2010年江苏高考数学试题(含答案详解

2024年4月3日发(作者：机器批改数学试卷)

2010年江苏高考数学试题(含答

案详解

LT

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析

数学Ⅰ试题

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题

要求

1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14

题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160

分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷

参考公式：

锥体的体积公式: V

锥体

=

1

Sh，其中S是锥体的底

3

面积，h是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，

共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.

．．．．．．．．．

2

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a

2

+4},A∩B={3}，

则实数a=______▲_____.

[解析] 考查集合的运算推理。3



B, a+2=3,

a=1.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单

位），则z的模为______▲_____.

[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2

i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，

若从中随机地摸出两只球，

两只球颜色不同的概率是_

▲__.

[解析]考查古典概型知识。

31

p

62

4、某棉纺厂为了了解一批棉

花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长

度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），

所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图

如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在

棉花纤维的长度小于20mm。

[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

3

4

5

12、设实数x,y满足3≤

xy

≤8，4≤≤9，则

2

x

2

y

x

3

y

4

的最大值是 ▲ 。

x

2

2

()[16,81]

y

[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

，

111

[,]

xy

2

83

，

x

3

x

2

2

1

()

2

[2,27]

4

yyxy

，的最大值

x

3

y

4

是27。

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别

atanCtanC

为a

、

b

、

c，

b

则=____▲_____。

6cosC

，



abtanAtanB

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知

识的应用，等价转化思想。一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、

B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：

cosC

1

，

3

tan

2

C1cosC1



21cosC2



，

tan

C

2

2

2

，

tanAtanB

1

tan

C

2

2

CtanC

，

tan

= 4。



tanAtanB

（方法二）

a

2

b

2

c

2

3c

2

2222

6abab,ab

2ab2

ba

6cosC6abcosCa

2

b

2

ab

，

6

tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sin

2

C



tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

由正弦定理，得：上式=

1c

2

c

2

c

2

4

2

1

cosCab

(a

2

b

2

)

1



3c

6

62

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于

底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(梯形的周长）

S

梯形的面积

,则S的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。

一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为

(3x)4(3x)

S(0x1)

22

x

，则：

13

(x1)(1x)

22

2

3

1x

（方法一）利用导数求函数最小值。

4(3x)

2

S(x)

2

3

1x

，

4(2x6)(1x

2

)(3x)

2

(2x)

S



(x)

(1x

2

)

2

3

4(2x6)(1x

2

)(3x)

2

(2x)42(3x1)(x3)



22

(1x)(1x

2

)

2

33

S



(x)0,0x1,x

1

3

，

1

]

时，

S



(x)0,

递减；当

x[,1)

时，

S



(x)0,

递增；当

x(0,

1

33

323

故当

x

1

时，S的最小值是。

3

3

（方法二）利用函数的方法求最小值。

7

令

111

3xt,t(2,3),(,)

t32

，则：

4t

2

41

S

2



3

t6t8

3



8



6

1

t

2

t

323

31

故当

1

。

,x

时，S的最小值是

3

t83

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请

在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明或演算步骤.

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、

B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条

对角线的长；

(2)设实数t满足(

ABtOC

)·

OC

=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运

算、数量积，考查运算求解能力。

满分14分。

（1）（方法一）由题设知

AB(3,5),AC(1,1)

，则

ABAC(2,6),ABAC(4,4).

所以

|ABAC|210,|ABAC|42.

10

故所求的两条对角线的长分别为

42

、

2

两条对角线的交点为E，则:

。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，

8

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，

4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=

42

、

AD=

210

；

（2）由题设知：

OC

=(－2,－1)，

ABtOC(32t,5t)

