高数(二)期末考试试卷及答案

2023年12月11日发(作者：南宁市八下数学试卷)

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名…姓…

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．

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号…学…

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线

封号

序

密

过

超号

班要学

教不

纸题卷

试答

学…大…峡．三……………………

2017学年春季学期

(A)0 (B)

l (C)

3l (D)

4l

7．下列结论正确的是 ( )

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（B）

(A) 若un1u1(n1,2,)成立，则正项级数un收敛

nn1注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方

(B) 当limnun0时，交错级数(1)nun收敛

n1题号 一 二 三 四 总分

(C) 若级数un收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛

n1得分

(D) 若对级数un的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛

n1

8.设an阅卷人 得分

nx的收敛半径为R(R0)，则n1anx2n的收敛半径为 ( A )

n1一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的(A)

R (B)

R (C)

R2 (D) 不能确定

代号A、B、C或D填入下表中．

题号

1 2 3 4 5 6 7 8

阅卷人 得分

答案

二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．

1．a与b是向量，若abab，则必有（ ）

1．过点(1,2,3)且方向向量为n(1,2,3)的直线方程为 ；

(A)ab

(B)a0,或b0

(C)a=b

(D)abab

2.

sin(2.设z是方程xyzez所确定的x,y的隐函数，则zx,ylimxy)0,1x( ).

x(1,0,0) ；

（A） 不存在 （B）

1 （C）

0 （D）



3．二元函数zf(x,y)在(x0,y0)处可微的充要条件是（ ）

3.设f(x,y)x2y2，则gradf(1,1) ；

（A）f(x,y)在(x0,y0)处连续

（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在

4. 交换积分10dyyyf(x,y)dx的积分次序，变为 ；

（C）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续

5．设L是直线y2x1上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将（D） 当(x)2(y)20时，zfLP(x,y)dxQ(x,y)dyx(x0,y0)xfy(x0,y0)y是

比(x)2(y)2高阶的无穷小

转换成对弧长的曲线积分为 ；

4．对函数f(x,y)x2y2，原点(0,0)是f(x,y)的( ).

（A）驻点与极值点 （B）驻点，非极值点

6.幂级数(1)n1xn的收敛域是 ；n1n

（C）极值点，非驻点 （D）非驻点，非极值点

5．设平面区域D：(x2)2(y1)21，若I,]上的表达式为1(xy)2d，I(x37.设有周期为2的函数，它在(2y)d

fx1,x0DD1x,0x，

则有（ ）

（A）I1I2 （B）

I1I2 （C）I1I2 （D）不能比较

22其傅里叶级数在点x处收敛于 .

6．设椭圆L：x4y31的周长为l，则L(xy)ds（ ）

2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第

1

页

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名…姓…

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．

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号…学…

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线

封号

序

密

过

超号

班要学

教不

纸题卷

试答

学…大…峡．三……………………

阅卷人 得分

三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

4．计算I(x1)dv，其中是以原点(0,0,0)为形心，边长为a正立方体．

1．设zz(x,y)由方程F(2x3z,2yz)0所确定，其中F是可微函数，求dz．

解：

解：



5．求幂级数

xnn0n1的收敛域与和函数．

2.求曲面ez2zxy3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程.

解：

解：

3.计算二重积分(x2xyy2)d，其中D由x0,y0,xy1所围成．

D

解：

2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第

2

页

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名…姓…

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…

…

．

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号…学…

…

线

封号

序

密

过

超号

班要学

教不

纸题卷

试答

学…大…峡．三……………………

阅卷人 得分

四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

1．在椭圆x24y24上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短．

解：

4．计算积分IzdS，其中是上半球面za2x2y2，(a0).



解：

2.计算Lydxxdy，其中L是沿圆周(x1)2(y1)21正向一周．

解：

5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分

(xcosycoszcos)dS， 其中为锥面x2y2z2介于平面z0及z1

之间的部分的下侧， (cos

,cos,cos)是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦．

解：

3．计算xyds，其中L为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：x2y22x(y0)．

L

解：

2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第

3

页

2017学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B)

答案及评分标准

一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）

(C) 若级数un1n收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛；

的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛．

(D) 若对级数8.设(A)

un1nan1nx的收敛半径为R(R0)，则anx2n的收敛半径为 ( A )

nn1

题号

答案

1 2 3 4 5 6 7 8

R； (B)

R； (C)

R2； (D) 不能确定．

二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．

1．过点(1,2,3)且方向向量为n(1,2,3)的直线方程为

x1y2z3 ．

123

z2.设z是方程xyze所确定的x,y的隐函数，则22D B C C A A C A

1．a与b是向量，若abab，则必有（D ）

(A)ab；

(B)a0,或b0；

(C)a=b；

(D)abab．

sin(xy)( B ).

x,y0,1x （A） 不存在；（B）

1； （C）

0； （D）

 .

