2024年3月26日发(作者：美国数学试卷解题方法)

利用函数的凹凸性质证明不等式

内蒙古包头市第一中学 张巧霞

摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，

描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生

不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，

如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导

出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.

关键词：凸函数；凹函数；不等式.

一． 引言

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数

——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用

函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.

二． 凹凸函数的定义及判定定理

(1)定义 设

f(x)

是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点

x

1

,x

2

及实数

0,1

总

有

f(

x

1

1

x

2

)

f

x

1

1

f

x

2

则称

f(x)

为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式

f(

x

1

1

x

2

)

f

x

1

1

f

x

2

则称

f(x)

为I上的凹函数（上凸函数）.

特别地，取

xx

2

f

x

1

f

x

2

1

)

.

，则有

f(

1

2

22

若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.

（2）判定定理 若函数

f(x)

在区间 I上是二阶可微的，则函数

f(x)

是凸函数的充要条件

是

f\"(x)0

，函数

f(x)

是凹函数的冲要条件是

f\"(x)0.

三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式

设

f(x)

是定义在区间I上的一个凸函数，则对

x

i

I,

i1,2,,n

,

i

0,

i1

n

i

1

有

f(

i

x

i

)

i

f

x

i

.

i1i1

nn

特别地，当

i

1

i

1,2,

,n

,

有

n

f(

x

1

x

2

x

n

f

x

1

f

x

2

f

x

n

).

22

琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它

在一些不等式的证明中有着广泛的应用.

四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.

（1）（调和——几何——算术平均不等式）

设

a

i

0,

i

1,2,

,n

,

则有

1

n

n

a

i

n

1

i1

i1

a

i

n

当且仅当

a

1

a

2

a

n

时，等号成立.

证明 设

f(x)lnx,

因为

f\"(x)

a

i1

n

i

n

1

0,x

0,

,

2

x

所以

f(x)

是

0,

上的凸函数，那么就有

f(

x)

f

x

.

iiii

i1i1

nn

现取

x

i

a

i

,

i

1

,

i

1,2,

,n

,

n

n

1

n

1

n

1

则有

ln

a

i

lna

i

ln

a

i

n

,



i1

n

i1

n

i1

n

1

n

1

得

ln

a

i

ln

a

i

n



,

n

i1

i1

由

lnx

的递增性可得

1

n



1

（1）

aa

ii



i1

n

i1

同理，我们取

x

i

n

n

1

0

，就有

a

i


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