2024年4月3日发(作者：2022中山中考数学试卷)

正余弦定理和解三角形

高考要求

正余弦定理

和解三角形

的实际应用

要求层次

C

C

重难点

使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵

活运用正、余弦定理解题

正余弦定理

解三角形

例题精讲

板块一：正弦定理和余弦定理

(一) 知识内容

1.直角三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.

(1)三边之间的关系：a

2

＋b

2

＝c

2

.(勾股定理)

(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°；

(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)

sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝.

2.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边.

(1)三角形内角和：A＋B＋C＝π.

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

abc

2R

.(R为外接圆半径)

sinAsinBsinC

a

c

b

c

a

b

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的

积的两倍.

b

2

c

2

a

2

,

cosA

2bc

222

abc2bccosA,

a

2

c

2

b

2

2

22

,

bac2accosB,

cosB

2ac

c

2

a

2

b

2

2abcosC.

a

2

b

2

c

2

.

cosC

2ab

3.三角形的面积公式：

(1)S

△

＝ah

a

＝

1

2

11

bh

b

＝ch

c

(h

a

、h

b

、h

c

分别表示a、b、c上的高)；

22

(2) S

△

＝absinC＝bcsinA＝acsinB；

a

2

sinBsinCb

2

sinCsinAc

2

sinAsinB

(3) S

△

＝

＝＝；

2sin(BC)2sin(CA)2sin(AB)

1

2

1

2

1

2

(4) S

△

＝2R

2

sinAsinBsinC.(R为外接圆半径)

(5) S

△

＝

abc

；

4R

(6) S

△

＝

s(sa)(sb)(sc)

；

s(abc)

；(海伦公式)

2

(7) S

△

＝r·s.

4.解三角形：

由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知

元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线

以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出

的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三

角形

解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C.

(1)角与角关系：A+B+C = π；

(2)边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a-b < c，b-c < a，c-a > b；

(3)边与角关系：正余弦定理.

5.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.

6.推论：正余弦定理的边角互换功能

①

a2RsinA

，

b2RsinB

，

c2RsinC

②

sinA

③

abc

，

sinB

，

sinC

2R2R2R

1

abcabc



==

2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

④

a:b:csinA:sinB:sinC

⑤

sin

2

Asin

2

Bsin

2

C2sinBsinCcosA

sin

2

Bsin

2

Csin

2

A2sinCsinAcosB

sin

2

Csin

2

Asin

2

B2sinAsinBcosC

7.三角形中的基本关系式：

sin(BC)sinA,cos(BC)cosA

，

sin

BCABCA

cos,cossin

2222

(二)主要方法：

1.通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.

2.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 .

(三)典例分析：


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