三年级数学下册租船问题

2023年12月30日发(作者：近视写数学试卷怎么写)

三年级数学下册租船问题

（一）“性价比”+“无空位”

许多老师认为，以高性价比船为主、搭配低性价比船调整到没有空位的时候，就是最优的，比如上图中就是4条大船2条小船恰好没有空位，对应最优解。但这种想法显然是有反例的，如果两种船只性价比差距太大，就很可能宁可闲置空位也不值得租另一种船只。比如：

例1：34人坐船，租1条大船需要30元，可乘坐7人；租1条小船需要24元，可乘坐3人。怎么租最省钱？

在这种情况下，租4条大船、2条小船恰好没有空位，总共168元；而全租大船5条只用150元，尽管有空位，但2条低性价比的小船反而更浪费。由此可见，没有空位并不能保证获得最优解。

（二）只租高性价比船

上面的案例可以看出“性价比”在决策中起到的重要作用。当两种船只性价比差太多的时候，低性价比船造成的浪费可能比留空位更糟糕。于是你可能会想到，如果对前面的“性价比无空位”最优策略做一个补充：要么没有空位；要么全选性价比高的船只。这样是否就能保证得到最优解呢？很遗憾，反例还是存在。比如：

例2：16人坐船，租1条大船需要7元，可乘坐7人；租1条小船需要4元，可乘坐3人。怎么租最省钱？

在这种条件下，没有空位（方案③，19元）和全租大船（方案①，21元）都不是最优解，最优解是既有空位也有低性价比小船的方案②，详细情况如下表。

由此可见，无论是“无空位”还是全租大船，都无法锁定最优解。事实上，最优解是综合考虑了“性价比”和“较少空位”的一个“折衷”的方案：高性价比船尽可能多、空位尽可能少，在这两个因素之间寻找一个平衡点。要想找出这个最优解，只能依靠枚举。

（三）“无空位”+“全大船”+“余数凑小船”

我曾经在一篇文章中看到这样一种观点，他认为最优策略一共需要考察3种情况（假设大船性价比高）：⑴无空位；⑵全租大船；⑶优先租大船，余数部分凑小船，比如例2中，16÷7=2（条）……2（人），那么可以先租2条大船，余数部分用1条小船来凑。那篇文章认为这

3种情况里面一定有一个是最优解。然而事与愿违，即便考虑了这么多种特殊情况，反例依然存在。比如：

例3：100人坐船，租1条大船需要6元，可乘坐7人；租1条小船需要5元，可乘坐5人。怎么租最省钱？

考察上述3种策略：⑴无空位，大船10条，小船6条，共90元；⑵全租大船15条，共90元；⑶大船14条，余下凑1条小船，共89元。那么，最优解就是89元吗？我们继续列表观察可知，实际上最优解是88元，不属于上述任何一种情况。

这个案例，再一次印证了此前的判断：最优解是综合考虑了性价比和较少空位。究竟怎样最优呢？最终还是要回归到枚举讨论，才能得到准确的答案。

（四）“枚举法”

是否必须枚举所有方案才能肯定找到最优解呢？倒也不必，上述例3的列表就采取了这样一种技巧：先假设全选性价比高的船只，然

后逐步调整另一种船型来调和空位，直到余下空位恰好是0个。之后就不必继续再往下枚举了。

可以证明，这几个方案里一定包含最优解。严格证明较为复杂，这里就不展开讨论了，我们可以简单理解一下：比如例3中的方案⑥为无空位，对应10条大船和6条小船，即100人可以分成70人和30人两部分。对于70人的部分，安排10条大船来搭载显然是最优的，如果减少性价比高的大船替换成小船，不仅不划算，还产生了额外的空位浪费；而剩余30人对应着6条小船，可以考虑将小船替换成性价比高的大船，有可能会得到更优的方案，因此最优解中大船必然大于等于10条，也就是说上表枚举的6种方案中必然有一个是最优解。

“租船问题”是个很难的运筹学问题，我们“想当然”以为的最优策略，实际上都是站不住脚的。数学是一门严谨的学科，整个数学大厦是在公理化体系上，通过严密逻辑演绎建立起来的。直觉并不可靠，只有通过严格的论证，才能得出可信的结论。“租船问题”的本质是整数规划，系统分析他的最优解，需要涉及高中甚至大学知识；对于小学生而言，只有通过枚举才能保证找到最优解，运用例3的技巧，先假设全租高性价比船只，然后通过枚举逐步调整至无空位，就能显著减少枚举量。如书本的租船例题，从只租大船的方案，枚举调整到无

空位就无需继续枚举了，再比较枚举出来的3种方案，就能找出最省钱的租船方案。

32÷6=5（条）......2(人）

另一方面，这节课程的教学目标，应该是让学生感受优化思想，在生活中运用优化思维，而不苛求必须找到各种问题的最优解，因为实际生活中诸如网购优惠券叠加等优化问题，很难真正找到最优解，只要学生能够具备优化的意识，通过思考寻找到一个相对较优的方案，就是值得肯定的。因此，在课程练习与测试中，不必为了追求题目难度而刻意设置反例数据，只需学生能够适当领会“性价比”、“假设”、“调整”等基本技巧，课程目的就算达到了。