2024年3月10日发(作者：广州2022三模数学试卷)
2023届七宝中学高三5月第三次模拟考试数学试卷
一、填空题
1．已知复数
z
满足
1i
z1i
，则复数
z
的虚部为__________.
2
2．已知
x|xmxn0
1
，则
mn
__________.
3
．分别抛郑
3
枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是
__________
．
4．已知向量
a
x,1
，
b
2,3
,若
ab
，则实数
x
__________．
A,B,C
a
OAaOBaOC
5．已知
是同一直线上三个不同的点，
O
为直线外一点，在等差数列
n
中，，则数列
a
n
26
的前
7
项和
S
7
__________.
x
2
y
2
6．已知双曲线
2
2
1
(a＞0，b
0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
ab
7
．珠穆朗玛峰高达
8848.86
米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多
远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，
在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；
④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是
__________
．
8
．安排
4
名男生和
3
名女生参与完成
3
项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由
1
名男生和
1
名女生完
成，则不同的安排方式种数为
__________
．
9．若
(2
x
1)
a
k
x
，则
a
k
被10除所得的余数为__________.
30
k
k
0
30
30
k
0
2
10．已知函数
f
x
lnxx
，直线
l
：
xy40
，若直线
xym0
与
f
x
的图象交于
A
点，与直线
l
交于
B
点，
则
A
，
B
之间的最短距离是
__________.
11．在正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB1，AA
1
4
，E为
DD
1
中点，
P
为正四棱柱表面上一点，且
C
1
PB
1
E
，
则点
P
的轨迹的长为
_____.
12．数列
a
n
共有
M
项（常数
M
为大于5的正整数），对任意正整数
kM
，有
a
k
a
M
1
k
0
，且当
n
a
n
M
时，
2
1023
1
n
S
a
S
．记
的前项和为，若
对任意
n1,2,3,,M
都成立，则
M
的最大值是__________．
n
n
n
n
1024
2
二、选择题
x
a
0
，若“
x
A
”是“
x
B
”的充分非必要条件，则实数
a
的取值范围是
13．已知集合
Axx1
，
B
x
2
x
2
2
（）
B
．
a1
C
．
1a1
D
．
0a1
）
A
．
a1
14．已知
x,y,z
是空间的直线或平面，要使命题“若
xz,yz
，则
x//y
”是真命题，
x,y,z
可以是（
试卷第1页，共4页
A
．
x,y,z
是三个不同的平面
C
．
x,y,z
是三条不同的直线
B
．
x,z
是两条不同的直线，
y
是平面
D
．
x,y
是两条不同的直线，
z
是平面
）
15．函数
f
x
的部分图象如图所示，则
f
x
的解析式可能为（
3
x
sin
x
A．
f
x
1
2
x
2
3
x
2
cos
x
C．
f
x
1
2
x
2
x
2
sin
x
B．
f
x
1
x
2
x
2
cos
x
D．
f
x
1
x
2
16．如图所示，已知
A
0
0,0
,A
1
4,0
，对任何
nN
，点
A
n
2
按照如下方式生成：
A
n
A
n
1
A
n
2
n
n
3
,
A
n
1
A
n
2
1
A
n
A
n
1
，且
A
n
,
A
n
1
,
A
n
2
,
按逆时针排列，记点
A
n
的坐标为
a
n
,
b
n
nN
，则
2
(lim
a
n
,lim
b
n
)
为
2043
，
A．
77
43
B．
3
，
7
53
C．
3
，
8
2053
D．
7
，
8
三、解答题
，且满足
CPCA
，记
17
．如图，
P
是边长为
2
的正三角形
ABC
所在平面上一点（点
A
、
B
、
C
、
P
逆时针排列）
CAP
.
(1)若
π
，求
PB
的长；
3
(2)
用
表示
PAB
的面积
S
，并求
S
的取值范围
.
18．如图，线段
AA
1
是圆柱
OO
1
的母线，
BC
是圆柱下底面
O
的直径.
试卷第2页，共4页
1
(1)若
D
是弦
AB
的中点，且
AEAA
1
，求证：
DE
//
平面
A
1
BC
；
2
π
(2)若
BC2,ABC30
，直线
AC
，求异面直线
AO
1
与平面
ABC
所成的角为
1
与
AB
所成角的大小.
3
19
．某学校有
A,B
两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近
100
天
选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晩餐）
甲
乙
A,A
30天
20天
A,B
20天
25天
B,A
40天
15天
B,B
10天
40天
1
为了吸引学生就餐，
A
餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为，而
B
餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张
.
3
假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)
记
X
为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求
X
的分布列和数学期望
E
X
；
(3)
A
餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去
A
餐厅就餐的概
率为，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在
A
餐厅就餐的概率为
p
，若
A
餐厅推出活动的第二天学生
5
甲午餐去
A
餐厅就餐的概率是，求
p
.
