2024年3月15日发(作者：2019吉林数学试卷难吗)

专题

31

三角形与新定义综合问题

【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），

如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容

易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问

题：

（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．

，S

△

ABC

＝48，求△ABC的周长．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝

【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这

个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三

角形．

【概念感知】

判断：对的打“√”，错的打“×”．

（1）等腰直角三角形是标准三角形．

（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．

【概念理解】

若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为

【概念应用】

（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．

（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

．

【例3】（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，

发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、

图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂

三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】

（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝

＝30°，c＝2时，a

2

+b

2

＝

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a

2

、b

2

、c

2

三者之间的关系，用等式表示出来，并

利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，

连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．

；

时，a＝，b＝；如图2，当∠PAB

【例4】（2020•岳麓区校级二模）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC

为中垂三角形，并且把AB

2

+BC

2

+CA

2

叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB

2

+BC

2

+CA

2

．

（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，

求证：△AOB是等腰直角三角形；

（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于

点O，试探究△ABC的方周长L与AB

2

之间的数量关系，并加以证明；

（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点


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