2024年2月29日发(作者：数学试卷中考汕头)

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上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题

宝山区、嘉定区

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在劣弧AB上，OA10，AC12，AC∥OB，联结AB.

（1）如图8，求证：AB平分OAC；

（2）点M在弦AC的延长线上，联结BM，如果△AMB是直角三角形，请你在如图9中画出

点M的位置并求CM的长；

（3）如图10，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D与点C的

距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

C

A

A

O

C

A

O

O

D

E

C

B

B

B

图图图

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25.（1）证明：∵AO、BO是圆O的半径

∴AOBO…………1分

∴OABB…………1分

∵AC∥OB

∴BACB…………1分

∴OABBAC

∴AB平分OAC…………1分

(2)解：由题意可知BAM不是直角，

所以△AMB是直角三角形只有以下两种情况:

AMB90和ABM90

A

C

O

B

图① 当AMB90，点M的位置如图9-1……………1分

过点O作OHAC,垂足为点H

∵OH经过圆心 ∴AHHCAC

∵AC12 ∴AHHC6

在△AHO中，AH2A

H

C

M

12

O

HOOA22

B

∵OA10 ∴OH8

图9-1

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∵AC∥OB ∴AMBOBM180

∵AMB90 ∴OBM90

∴四边形OBMH是矩形

∴OBHM10

∴CMHMHC4……………2分

②当ABM90，点M的位置如图9-2

25

5AB2在△ABM中，cosCAB5

AM5A

C

O

由①可知AB85，cosCABM

B

图9-2

∴AM20

CMAMAC8……………2分

综上所述，CM的长为4或8.

说明：只要画出一种情况点M的位置就给1分，两个点都画正确也给1分.

（3）过点O作OGAB,垂足为点G

由（1）、（2）可知，sinOAGsinCAB

由（2）可得：sinCAB∵OA10∴OG2∵AC∥OB∴又AE8∴BE85BE55A

O

D

E

G

分

分

5……………1

BEOB……………1AEADC

B

5BE,AD12x,OB10

图1012x ∴BE80522x ……………1分

∴y11805BEOG25

2222x

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∴y400……………122x分

自变量x的取值范围为0x12……………1分

长宁区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

在圆O中，C是弦上的一点，联结并延长，交劣弧于点D，联结、、、. 已知圆O的半径长为5 ，弦的长为8．

（1）如图1，当点D是弧的中点时，求的长；

（2）如图2，设，出定义域；

（3）若四边形是梯形，求的长．

AOCDSACOy，求SOBDy关于x的函数解析式并写OCDOBABAB

图1 图2

第25题备用

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25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

解：（1）∵过圆心，点D是弧的中点，8，

∴⊥（2分）

在△中，ACO90，5，

∴（1分）

OD5，AC1AB4

2COAO2AC23

，CDODOC2

（1分）

（2）过点O作⊥，垂足为点H，则由（1）可得4，3

∵，∴CH|x4|

在△中，CHO90，5，

∴COHO2HC232|x4|2x28x25， （1分）

SACOSACOSOBCACOCxx28x25∴y

SOBDSOBCSOBDBCOD8x5xx28x25

405x （0x8）

（3分）

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（3）①当时， 过点A作⊥交延长线于点E，过点O作⊥,垂足为点F，

则，

SABOABOHOBAE ∴AE在△中，AFO90，5，

∴AFAO2OF2 ∵过圆心，⊥，∴AD2AF分）

②当时， 过点B作⊥交延长线于点M，过点D作⊥，垂足为点G，

24， 在△中，DGO90，5，

57718∴GODO2DG2，AGAOGO5，

555751451212ABOH24OF

OB5. （3则由①的方法可得DGBM在△中，DGA90，∴ADAG2DG26 （ 3分）

综上得AD崇明区

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）

如图，已知△ABC中，AB8，BC10，AC12，D是边上一点，且AB2ADAC，联结，点E、F分别是、上两点（点E不与B、C重合），AEFC，与相交于点G．

（1）求证：平分ABC；

（2）设BEx，CFy，求y与x之间的函数关系式；

（3）联结，当△GEF是等腰三角形时，求的长度．

14或6

5

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25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