9
2
3
x
2
20
．已知
A
是椭圆
C
:
y
2
1
的左顶点，
P、Q
是椭圆上不同的两点．
4
(1)求椭圆
C
的焦距和离心率；
(2)
设
E
0,t
,F
0,s
,M
1,0
，若
MFME
，且
A
、
P
、
E
和
A
、
Q
、
F
分别共线，求证：
P、O、Q
三点共线；
(3)
若
H
是椭圆
C
上的点，且
OPOQOH0
，求
PQH
的面积．
x
x
2
21
．已知函数
f
x
e
e
2
b
x
,
g
x
ax
b
,
a
,
b
R
.
(1)
g
1
f
0
,g
1
f
0
，求实数
a,b
的值；
试卷第3页，共4页
x
(2)若
a1,b2
，且不等式
f
x
kg
e
2
2
对任意
xR
恒成立，求
k
的取值范围；
π
(3)设
b2
，试利用结论
e
x
e
x
x
2
2
，证明：若
1
,
2
,
L
,
n
0,
，其中
n2,nN
*
，则
2
f
sin
1
f
cos
n
f
sin
2
f
cos
n
1
f
sin
n
1
f
cos
2
f
sin
n
f
cos
1
6
n
.
试卷第4页，共4页
1
．
1
【分析】
由题意知，求复数
z
的虚部可转化为先求
z
，从而解得．
【详解】
因为
1i
z1i
，
1
i
1
i2i
i
，故
zi
，所以
z
1
i
1
i
1
i
2
故复数
z
的虚部为
1
.
故答案为：
1
.
2
．
3
【分析】
由二次方程的根只有一个，则
Δ0
，且根为
1
，代入即可求解
.
【详解】
2
因为
x|xmxn0
1
，所以二次方程
x
2
mxn0
有两个相等的实数根，
2
则
m
2
4n0
①，
且方程的根为
1
，所以
1mn0
②，
联立①②解得：
m2,n1.
所以
mn3.
故答案为：
3
.
3
．
8
【分析】
根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑
3
枚硬币的所有情况数．
【详解】
每枚硬币都有
2
种情况，即正面和反面，
则分别抛掷
3
枚硬币，
{
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，
正，反），（反，反，正），（反，反，反）
}
，
所有
8
，
故答案为：
8
．
4．
3
##
1.5
2
【分析】
答案第
1
页，共
16
页
直接由向量垂直的坐标运算公式计算即可．
【详解】
因为
ab
，
3
所以
ab2x30
，解得
x
，
2
故答案为：
5．
3
．
2
7
##3.5
2
【分析】
由题意
a
2
a
6
1
，然后利用等差数列的前
n
项和公式，结合等差数列的性质求解.
【详解】
因为
A,B,C
是同一直线上三个不同的点，
O
为直线外一点，且
OAa
2
OBa
6
OC
，
所以
a
2
a
6
1
，
则
S
7
a
1
a
7
2
a
2
a
6
7
2
7
.
2
故答案为：
7
.
2
6．
y3x
【分析】
根据离心率求得
【详解】
2
b
x
2
y
2
b
因为双曲线
2
2
1
的离心率为2，则
2
1
，解得
3
，
a
ab
a
b
，即可求得渐近线方程.
a
故双曲线的渐近线方程为
y3x
.
故答案为：
y3x
.
7
．①
【分析】
由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案．
【详解】
数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应
该是珠穆拉玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设①最不重要，
答案第
2
页，共
16
页
故答案为：①．
8
．
216
【分析】
首先根据捆绑法将男生分为
3
组，然后男生与女生分别全排列，根据分步计数乘法原理计算即可．
【详解】
由于每项工作至少由
1
名男生和
1
名女生完成，
则先从
4
个男生选
2
人一组，将
4
人分成三组，
23
所以男生的排法共有
C
4
A
3
36
，
3
女生的安排方法共有
A
3
6
，
233
故不同的安排共有
C
4
A
3
A
3
366216
种．
9
．
9
【分析】
301515
令
x1
，可得
a
k
3
9
(10
1)
，结合二项展开式，即可求解.
k
0
30
【详解】
34115
015114141
令
x1
，可得
a
k
3
9
(10
1)
C
15
10
C
15
10
C
15
10
C
15
C
15
10C
15
10C
15
101
，
k
0
30
所以
a
k
被10除所得的余数为
9
.
k
0
30
故答案为：
9
.
10
．
22
【分析】
根据题意两直线垂直所以
A
，
B
之间的距离即为
A
到直线
l
的距离，即为与
l
平行且与
f
x
相切的直线的切点到直
线
l
的距离
.
【详解】
2
因为函数
f
x
lnxx
，直线
l
：
xy40
，
答案第
3
页，共
16
页
若直线
xym0
与
f
x
的图象交于
A
点，与直线
l
交于
B
点，
直线
xym0
的斜率为
1
，直线
l
：
xy40
的斜率为
k1
，
所以两直线垂直，
所以函数
f
x
图象上的点A到直线
l
的最短距离，
即为
A,B
之间的最短距离
由题意可得
f
x
令
f
x
1
2x
，
x0
.
x
1
1
2x
1
，解得
x1
（
x
舍去）.
