组解答计分．

π

【答案】

(1)

选择

①②

：

f(x)sin(2x)

，

f(x)

的最小值为

1

；选择

①③

：

6

π1

1

f(x)sin(2x)

，

f(x)

的最小值为

；

2

62

(2)

选择

①②

：

t

的取值范围是

5π11π



π5π

,

；选择

①③

：

t

的取值范围是

,

.

1212



26

【分析】（

1

）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简

f

x

，然后根据条件

①②

或

①③

求其解析式即可，若选择

②③

，

m

的取值有两个，舍去；

（

2

）根据零点即是函数图像与

x

轴的交点横坐标，令

f

x

0

求出横坐标，即可判断

t

试卷第7页，共18页

的取值范围

.

【详解】（

1

）

由题可知，

f(x)cos

2

x3sin

xcos

xm

311

sin2

x

cos2

xm

222

π1

sin(2

x

)

m

．

62

选择

①②

：

因为

T

2π

π

，所以

1

．

2

1

1

又因为

f(0)1m

，所以

m

．

2

2

π

所以

f(x)sin(2x)

．

6

当

2x

π

ππ

2kπ

，

kZ

，即

xkπ

，

kZ

时，

f(x)1

.

62

3

所以函数

f(x)

的最小值为

1

．

选择

①③

：

因为

T

2π

π

，所以

1

．

2

3

2

3

，

2

又因为函数

f(x)

的最大值为

m

所以

m0

．

π1

所以

f(x)sin(2x)

．

62

当

2x

π

ππ

2kπ

，

kZ

，即

xkπ

，

kZ

时，

62

3

π

sin(2x)1

，

6

所以函数

f(x)

的最小值为

-1+

选择

②③

：

11

=-

．

22

1

1

因为

f(0)1m

，所以

m

，

2

2

因为函数

f(x)

的最大值为

m

3

2

3

，所以

m0

2

Qm

的取值不可能有两个，

无法求出解析式，舍去

.

（

2

）选择

①②

：

令

sin(2x)0

，

π

6

试卷第8页，共18页

则

2x

π

kπ

，

kZ

，

6

kππ

，

kZ

．

212

5π11π

,

，

1212

所以

x

当

k1,2

时，函数

f(x)

的零点为

由于函数

f(x)

在区间

[0,t]

上有且仅有

1

个零点，

所以

5π11π

t

．

1212

所以

t

的取值范围是

选择

①③

：

5π11π

,

．

1212

令

sin(2

x

)



0

，

则

2

x

π7π11

2

k

π+π

，

kZ

，或

2

x

2

k

π+π

，

kZ

，

6666

π

6

1

2

所以

xk

π+

，

kZ

，或

xk

π+π

，

kZ

．

当

k0

时，函数

f(x)

的零点分别为

,

π5π

，

26

π

2

5

6

由于函数

f(x)

在区间

[0,t]

上有且仅有

1

个零点，

所以

t

π

2

5π

．

6

所以

t

的取值范围是

,

π5π

．

26

16

．如图，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面

ABCD

是边长为

2

的正方形，

DD

1

4

，

E

，

F

分别是

CC

1

,B

1

C

1

的中点．

(1)

求证：

A

1

F

∥

平面

AED

1

；

(2)

设

H

在棱

BB

1

上，且

BH

1

BB

1

，

N

为

CD

的中点，求证：

NH

平面

AED

1

；并求直

4

线

AN

与平面

AED

1

所成角的正弦值．

试卷第9页，共18页


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