2024年4月3日发(作者：一升二数学试卷江苏版)
第七节 正弦定理和余弦定理
一、基础知识
1．正弦定理
abc
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
sin Asin Bsin C
正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝
abc
，sin B＝，sin C＝；
2R2R2R
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＋b＋c
a
(4)
＝
.
sin A＋sin B＋sin C
sin A
2．余弦定理
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A；
b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacos B；
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C.
3．三角形的面积公式
1
(1)S
△ABC
＝
ah
a
(h
a
为边a上的高)；
2
111
(2)S
△ABC
＝
absin C＝bcsin A＝acsin B；
222
1
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
A＋B
πC
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－
.
222
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
A＋BA＋B
CC
(3)sin
＝cos；(4)cos＝sin
.
2222
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b
2
＋c
2
－a
2
>0时，可知A为锐角；
当b
2
＋c
2
－a
2
＝0时，可知A为直角；当b
2
＋c
2
－a
2
<0时，可知A为钝角．
1
第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝
________.
1π
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝
，C＝，则b＝
26
________.
bsin A2×sin 30°1
[解析] (1)由正弦定理可得sin B＝
＝＝，∵a＝3>b＝2，∴B a33 为锐角，∴cos B＝1－sin 2 B＝ 22 . 3 1π5π (2)∵sin B＝ 且B∈(0，π)，∴B＝或B＝， 266 ππ2π 又∵C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝ . 663 ab 又a＝3，由正弦定理得＝， sin Asin B 即 3b ＝，解得b＝1. 2ππ sin sin 36 22 [答案] (1) (2)1 3 考法(二) 余弦定理解三角形 [典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 bcos A＋acos B＝c 2 ，a＝b＝2，则△ABC的周长为( ) A．7.5 C．6 B．7 D．5 c－b ＝ 2c－a (2)(2018·泰安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin A ，则角B＝________. sin B＋sin C [解析] (1)∵bcos A＋acos B＝c 2 ，∴由余弦定理可得 b 2 ＋c 2 －a 2 a 2 ＋c 2 －b 2 2 b·＋a·＝c， 2bc2ac 整理可得2c 2 ＝2c 3 ，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5. (2)由正弦定理可得 c－b sin Aa ＝＝， 2c－a sin B＋sin Cb＋c ∴c 2 －b 2 ＝2ac－a 2 ，∴c 2 ＋a 2 －b 2 ＝2ac， 2
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