高等数学试题及答案 (2)

2023年12月11日发(作者：84 高考数学试卷)

高等数学试题

一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １

１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为

_________

√１－ ｘ2

_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）

３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ\'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ

───────────────

h→o h

＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是

____________。

ｘ

５．∫─────ｄｘ＝_____________。

4 １－ｘ

１

６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ

７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______

R √R2－ｘ2

８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为 ____________。

0 0

ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ

2 ９．微分方程─── ＋ ──（─── ） 的阶数为____________。

ｄｘ3 ｘ ｄｘ2

∞ ∞

１０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。

n=1 n=1000

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１

１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ）

ｘ

１ １ １

①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ

ｘ ｘ １－ ｘ

１

２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ）

ｘ

①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

３．下列说法正确的是 （ ）

①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导

②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在

④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ\'（ｘ）〈０，ｆ\"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）

内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）

①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

５．设Ｆ\'(x) ＝ Ｇ\'(x)，则 （ ）

① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数

② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数

③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０

ｄ ｄ

④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ

ｄｘ ｄｘ

1

６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ） -1

① ０ ② １ ③ ２ ④ ３

７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）

①平行于ｘｏｙ面的平面

②平行于ｏｚ轴的平面

③过ｏｚ轴的平面

④直线

ｘ

８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ）

ｙ

①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） １ ③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）

ｔ2

ａn＋１ ∞

９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ）

n→∞ ａ n=1

①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散

１０．方程 ｙ\'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ）

①一阶线性非齐次微分方程

②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程

④二阶微分方程

（二）每小题２分，共２０分

１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）

①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１

③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）

①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ\'（ζ）（ｂ－ａ）

②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ\'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ\'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ\'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）

①充分必要的条件

②必要非充分的条件

③必要且充分的条件

④既非必要又非充分的条件

ｄ

2 １４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］ ，则ｆ（０）＝１，

则ｆ（ｘ）＝ （ ）

ｄｘ

①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ

④１－ｓｉｎｘ

１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝ （ ）

①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１

④ｘ4－１

１ x

１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ）

x→0 ｘ3 0

１

① ０ ② １ ③ ──

④ ∞

３

ｘｙ １７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）

x→0 ｘ2＋ｙ2 y→0

① ０ ② １ ③ ∞

④ ｓｉｎ１

１８．对微分方程 ｙ\"＝ｆ（ｙ，ｙ\'），降阶的方法是 （ ）

① 设ｙ\'＝ｐ，则 ｙ\"＝ｐ\'

ｄｐ

② 设ｙ\'＝ｐ，则 ｙ\"＝ ───

ｄｙ

ｄｐ

③ 设ｙ\'＝ｐ，则 ｙ\"＝ｐ───

ｄｙ

１ ｄｐ ④ 设ｙ\'＝ｐ，则 ｙ\"＝── ─── ｐ ｄｙ

∞ ∞

１９．设幂级数 ∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）

n=o n=o

①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关

ｓｉｎｘ

２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝

（ ）

D ｘ

1 1 ｓｉｎｘ ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ __ 1 √y ｓｉｎｘ ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __ 1 √x ｓｉｎｘ ③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ

0 x ｘ

__

1 √x ｓｉｎｘ ④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ

三、计算题（每小题５分，共４５分）

___________ ／ ｘ－１

１．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ\' 。

√ ｘ（ｘ＋３）

ｓｉｎ（９ｘ2－１６） ２．求 ｌｉｍ ─────────── 。

x→4/3 ３ｘ－４

ｄｘ

３．计算 ∫ ─────── 。

（１＋ｅx ）2

t 1

ｄｙ

４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。

0 t

ｄｘ

５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。

x asinθ

７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。

0 0

ｙ＋１2 ８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）ｄｘ 通解 。

ｘ＋１

３

９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。

（１－ｘ）（２＋ｘ）

四、应用和证明题（共１５分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度

（ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。

___

１

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。

ｘ

附：高等数学（一）参考答案和评分标准

一、填空题（每小题１分，共１０分）

１．（－１，１）

２．２ｘ－ｙ＋１＝０

３．５Ａ

４．ｙ＝ｘ2＋１

１

５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ

２

６．１

７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

π/2 π

８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ

0 0

９．三阶

１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１．③ ２．③ ３．④ ４．④

５．②

６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③

（二）每小题２分，共２０分

１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③

１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②

三、计算题（每小题５分，共４５分）

１

１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分）

２

１ １ １ １ １

──ｙ\'＝──（────－──－────） （２分）

ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３

__________

１ ／ ｘ－１ １ １ １

ｙ\'＝── ／──────（────－──－────）

（１分）

２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３

１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）

２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分）

x→4/3 ３

１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］

＝ ────────────────────── ＝８

（２分）

３

xx １＋ｅ－ｅ

３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分）

（１＋ｅx）2 ｄｘ ｄ（１＋ｅx）

＝∫─────－∫─────── （１分）

１＋ｅx （１＋ｅx）2

１＋ｅx－ｅx １

＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分）

１＋ｅx １＋ｅx

１

＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分）

１＋ｅx

４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）

ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）

ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）

ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２

所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分）

１ ０ －３

__ __

x +√y + sinz ６．解：ｄｕ＝ｅｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分）

__ ｄｙ

＝ｅx + √y + sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋ ─────］ （２分）

___

２√ｙ

π asinθ １ π

７．解：原积分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ2 ∫ ｓｉｎ3θｄθ （３分）

0 0 ２ 0

π/2 ２

＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分）

0 ３

ｄｙ ｄｘ

2 ８．解：两边同除以（ｙ＋１） 得 ──────＝────── （２分）

22 （１＋ｙ） （１＋ｘ）

ｄｙ ｄｘ

两边积分得 ∫──────＝∫────── （１分）

（１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2

１ １ 亦即所求通解为 ──── － ──── ＝ｃ （２分）

１＋ｘ １＋ｙ

１ １

９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分）

１－ｘ ２＋ｘ

１ １ １

＝──── ＋ ── ───── （１分）

１－ｘ ２ ｘ １＋──

２

∞ １ ∞ ｘn

ｘ

＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ｘ│〈１且│──│〈１ ） （２分）

n=0 ２ n=0 ２n

２

∞ １ ＝∑ ［１＋（－１）n ───］ｘn

ｘ│〈１） （２分）

n=0

２n+1

四、应用和证明题（共１５分）

ｄｕ

１．解：设速度为ｕ，

则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分） ｄｔ

１

解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m） （３分） ｋ

│ │（ ｍｇ

由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m） （２分）

ｋ

__ １

２．证：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （２分）

ｘ

１ １ 而且当ｘ〉１时，ｆ

\'（ｘ）＝ ── － ── 〉０

__ ｘ2

√ｘ 因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加 （１分）

从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ （１分）

___ １

（２分）