3．二元函数zf(x,y)在(x0,y0)处可微的充要条件是（ C ）

2.

limz1(1,0,0)____________

x2x3.设f(x,y)xy，则gradf(1,1) （2，-2） ．

4. 交换积分 （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

（C）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续；

(D)当2210dyyyf(x,y)dx的积分次序为______dx2f(x,y)dy___．

0x15．设L是直线y2x1上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将转换成对弧长的曲线积分为

6.幂级数LP(x,y)dxQ(x,y)dy(x)(y)0时，zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y是比2222L1(P2Q)ds ．

5(x)(y)高阶的无穷小．

4．对函数f(x,y)xy，原点(0,0)是f(x,y)的( C ).

（A）驻点与极值点； （B）驻点，非极值点；

（C）极值点，非驻点； （D）非驻点，非极值点.

5．设平面区域D：(x2)(y1)1，若I122(1)n1n1xn的收敛域是

(1,1] .

n1,x07.设有周期为2的函数，它在(,]上的表达式为fx，

1x,0x32D(xy)d，I(xy)d

D2其傅里叶级数在点x处收敛于

则有（ A ）

（A）I1I2； （B）

I1I2； （C）I1I2； （D）不能比较．

 .

2x2y21的周长为l，则(xy)ds（A ） 6．设椭圆L：L43 (A)0； (B)

l； (C)

3l； (D)

4l．

7．下列结论正确的是 ( C )

un11(n1,2,)成立，则正项级数un收敛； (A) 若unn1三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．设zz(x,y)由方程F(2x3z,2yz)0所确定，其中F是可微函数，求dz．

解：dzzxdxzydy………………2分

(B) 当limun0时，交错级数n(1)unn1n收敛；

2F12F2dxdy………………5分

3F1F23F1F22Fdx2F2dy1．………………7分

3F1F22F1dx2F2dy或解：由F1(2dx3dz)F2(2dydz)0，得dz．

3F1F24

页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第 2.求曲面e2zxy3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程.

解：令F(x,y,z)e2zxy3，………………2分

则Fxy,Fyx,Fzez2，故n(2,1,0)zzxn1xn1n1x逐项求导，得(xs(x))===，x(1,1)

1xn0n1n0n1n0将上式两端从0到x积分，得xs(x)(1,2,3) ………………4分

所求切平面的方程为

(x2)2(y1)3z0，

即x2y3z4， ………………6分

1dxln(1x),1x1，

01xx（根据和函数的连续性，当x1时，此式也成立）．

于是，当x0时，s(x)

x2y1z.………………7分

1233.计算二重积分(x2xyy2)d，其中D由x0,y0,xy1所围成．

法线方程为

D1ln(1x)，又s(0)1．故

x(0,1),

………………7分

解：(xD2xyy)d

=1210dx-x11ln(1x), x[-1,0)s(x)x1, x0.0(x2xyy2)dy………………4分

5x15．………………7分

(x3x2)dx062324

4．计算I

四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．在椭圆x4y4上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短．

解： 设(x,y)为椭圆x4y4上任一点，则该点到直线2x3y60的距离为

2222(x1)dv，其中是以原点(0,0,0)为形心，边长为a正立方体．

解：的形心为(0,0,0)，的体积V为a，………………4分

故

3d62x3y13 ；令L(62x3y)(x4y4)，………………2分

222于是由

IxVVVa3.………………7分

xn 5．求幂级数的收敛域与和函数．

n0n1解：因为limnan1n1lim1，所以R1 ． ………………1分

nann2Lx4(62x3y)2x0,

Ly6(62x3y)8y0,

22Lx4y40,83838383得驻点

M1(,)，M2(,)，M3(,)，M4(,)，………………5分

35555555依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，

其中dmin2.计算(1)n在左端点x1，幂级数成为，它是收敛的；

n1n01在右端点x1，幂级数成为，它是发散的，

n1n0故该幂级数收敛域为[1,1)． ………………3分

L13即为所求．………………7分

M11313ydxxdy，其中L是沿圆周(x1)2(y1)21正向一周．

2262x3y2解： 圆周(x1)(y1)1所围区域D的面积为

1，………………3分

由格林公式得

x令s(x)，x[1,1)，于是

n0n1xn1xs(x)，x[1,1)，

n1n0nLydxxdy(11)dxdy=2．………………7分

D223．计算xyds，其中L为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：xy2x(y0)．

L解：

L:{x1costysint,t[0,]，………………3分

xydsL0(1cost)sintdt2．………………7分

5

页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第 4．计算积分IzdS，其中是上半球面za2x2y2，(a0).

解：dS1z22xzydxdy=aa2x2y2dxdy………………3分

Ia2x2y21z2xz2ydxdy ………………5分

Da2x2y2aDa2x2y2dxdyadxdya3．………………7分

D5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分

(xcosycoszcos)dS， 其中为锥面x2y2z2介于平面z0及z1之间的部分的下侧， （cos,cos,cos）是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦．

解：设1为z1(x2y21)的上侧，………………2分

则与1一起构成一个闭曲面，

记它们围成的空间闭区域为1，

由高斯公式得

(xcosycoszcos)dS3dxdydz=………………4分

1

而

(xcosycoszcos)dSzdxdydxdy，………………6分

11x2y21因此

(xcosycoszcos)dS=0 ………………7分



2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第6

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