（1）∵AB8，AC12 又∵AB2ADAC

∴CD12AD163A

D

F

G

B

E

（第25题图）

A

D

C

B

（备用图）

C

∴1620 ……………………………1分

33ADABABAC∵AB2ADAC ∴又∵∠BAC

是公共角 ∴△ADB∽△ABC …………………………1分

∴∠ABD∠C，∴BD203BDAD

BCAB ∴BDCD ∴

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∠DBC∠C ………………………1分

∴∠ABD∠DBC

分

∴BD平分∠ABC ………………………1（2）过点A作AH∥BC交BD的延长线于点H

16ADDHAH43 ∵AH∥BC ∴DCBDBC2053∵BDCDBH12 ……1分

203，AH8 ∴ADDH163 ∴∵BGAH∥BC ∴AHHGBEBG ∴8x12BGBG ∴12x…1分

x8∵∠BEF∠C∠EFC 即∠BEA∠AEF∠C∠EFC

∵∠AEF∠C ∴∠BEA∠EFC 又∵∠DBC∠C

∴△BEG∽△CFE ……………………………………………………………1分

∴∴x22x80y …………………………………………………12BEBG ∴CFEC12xxx8

y10x………1分

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（3）当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：

1°

GEGF 易证

BE4 ………2分

GEBE2EFCF3 ，即x2y3，得到 2°

EGEF 易证BECF，即xy，BE5105 …………2分

3°

FGFE 易证

BE389 ………2分

GEBE3EFCF2 ，即x3

y2

奉贤区

25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）

已知：如图9，在半径为2的扇形中，∠90°，点C在半径上，的垂直平分线交于点D，交弧于点E，联结、．

（1）若C是半径中点，求∠的正弦值；

（2）若E是弧的中点，求证：BE2BOBC；

（3）联结，当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．

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D

C

图9

B

O

B

O

B

备用A

E

A

A

O

备用

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黄浦区

25．（本题满分14分）

如图，四边形中，∠∠90°，E是边的中点.已知1，2.

（1）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）当∠70°时，求∠的度数；

（3）当△为直角三角形时，求边的长.

25. 解：（1）过A作⊥于H，————————————————————（1分）

由∠∠90°，得四边形为矩形.

在△中，2，∠90°，，x1，

所以22y2x12，——————————————————————（1分）

则yx22x30x3.———————————————（2分）

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（2）取中点T，联结，————————————————————（1分）

则是梯形中位线，得∥，⊥.

∴∠∠70°. ———————————————————————（1分）

又1，

∴∠∠∠35°. ——————————————————（1分）

由垂直平分，得∠∠35°，————————————（1分）

所以∠70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）

（3）当∠90°时，

易知△≌△≌△，得∠30°，

则在△中，∠60°，∠90°，2，

得1，于是2. ——————————————————————（2分）

当∠90°时，

易知△∽△，又ACBC2AB2x24，

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则ADCAACCB1x42x24117x（舍负）———x2——（2分）

易知∠<90°.

所以边的长为2或——————（1分）

1172.————————————

金山区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）

如图9，已知在梯形中，∥，5，sinB3，P是线段上

5一点，以P为圆心，为半径的⊙P与射线的另一个交点为Q，射线与射线

相交于点E，设．

（1）求证△∽△；

（2）如果点Q在线段上（与点A、D不重合），设△的面积为y，

求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果△与△相似，求的长．

A

B

E

Q

D

P

C

B

A

D

C

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25．解：（1）在⊙P中，，∴∠

＝∠，……………………………（1分）

∵∥，∴∠

＝∠，∠

＝∠，∴∠

＝∠，……（1分）

∵梯形中，∥，，∴∠B

＝∠C，…………………………（1分）

∴△∽△．…………………………………………………………（1分）

（2）作⊥，⊥，

∵∥，∴∥，∴四边形是平行四边形，

∴，．………………………………………………………（1分）

在△中，∠90°，5，，

∴3，4，∴3，4，……………………………………（135

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分）

∵⊥，∴，∴

28，……………………………………（1分）

∴11yAQPN2x8322，即y3x12，………………………（1分）

域是定4x义13．………………………………………………………（12分）

（3）解法一：由△

与△相似，∠＝∠，

①如果∠＝∠，∵△∽△，∴∠＝∠，

又∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴5．………………………（2分）

②如果∠＝∠，∵∠＝∠，∠＝∠C，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠，∴ ，∵⊥，∴ 4，∴ 8．………（2分）

综上所述的长为5或者8．………………………………………………（1分）

解法二：由△与△相似，∠＝∠，

在△中，APPQ∵∥，∴32x4x28x25，

2EQEP，

QDPCAPEQAPEP，∴，

PBQDPBPC∵△∽△，∴AQEQAQAP2x8①如果，∴，即2QPQDQPPBx8x25x28x25，

x

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解得x5………………………………………………………………………（2分）