2
x
因为
f
1
1
，取点
A
1,1
，
所以点A到直线
xy40
的距离
d
则
A
，
B
之间的最短距离是
22
.
故答案为：
22
11．
52
##
25
【分析】
过
C
1
做与直线
B
1
E
垂直的平面
，则点
P
的轨迹的长即为平面
与正四棱柱的交线长.
【详解】
B
1
D
1
，
ED
1
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
.
如图，连接
B
1
D
1
，
A
1
C
1
，由题可知，
AC
11
4
2
22
，
A
1
C
1
.
因
AC
11
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，则
ED
1
又
B
1
D
1
平面
EB
1
D
1
，
ED
1
平
EB
1
D
1
，
ED
1
∩B
1
D
1
D
1
，则
A
1
C
1
平面
EB
1
D
1
.又
B
1
E
平面
EB
1
D
1
，则
C
1
A
1
B
1
E
；
如图，过E做
D
1
C
1
平行线，交
CC
1
于F，则F为
CC
1
中点.连接
EF，B
1
F
，
过
C
1
做
B
1
F
垂线，交
BB
1
于G.
由题可得，
D
1
C
1
平面
BCC
1
B
1
，又
EF∥D
1
C
1
，则
EF
平面
BCC
1
B
1
.
因
C
1
G
平面
BCC
1
B
1
，则
C
1
GEF
.
又
B
1
F
平面
B
1
FE
，
FE
平面
B
1
FE
，
FE∩B
1
FF
，则
C
1
G
平面
B
1
FE
.
因
B
1
E
平面
B
1
FE
，则
C
1
GB
1
E
；
因
C
1
G
平面
C
1
GA
1
，
C
1
A
1
平面
C
1
GA
1
，
C
1
A
1
∩C
1
GC
1
，则
B
1
E
平面
C
1
GA
1
.
答案第
4
页，共
16
页
连接
A
1
G
，则点P轨迹为平面
C
1
GA
1
与四棱柱的交线，即
△AC
11
G
.
注意到
B
1
C
1
GGC
1
FGC
1
FB
1
FC
1
B
1
C
1
GB
1
FC
1
，
C
1
B
1
GFC
1
B
1
，则
C
1
B
1
F
FC
1
B
1
，故
C
1
B
1
FC
1
1
2
B
1
G
.
B
1
GC
1
B
1
2
1
4
2
5
2
.
则点
P
的轨迹的长为
AGC
1
GAC
21
111
故答案为：
52
.
【点睛】
关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大
.
本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂
线
.
12
．
21
【分析】
根据已知得出数列
a
n
的性质，再分类讨论当
M
为偶数和
M
为奇数的情况即可得出答案．
【详解】
根据条件可知，数列
a
n
具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0．下面对
M
讨
论：
当
M
为偶数（数列
a
n
各个数非零），
M
1
1
2
1
2
2
1
1
2
S
n
max
S
M
2
1023
，
1024
解得
M20
；
答案第
5
页，共
16
页
当
M
为奇数（数列
a
n
中
a
M
1
0
），
2
S
n
max
S
M
1
S
M
1
1
22
1
2
M
1
2
1023
，
1024
解得
M21
，
故
M
最大值为
21
，
故答案为：
21
．
13
．
B
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合
A
，依题意可得
A
【详解】
2
由
x
2
1
，解得
1x1
，所以
Axx1
x|1x1
，
B
，即可得到
a0
，再求出集合
B
，即可求出参数的取值范围.
因为
x
2
+2≥2
，所以不等式
x
a
x
2
2
0
，等价于
xa0
，
B
，因为“
x
A
”是“
x
B
”的充分非必要条件，所以
A
所以
B
，则
a0
，所以不等式
xa0
，即
xa
，解得
axa
，
x
a
B
x
0
所以
2
x
|
a
xa
,
a
0
，
x
2
又
A
B
，所以
a1
.
故选：
B
14
．
D
【分析】
根据线面、面面的、线线的垂直关系逐项判断，可得出合适的选项
.
【详解】
对于
A
：若
x,y,z
是空间中三个不同的平面，且
xz,yz
，则平面
x
和平面
y
的位置不确定，故
A
错误；
对于
C
：若
x,y,z
是空间中三条不同的直线，且
xz,yz
，则直线
x
和直线
y
的位置不确定，故
C
错误；
对于
B
：
x,z
是空间中两条不同的直线，
y
是空间的平面，且
xz,yz
，
则直线
x
和平面
y
的关系为直线
x//
平面
y
或直线
x
平面
y
，故
B
错误；
对于
D
：
x,y
是空间中两条不同的直线，
z
是空间的平面，且
xz,yz
，则
x//y
，故
D
正确，
故选：
D.
15
．
D
答案第
6
页，共
16
页
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