。

由(

ABtOC

)·

OC

=0，得：

(32t,5t)(2,1)0

，

从而

5t11,

所以

t

11

。

5

或者：

AB·OC tOC

，

AB(3,5),

t

ABOC



11

2

|OC|

2

5

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平

面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，

AB∥DC，∠BCD=90

0

。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面

的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象

能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC



平面

ABCD，所以PD⊥BC。

9

由∠BCD=90

0

，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC



平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC



平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的

中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，

点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC

的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥

平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF

⊥平面PBC于F。

易知DF=

2

2

，故点A到平面PBC的距离等于

2

。

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面

PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90

0

，所以∠ABC=90

0

。

10

从而AB=2，BC=1，得

ABC

的面积

S

ABC

1

。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC

的体积

V

1

S

3

ABC

PD

1

3

。

因为PD⊥平面ABCD，DC



平面ABCD，所以

PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以

PCPD

2

DC

2

2

。

PBC

由PC⊥BC，BC=1，得

PBC

的面积

S

由

V

APBC



2

2

。

V

PABC

，

1

S

3

PBC

hV

1

3

，得

h2

，

故点A到平面PBC的距离等于

2

。

17、（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），

如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，

仰角∠ABE=



，∠ADE=



。

(1)该小组已经测得一组



、



的值，tan



=1.24，

tan



=1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认

为适当调整标杆到电视塔的距离d

（单位：m），使



与



之差较大，可以

11

提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，

试问d为多少时，



-



最大？

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的

正切及不等式的应用。

HHh

H

tan



ADBD

（1）

AD

，同理：，。

AB

tan



tan



tan



AD—AB=DB，故得

H

htan



41.24

124

tan



tan



1.241.20

HHh



tan



tan



tan



，解得：

。

因此，算出的电视塔的高度H是124m。

HhHh

（2）由题设知

dAB

，得

tan





H

，

,tan





dADDBd

HHh



tan



tan



hdh

dd

tan(







)

2



1tan



tan



1

H



Hh

dH(Hh)

d

H(Hh)

ddd

d

H(Hh)

2H(Hh)

d

，（当且仅当

dH(Hh)125121555

时，取等号）

故当

d555

时，

tan(







)

最大。



因为

0











，则

0









，所以当

d555

时，



-



22

最大。

故所求的

d

是

555

m。

18、（本小题满分16分）

12

在平面直角坐标系

xoy

中，如图，已知椭圆

x

2

y

2

1

95

的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T

（

t,m

）的直线TA、TB与椭圆

分别交于点M

(x,y)

、

N(x,y)

，其

1122

中m>0,

y

1

0,y

2

0

。

2

（1）设动点P满足

PF

求点P的轨迹；

（2）设

x

1

PB

2

4

,

2,x

2



1

3

，求点T的坐标；

（3）设

t9

,求证：直线MN必过x轴上的一定

点（其坐标与m无关）。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查

方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解

能力和探究问题的能力。满分16分。

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、

A（-3，0）。

由

PF

2

PB

2

4

，得

(x2)

2

y

2

[(x3)

2

y

2

]4,

化简得

x

9

。

2

故所求点P的轨迹为直线

x

9

。

2

（2）将

x

1

2,x

2



1

3

分别代入椭圆方程，以及

y

1

0,y

2

0

120



） 得：M（2，

5

）、N（，

339

13

1

y0x3

直线MTA方程为：

5

，即

yx1

，



3

23

3

0

直线NTB 方程为：

联立方程组，解得：

y0x3



201

03

93

5

，即

y

5

x

。

62



x7



10



y



3



，

所以点T的坐标为

(7,

10

)

。

3

（3）点T的坐标为

(9,m)

y0x3m

直线MTA方程为：

m

，即

y(x3)

，

09312

y0x3m

直线NTB 方程为：

m

，即

y(x3)

。

0936

分别与椭圆

x

1

3,x

2

3

x

2

y

2

1

95

联立方程组，同时考虑到

，

、

3(m

2

20)20m

N(,)

20m

2

20m

2

解得：

3(80m

2

)40m

M(,)

80m

2

80m

2

12

。

（方法一）当

xx

时，直线MN方程为：

20m3(m

2

20)

yx

2

20m20m

2



22

40m20m

3(80m)3(m20)





22

80m20m

80m

2

20m

2

令

y0

，解得：

x1

。此时必过点D（1，0）；

当

xx

时，直线MN方程为：

x1

，与x轴交点

12

为D（1，0）。

14