②如果解2x8AQDQAQPB，∴，即2QPQEQPAPx8x25xx8x252，

得x8………………………………………………………………………（2分）

综上所述的长为5或者8．…………………………………………………（1分）

静安区

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）

如图，平行四边形中，已知6，9，cosABC．对角线、交于点O．动点P在边上，⊙P经过点B,交线段于点E．设 x．

（1） 求的长；

13A D

E

（2） 设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，

O

P

·

求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

第25题图

B

（3） 如果是⊙O的直径，⊙O经过点E，

求⊙O与⊙P的圆心距的长．

C

D A

O

B

第25题备用图

C

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25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

解：（1）作⊥于H，且cosABC，6，

那么BHABcosABC62…………（2分）

9，9-2=7，

1313A

E

·

P

B

H

第O

25题图D

C

AH622242， ……………………（1分）

ACAH2HC232499﹒ ………（1分）

（2）作⊥于I，联结,

9，4.5

∴∠∠,

∴△中，

cosIAOcosABC∴1.5，292AI1

AO3A

I

E

·

P

B

H

第分）

D

O

25题图C

2AI32 ……………………（1∴61.5=x， ……………………（1分）

∴△中，

981153……（1OP2PI2OI2(32)2(x)218x29xx29x244分）

∵OP⊙x29xP与⊙O外切，分）

∴153xy ……………………（14∴y=x29x1531x4x236x153x42 ……………………

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……（1分）

∵动点P在边上，⊙P经过点B,交线段于点E．∴定义域：0

（3）由题意得：∵点E在线段上，⊙O经过点E，∴⊙O 与⊙P相交

∵是⊙O 半径，且＞，∴交点E存在两种不同的位置，

① 当E与点A不重合时，是⊙O的弦，是弦心距，∵1.5， =3，

∴点E是 中点，BEAB3,BPPE,PI3,

312322

92OPPI2IO232(32)22733 ……………………（2分）

② 当E与点A重合时，点P是 中点，点O是 中点,OPBC ……（2分）

∴OP3闵行区

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）

如图，已知在△中，∠

= 90， =6， = 8，点F在线段上，以点B为圆心，为半径的圆交于点E，射线交圆B于点D（点D、o12923或9．

2E不重合）．

（1）如果设 =

x， =

y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；

（2）如果ED2EF，求的长；

（3）联结、，请判断四边形是否为直角梯形？说明理由．

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A

25．解：（1）在△中，AC6，BC8，ACB90

∴……………………………………………………………（1AB10．分）

过E作⊥，垂足是H，

易得：3EHx5（第25题图）

（备用图）

C

E

D

C

F

B

A

B

，BH4x5，1FHx．…………………………（15222分）

2231在△中，EFEHFHxx55，

∴

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y10………………………………………（1x(0x8)．5分+1分）

（2）取ED的中点P，联结交于点G

∵ED2EF，P是ED的中点，∴EPEFPD．

∴∠

=∠

=∠．

∵EPEF，过圆心，∴⊥，

=2

=2．…………（1分）

又∵∠

=∠，

∴∠∠∠．……………………………………………（1分）

又∵是公共边，∴BEH≌BEG．∴EHEGGD3x．

5在△中，∵

= 6，BC8，tanCAEtanABCACCE，

BCAC∴CEACtanCAE66339．……………………………（1822分）

∴BE891697……………………………………………（1．2222分）

∴66721ED2EGx．……………………………………（15525分）

（3）四边形不可能为直角梯形．…………………………………（1分）

①当∥时，如果四边形是直角梯形，

只可能∠

=∠

= 90．

在△中，∵BC8，

AFoCEDB

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∴CDBCcosBCD32，

5BDBCsinBCD24BE．

532328∴CD516，CE3251；

AB1025BE45∴CDCE．

ABBE∴不平行于，与∥矛盾．

∴四边形不可能为直角梯形．…………………………（2分）

②当∥时，如果四边形是直角梯形，

C只可能∠

=∠

= 90．

∵∥，∠

= 90，

∴∠

=∠

= 90．

∴∠

=∠

+∠

> 90．

与∠

=∠

= 90矛盾．

ooooAFoEBD∴四边形不可能为直角梯形．…………………………（2分）

普陀区

25．（本题满分14分）

已知P是⊙O的直径BA延长线上的一个动点，P的另一边交⊙O于点C、D，两点位于的上方，AB＝6，OP＝m，sinP＝1，如图311所示．另一个半径为6的⊙O1经过点C、D，圆心距OO1＝n．

（1）当m＝6时，求线段CD的长；

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（2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m；

（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．

P

C

A

O

B

A

O

B

D

图11

备用图

25．解：

（1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，联结OC．

在△POH中，∵sinP＝1，PO6，∴OH2． ··· （1分）

3 ∵AB＝6，∴OC＝3． ············ （1分）

由勾股定理得

CH5． ··········· （15．

分）

∵OH⊥DC，∴CD2CH23······· （1分）

3（2）在△POH中，∵sinP＝1，PO ＝m，∴OH＝m． ·· （1分）

m在△OCH中，CH＝93222． ········· （1分）

2m在△O1CH中，CH＝36n3mm可得

36n＝93322． ······· （1分）

分）

3n281，解得m＝． ··· （22n（3）△POO1成为等腰三角形可分以下几种情况：

● 当圆心O1、O在弦CD异侧时

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3n281①OP＝OO1，即m＝n，由n＝解得n＝9． ·· （12n分）

即圆心距等于⊙O、⊙O1的半径的和，就有⊙O、⊙O1外切不合题意舍去． ·················· （1分）

②O1P＝OO1，由(n)m2()m32m32＝n，

2293n281m＝nnn＝15． ，即，＝解得3解得352n·· （1分）

813n2● 当圆心O1、O在弦CD同侧时,同理可得

m＝．

2n813n2∵POO1是钝角，∴只能是mn，即n＝，解得n＝95．52n ························ （2分）

综上所述，n的值为9青浦区

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

如图9-1，已知扇形的半径为2，∠9055或915．5

，点B在弧上移动，联结，作，垂足为点D，C为线段上一点，且，联结并延长交半径于点A，设 x，∠的正切值为y．

（1）如图9-2，当时，求证：

；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△为等腰三角形时，求x的值.

NBCNBN

OCADMODMOMA图9-1

图9-2

备用图

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25．解：（1）∵⊥，⊥，∴∠ =∠ =90°． ····· （1分）

∵∠ +∠M =∠ +∠M，∴∠ =∠． ··· （1分）

∵∠∠， ，

∴△≌△， ············· （1分）

∴ ． ··············· （1分）

（2）过点D作，交于点E． ········ （1分）

∵＝，⊥，∴＝． ·········· （1分）

∵，

∴MDME，∴＝，

DMAE∵2，∴＝12x． ········ （12分）

∵，

∴OAOC2DM， ········· （1分）

OEODOD∴DMOA，

OD2OE∴yx．（0x2）

x2······· （2分）

（3）（i） 当时，

∵DM1BM1OC1x，

222在△中，ODOM2DM2212x4．∵yDMOD，

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1xx21x22x2414221422∴．解得x，或x（舍）． ···················· （2分）

（）当时，则∠

=∠，

∵∠

>∠，∠

=∠，∴∠

>∠，

∴此种情况不存在． ········· （1分）

（ⅲ）当时，

则∠

=∠，

∵∠

>∠M，∠90，∴>90，∴>45，

∴BOA290，∵BOA90，∴此种情况不存在． ······················ （1分）

松江区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）

如图，已知△ 中，∠90°，2，3，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，过点A作∥，交延长线于点E.

（1）求的长；

（2）P是

延长线上一点，直线、交于点Q.

① 如果△ ∽△，求的长；

② 如果以点A为圆心，为半径的圆与⊙C相切，求的长.

A

D

B

C

E

B

D

A

C

E

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25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）

解：（1）∵∥

∴BCDCBEAE∵

∴ …………………………………1分

B

设

则2

∵ ∠90°，

∴AC2CE2AE2

即9x2(x2)2………………………1分

∴x5

4(第25题图)

…………………………………1分

A

D

C

E

即CE5…………………………………14（2）①

∵△ ∽△，∠>∠P

Q

分

A

D

C

E

P

B

∴∠∠P…………………………………1分

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又∵∥

∴∠∠

∴∠∠P………………………………1分

∴△ ∽△，…………………………1分

∴AC2CECP…………………………1分

即325CP

4∴CP36 ……………………………15②设，则PEt5

4分

∵∠90°，

∴AP9t2

∵∥

∴AQEC……………………………1分

APEP即5AQ5

4254t5t9t45t29∴AQ4t5……………………………1分

5t291 若两圆外切，那么AQ4t5此时方程无实数解……………………………1分

5t295 若两圆内切切，那么AQ4t5∴15t240t160

解之得t2041015………………………1分

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又∵t5

4∴t2041015………………………1分

徐汇区

25. 已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H.

（1）如图1，当EFBC时，求AE的长；

（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点，设AE的长为x，EH的长为y；

C、G不重合）① 求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

③ 联结EG，当DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长.

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杨浦区

25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

如图9，在梯形中，5，1，9，点P为边上一动点，作⊥，垂足H在边上，以点P为圆心为半径画圆，交射线于点E.

（1） 当圆P过点A时，求圆P的半径；

（2） 分别联结和，当△△时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；

（3）

将劣弧沿直线翻折交于点F，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值。

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